多边形的面积

一、引言本文是前一篇文章:綫段的长度(发表于数学通报九月号)的續篇,我們假定讀者已读过那一篇文章。在本文中我們将事先选定一个长度,換言之,对于每一个綫段,我們总假定它的长度已經测量好了。此外,为了叙述上的簡便,我們不严格区分“綫段”和“綫段的长度”这两概念。例如:对于“三角形的高”这概念,有时表示一綫段,有时則代表这綫段的长度。平面上的一个多边形,如果它的边所組成的封閉折綫正好构成一个約当曲綫,則称为簡单多边形。本文中所討論的多边形,假定都是簡单多边形,以后不另作声明。多边形的面积是多边形的正实值函数,它具有合同不变性和可加性,即这函数应滿足下列两条件:ⅰ)合同的多边形具有相同的面积;ⅱ)如果一个多边形是由两个(或若干个)多边形組成的,則它的面积等于組成它的各边形的面积之和。在一般中学教科书中,总是把下面这条件添加到多边形面积的定义中去:ⅲ)以单位綫段为一边的正方     

数学问题解答

1956年5月号問题 237.設△ABC是正三角形,在直綫BC,CA,AB上各任取一點X,Y,Z,求証△AYZ,△BZX,△CXY的歐拉(Euler)綫所交成的三角形全等於△ABC。 [註] 万一△AYZ是正三角形,則以过它的中心而平行於BC的直綫來代替它的欧拉綫;如果这三角形的頂點有重合的,那末可按極限的情形去处理,其餘仿此。 238.設O是正三角形ABC的中心,在直綫OA,OB,OC上各任取一點X,Y,Z,求証△OYZ,△OZX,△OXY的歐拉綫会於一點。     

相似三角形及其应用(下)

<正>例16(俄罗斯区域数学竞赛1999—2000九年级试题)在梯形ABCD的大底AB上任取一点M,通过这点引平行于梯形对角线的直线交边BC和AD分别于点N和K.设线段KN交对角线AC和BD分别于点P和Q.证明:线段KP和QN相等.证明如图26,设梯形的对角线的交点为O,而线段AC和KM交点为R.根据平行     

新题征展(127)

A题组新编 1.如图1,沿等腰直角三角形ABC的中位线DE,将平面ADE折起,使得平面ADE⊥平面BCDE得到四棱锥A-BCDE. (1)求证:平面ABC⊥平面ACD; (2)过CD的中点M的平面α与平面ABC平行,试求平面α与四棱锥A-BCDE各个面的交线所围成多边形的面积与三角形ABC的面积之比. 2.一个四棱锥的直观图和三视图分别如图2,图3所示,E为PD中点.     

在立体几何中补充拟柱体积公式的一些做法

在計算鋼錠的重量、土方、建筑物的容积和体积时,往往遇到形状如图1所示的(1)鋼錠,(2)土方,(3)屋頂。这些形状的体积,都不是运用一般多面体体积公式所能快速計算出来的,即使計算出来,手續也非常繁琐。因此我們在立体几何讲完棱柱、棱锥、棱台体积之后,补充了拟柱体积公式,即V_(拟锥)=h/6(Q Q_1 4Q_2),这里表拟柱的高,Q,Q_1,Q_2表拟柱上下底面和中截面的面积。为了减少証明公式过程中的困难,在前一节課布置一个作业题,要求同学証明“棱錐底面为梯形,它的体积等于过棱锥頂点和梯形中綫所作截面的     

借助第三平面作无棱二面角的棱

同学们对二面角历来都感到困难 ,尤其是无棱的二面角 ,更感到无章可循 .本文将从同时与二平面相交的第三平面入手考虑 .因为二平面与第三平面分别有一条相交直线 ,又这两条直线同时在第三平面内 ,其位置关系只有两种情况 :相交与平行 .若两条直线相交 ,由公理2知 ,交点必在二平面的交线上 ,由此可作出棱 ;若两条交线平行 ,由线面平行的判定和性质知 ,两条直线必与二平面的交线平行 ,由此图 1可作出棱 .例 1　底面是直角梯形的四棱锥Ｓ ＡＢＣＤ ,∠ＡＢＣ =90° ,ＳＡ⊥底面ＡＢＣＤ ,ＳＡ =ＡＢ =ＢＣ =1,ＡＤ =12 ,求面ＳＣＤ与面ＳＡＢ所…     

一道华杯赛试题引出的梯形的性质

<正>本文从一道华杯赛的题目出发,将平行四边形上的一个结论推广到梯形上,并在此基础上探究梯形的相关性质,得到了梯形的三个有趣的性质,希望对学一知三,创新思考,提升能力起到示范作用.1问题及其解法(第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题)在平行四边形ABCD的边上任取一点N,过N作平行于对角线AC,BD的直线,分     

一元二次方程的几何解法

在別列标尔金著的初等几何学教程(第九章§77)中,曾討論过一元二次方程 x~2+px+q=0 (1)的作图問題,其依据是著名的韦达定理。下面要介紹的,是方程(1)的实根的一种几何表示方法,并用純几何方法对实根的个数給予一种新的解释,然后导出韦达定理及根的表达式。首先,在平面上,任取一水平位置的单位綫段AB(图1),过B作BC垂直于AB,使BC的长等于p的絕对值,并且,若p>0,則令C在B之上方,若p<0,則令C在B之下方(图1)。再过C作CD垂直于BC,使CD     

立体几何是非题一组

1.有两个面相互平行,而其余各面是平行四边形的多面体,则一定是棱柱。(对/错) 2.已知三棱锥底面是正三角形,侧面都是等腰三角形,则三棱锥一定是正棱锥。(对/错) 3.有两个面是三角形且互相平行,而其余三个面都是梯形的五面体,必是三棱台。(对/错) 4.直棱柱的侧面展开图是矩形,而斜棱柱的侧面展开图是平行四边形。(对/错) 5.和圆台的轴平行的截面是等腰梯形。(对/错) 6.已知圆的顶角是120°,则轴截面是过     

約当定理的初等証明

1.和通常一样,在这里所謂封閉的約当曲綫是指圓周的拓扑映象,所謂簡单弧是指綫段的拓扑映象。 約当定理。一平面封閉的約当曲綫将平面分成两个区域,而它自己就是这两个区域的公共边界。下面将敍述此定理的一个初等証明,这个証明是建立在从約当曲綫的定义所推出的几个性貭之上的。同时也将敍述一个与它有关的定理的証明: 在平面上的一段簡单弧不能把平面分开。 1.1 記号。以下我們都这样假定,如果給定了一簡单弧,那末也就給定了一个从綫段到它上面的,而且是完全确定的拓扑映象。因此在弧上也就确定了点的順序关系如下:設X与Y为簡单弧上的二点,X′与Y′是綫段上与之相对应的二点,要是X′相似文献   

多边形和多面体的分割相等和拼补相等

一我們先来回忆中学几何里面积一章大致是怎样講的。建立了矩形的面积(此处及以后面积指面积的度量)以后,其他直綫形,如三角形、平行四边形、梯形以及一般簡單的多边形的面积一概用簡單的办法—分割法和拼补法—間接算出,而極限法只用来求曲綫形—圓—的面积。例如,欲求三角形的面积,可以“割”下兩个三角形而拼成一矩形,再来計算。欲求平行     

关于平行线教学的我見

平行綫这一章在平面几何課中占有很重要的位置。首先,平行綫的理論是几何学的基础理論之一。譬如有了它才能証明“三角形三内角之和等于180°”的定理,而这一定理对研究三角形及多边形等图形的性质是起着十分重要的作用的。又如要研究几何学中另一重要部分——相似形的性质也是离不开平行綫的理論,只有依靠平行綫的理論,才能解决相似形的理論。其次,“平行綫”是我们在生产实际及生活实际中最常見到的形象之一,人们利用了两条直綫的这种特殊位置关系才解决了大量的实际問题。因此“平行綫”这一段教材在几何以及有关的其它学科的教学中,无論从理論基础还是从实际应用的角度来看,它都起着奠基作用。因此研究这一章的必要性也就极其日月显了。从教学实践中可知,对这一章的内容,学生学习起来基本上是感到好学的;而教师教起来,也觉得不象绪论章那样难教。但是,具体就来在教学过程中也不是丝毫没有问题的。譬如关于对“判定定理1”的论证问     

函数α~x和log_αx图象的作法

本文給出函数y=a~x和y=log_ax图象的簡单的几何作法,这个作法适合于中学实际。如果是在小方格紙上作图,这种作法就显得更加簡单精确,同时又接近于工程上所进行的曲綫作图。 1.函数y=a~x图象的作法:如图1,我們在直角坐标系的OX軸上原点左边任取一点K,在K点的右     

由等积变换引发的作图问题

在平面几何的面积问题中 ,经常使用下面两个结论 :定理 1　同底等高 (或同高等底 )的三角形面积相等 .定理 2　梯形对角线分梯形的四个三角形中 ,两腰所在的三角形面积相等 .由这两个简单结论可得到下面一系列作图问题 .问题 1　已知一个凸四边形 ,求作一个三角形 ,使其与已知四边形的面积相等 .图 1作法如下 :如图 1 ,在四边形 ABCD中 ,任取一顶点 ,如 A,联结对角线AC,过 D点作 AC的平行线交 BC的延长线于 E,则由定理 1知 ,S△ ABE =S△ ABC S△ ACE=S△ ABC S△ ACD=SABCD其中 S*表示图形 *的面积 .图 2联想到我们非常熟…     

立体几何中“有关公理问题”的商榷

1　问题的提出无论是老教材还是新教材 ,普通高级中学的立体几何课程里总有以下四条公理 :直线在平面内公理 (公理 1) ;两个平面相交时的交线公理 (公理 2 ) ;不共线三点共面公理 (公理 3) ;三线平行公理 (公理4 ) .其中公理 3的推论 3是 :经过两条平行直线 ,有且只有一个平面 ,对于该推论的证明 ,我们已经知道的有三种 .图 1　平行直线如图 1所示 ,已知 :空间两条直线a和b .且a∥b .求证 :经过直线a和b有且只有一个平面 .证法 1　存在性　根据平面几何的知识 ,平面内不重合的两条直线 ,不相交就平行 ,所以经过互相平行的两条直线a和b ,必定…     

奇偶点图上作业法

<正> 在邮局搞綫性規划时,发現了下述問題:“一个投递員每次上班,要走遍他負責送信的段,然后回到邮局.問应該怎样走才能使所走的路程最短.” 这个問題可以归結为 “在平面土給出一个連通的綫性图,要求将这个綫性图从某一点开始一笔画出(允許重复),并且最后仍回到起点,問怎样画才能使重复路线最短.”     

关于两个空間图形的画法

在数学通报1964年7月号呂烈翰同志写的“談談培养学生空間想象力”一文第22頁中,举了两个例題。例題举得不錯,很說明問題。但笔者对两个图形的画法有一点不同意見,提出来供大家参考。問題一,一个三面角的三个面角都是60°,从頂点起在一条棱上截取一条6厘米长的线段,求这线段的另一端点到棱所对的面的距离。文中所談图12左图是比較好的,这一点我是同意的。但作这个图时,須先明确下列三点: 1.由于SF是SA在平面BSC內的投影(图4);SA与SB,SC所成的角相等,所以SF是∠BSC的平分线。但由于图形所在位置的影响,水平面內的∠BSF与∠CSF是不一定相等的。 2.若将SF成水平綫,則∠ASF在正垂平面內,∠AF应垂直于SF,且各綫段的长度不改变。 3.因为SE=SG,∠SEG为等腰三角形;而SF是     

梯形的判定与中位线定理(上)

<正>一个四边形中如果有一组对边平行,这个四边形叫做(广义)梯形.显然,广义梯形包含平行四边形.一个四边形中如果一组对边平行,另一组对边不平行,这个四边形叫做(狭义)梯形.显然,狭义梯形不包含平行四边形.梯形中位线定理梯形两腰中点的连线(中位线)平行于底边且等于两底和的一半.     

探究正方体中的截面问题

用一平面去截一立体图形所得平面图形,实质上是对空间想象能力和平面基本定理的考查.对作截面的方法有如下两种:(1)利用平面的基本定理:一条直线上有两点在一平面内,则这条直线上所在的点都在这个平面内.两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线.(2)利用线面平行及面面平行的性质定理,去寻找线面平行及面面平行关系,然后根据性质作出交线.笔者将从以下     

談談中学立体几何中的平面的基本性貭

我們知道,中学几何并沒有按照严格的公理体系来进行研究,这是为了照顾学生的接受能力。因此,中学几何課本中的公理,只是在不违反科学性的原則下,选用了一些既明显而又适当照顾到推理中經常需要的事实,作为几何中推理的原始依据。在高級中学課本立体几何(暫用本)中,采用了以下三条作为平面的基本性貭,即(1)如果一条直綫上的两点在一个平面內,那么这条直綫上所有的点都在这个平面內;(2)如果两个平面有一个公共点,那末它們相交于經过这点的一条直綫;(3)不在一条直綫上的三