对一道征解题的探讨

最近在网站的交流园地上见到一位读者提出这样一道征解题：有一些相同的球,已知个数大于50,在一个平面上能摆成一正方形,从这些球中拿走21个,可以摆成一个等腰梯形,在这个等腰梯形中,每一行的球数都比下一行的少一个,而每腰上的球数比正方形每一边上的球数少,梯形较长的底边的球数是每腰上球数     

排列组合中分球入箱问题的几种解法

例：（分球入箱）n个相同的球放入k个不同的箱子中：（1）不允许有空箱，有多少种不同的方法？（2）允许有空箱，有多少种不同的方法？     

例谈分球入箱问题的解法

将n个球放入k个箱子中,有多少种不同的放法?此类问题我们称之为分球入箱问题。它含有多种情形：n个球是否相同?k个箱子有无差异?箱子允许空否?解决此类问题的关键是分辨在什么情况下与顺序有关,在什么情况下与顺序无关。现举例说明如下。例1 将7个相同的小球,放入4个相同的箱子中。 (1)每个箱子中至少有一个小球(箱子不空)有多少种不同的放法? (2)若箱子允许空又有多少种不同的放法? 分析箱子相同时不需考虑箱子的顺序,球相同也无需考虑球的差别,只要考虑各个箱子中放入小球的多少。可用穷举法求解。解 (1)箱子不空有3种放法：     

不对号入座问题的一个递推公式

在高中数学排列组合问题中,有一类不对 号入座问题,其讨论解法相当复杂.例如:现有 1、2、3、4、5五个编了号的小球和五个编了号的 小箱.现要将五个球放入五个箱中,且1号球不 能放在1号箱中,2号球不能放在2号箱中 ……5号球不能放在5号箱中,每个箱中只能 放一个小球.问有多少种不同解法?答案是44     

争鸣

问题 问题142在一次听课中，授课老师出示一道题：盒子中有大小不相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒中任取一个球，放回后第二次再任取一个球，（假设取到每个球的可能性都相同），记第一次与第二次取到球的标号之和为X．     

排列组合中的分组问题

排列组合一章的习题中,常常涉及到对元素进行分组的问题.题目有对相同元素分组和对不同元素分组,有组的位置确定和不确定多种情况,学生弄不清这些题目的区别和联系,解答时很容易重复或者遗漏.本文编拟口诀并举例介绍巧妙解决分组问题的方法.1相同元素的分组问题(口诀:同元分组用挡板)例1将12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中,问每个盒子中至少有一个小球的放法有多少种?解本题是将12个球分成四组,每组必须有球的问题.将12个球排成一排,中间有11个间隔,在这11个间隔中任意选出3个插入挡板,把球分成4组,例如○○○|○○○○|○○|○○○…     

争鸣

问题 问题144 高二的一本辅导资料上有这样一个题： 在1，2，…，1000这1000个正整数中，任取一个数，它能被2或3整除的概率是___     

争鸣

问题问题142在一次听课中,授课老师出示一道题:盒子中有大小不相同的球10个,其中标号为1的球3个,标号为2的球4个,标号为5的球3个,第一次从盒中任取一个球,放回后第二次再任取一个球,(假设取到每个球的可能性都相同),记第一次与第二次取到球的标号之和为X.1)求随机变量X的分布列;2)求随机变量X的数学期望E(X).然后找两个学生上黑板写出解法,供大家一起探讨.学生甲:经学生讨论一致认为:在甲的解法中,取球方式是不放回抽取,因而X的分布列是错误的;乙的解法中,取球方式是有放回抽取,符合题意,因而正确,老师了解到同学们基本上和乙的做法一样,…     

切莫上当

笔者在一次春游中中,在一个来往游客很多的地方发现一类赌博现象。形式是这样的,有一个人(以下称赌徒)拿着一个装有二十个同样大小的玻璃球的小袋,共五种颜色(如红绿黄黑白),每种颜色均为四个球,让游人(以下称此赌客)从小袋中摸十个球,如摸到红球4个、绿球4个、黄球2个,则数字排列为442,以摸到各种球所组成的数字排列定输赢,其规定如下表其中“+”表示赌客赢,如摸到球色数字排列为442,则赌客赢10元,“-”表示赌客输,如摸到的球色数字排列为32221,则赌客输2.5元.表面看来十二种可能只有两种是储客输钱,似乎赌客瀛钱的可能性大,其实不然,我们…     

方程x_1 x_2 … x_m=n的正整数解的个数及其应用

在近几年的高考试题中,出现了可化为求方程x1 x2 … xm=n(m,n∈N ,m≤n)的正整数解的个数的问题,下面就这个问题谈几点看法,供大家参考.上述正整数解的个数问题可以转化为下列数学模型:把n个相同的小球排成一行,请将这一行n个球分成m段,每一段至少一个小球,有几种分法?解因为将     

4一致反超图的最小边数问题

混合超图是在超图的基础上添加一个反超边得到的图．超边和反超边的区别主要体现在着色要求上．在着色中,要求每一超边至少要有两个点着不同的颜色,而每一反超边至少有两个点着相同的颜色．最大最小颜色数分别称为混合超图的上色数和下色数。本文主要研究反超图,即只含反超边的超图。讨论了上色数为3的4一致超图的最小边数问题．给出了上色数为3的4一致反超图的最小边数的一个上界和一个下界．     

二染色平面的单色顶点图

二染色平面的单色顶点图１０００３７首都师范大学数学系周春荔，张燕勤１９９５年全国高中联赛第二试试题四是一个平面点集的染色问题．问题将平面上每一点都以红蓝两色之一着色．证明存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为１９９５，并且每一个三角形的三个顶点同色...     

概率--高中数学的一个重要交汇点

概率是高中数学的新增内容,是中学数学知识的一个重要交汇点,是新课程高考的一大亮点和热点,常与函数、数列、几何、实际生活等内容交叉渗透,使数学问题的情境新颖别致.本文从全国高考试题和有关省市高考模拟题中选出若干例予以分类解析,旨在探索题型规律,揭示解题方法.一、概率与函数的交汇例1袋中有红球和白球共100个,如从这只袋子中任取3只,问袋中有几个红球时,使取得的3个球全为同色的概率最小?分析:先求出红球数为x个时,取得的3个球全为同色的概率,再用函数方法求其最小值,这是概率与函数的综合问题.解析:设x、y分别为红球、白球的个数…     

3一致 C-超图的最小边数

混合超图是含有两类超边的超图,一类称为C-超边,一类称为D-超边,它们的区别主要体现在染色要求上．混合超图的染色,要求每一C-超边至少有两个点染相同的颜色,而每一D-超边至少有两个点染不同的颜色．所用的最大颜色数称为对应混合超图的上色数,所用的最小颜色数称为对应混合超图的下色数．上、下色数与边数有密切关系．作者在文献[2]中证明了具有最小上色数的3一致C-超图边数的一个下界为‘n(n-2)/3’,其中n为对应混合超图的顶点数．该文证明当n=2k 1时,该下界是可以达到的．     

九年级数学(北师大版)第一学期期中自测题

一、选择题(每小题2分,共20分)1.下列命题正确的是().A.等腰三角形的角平分线与高及中线互相重合B.等腰三角形只有两边相等C.等腰三角形底边上的中线上的任一点到两腰的距离相等D.有一个角为45°的等腰三角形是直角三角形2.等边三角形的高为2,则它的面积是().A.2B.4C.43D.4333.某超市一月份的营业额为200万元,一月、二月、三月的营业额共1000万元.如果平均每月的增长率为x,则根据题意列出的方程应为().A.200(1+x)2=1000B.200+200×2x=1000C.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000D.200+200×3x=10004.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个…     

漫画趣题

第一题有三个口袋,第一个口袋里装有99个白球和100个黑球,第二个口袋里装的都是黑球,第三个口袋是空口袋.每次从第一个口袋里摸出两个球,如果两个球是同色的就把它们放入第三个口袋里,同时从第二个口袋里取出一个黑球放入第一个口袋里;如果取出的两个球的颜色不同,就把白球放回第一个口袋里,把黑球放入第三个口袋.若一共操作197次(指从第一个口袋里取了197次),这时第一个口袋里还有多少个球?它们各是什么颜色的?     

彩票中的数学问题

福彩中有一种叫3D的彩票,分直选和组选两种,所谓直选是指所购买的一个三位数与摇出的三位数相同即获奖1000元,所谓组选是指所购买的一个三位数的三个数字与摇出的三位数的三个数字相同(不考虑顺序)即获奖160元。有人在购买3D     

一道取球试题的拓展

2005年山东高考理科第19题是:袋中有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为17,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取、乙后取,然后甲再取…取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止,每一个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止时所需要的取球次数.(Ⅰ)求袋中原有白球的个数.(Ⅱ)求随机变量ξ的概率分布.(Ⅲ)求甲取到白球的概率.而2005年浙江高考理科第18题是(部分抄录):袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率是13,从B中摸出一个红球的概率是p.(Ⅰ)从A中有放回地摸球,每次摸出一个…     

“另一个25阶最大平面图”G′_(M25)的四色着色

利用最大平面图着色的"简化降阶法",对一定拓扑结构的"另一个25阶最大平面图"G′_(M25)进行了着色运作.先逐点"降阶",再逐点"着色、升阶、着色",直至获得G′_(M25)的四色着色方案.由于着色过程中,有些点的着色是可以选择的,在这些点作任意选色后,只是找出其中的二个G′_(M25)的四色着色方案,即"四色着色方案壹"和"四色着色方案贰"(其他的四色着色方案未作求解).然后,在"四色着色方案壹"和"四色着色方案贰"的基础上,利用多层次的"二色交换法",相应地分别求出了G′_(M25)的二个相近四色着色方案集,即"相近四色着色方案集壹"和"相近四色着色方案集贰".在"相近四色着色方案集壹"中,含有72个不同的四色着色方案;在"相近四色着色方案集贰"中,含有156个不同的四色着色方案.文中对这二个相近四色着色方案集进行了分析,得到了有意义的结果.     

曲綫族

我十分荣幸地接受中国数学会的邀請,向諸位作一个报告。据我了解,今天这里的听众的主要兴趣在于教学。为了准备这篇报告,我努力寻找一个深浅适度而又在任何书籍中找不到的課題作为本报告的內容。如果我在这方面估計有錯的話,則請大家原諒。在进入报告的正題以前,請允許我先向諸位介紹一下澳大利亚以及西方国家中存在于中小学数学教学方面的一些趋向,你們可能想了解这些情况。 (1)小学阶段。对象是年龄从五、六岁至八、九岁的儿童。在教育方法上进行了积极的研究,目的是使儿童真正懂得算术与初等代数的意义,避免死背他們所不懂的条条。借助于具体教育法,特别是依靠了法国基賽奈先生(Monsieur Cuisenaire)創造的“数杆”的帮助,在这方面取得了很大成功。所謂“数杆”是长度与1至10的数目成比例的杆子,它們各有特征顏色。相关的数,例如2,4,8,有相近的顏色。通过玩数杆游戏,儿童們学会了加法乃至各种更为复杂的概念,諸如分数与比例。 (2) 中学阶段。作了許多关于修改課本的討論与教育实驗,目的是改变那种传統的讲授代数式的教育方法,使課本內容更紧密地与实际生活以及現代数学