在网格中求一个角的三角函数值的常用方法

<正>题目如图1,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A、P、C、D、E、F都在这些小正方形的顶点上,AP的延长线交CD相交于点B,求sin∠CPB的值.解析求一个角的三角函数值一般有哪些方法?由三角函数不难联想到直角三角形.方法一构造一个所求角为内角的直角三角形.     

浅谈“网格“背景下知识与能力的整合

网格型试题较好地把数学知识与多种能力有效整合,符合新课程标准的要求,因而备受关注.现以2005年中考试题为例进行分类分析.一、网格中线段、角度的隐含性例1(浙江省台州市)如图,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC=°,BC=;(2)判断△ABC与△DEF是否相似,并证明你的结论.【分析】:正方形网格中,有两个显著的特点:①任何格点间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线,所以格点间的任何线段长度都能求得;②利用正方形的性质,一些特殊的角度45°、90°、135°一目了然.本题判断两三角…     

一种特殊网格角的平分线的画法

<正>网格,一般是由间距相等的水平线和铅垂线组成的,水平线和铅垂线的交点叫格点,水平线和垂直线围成的每一个小格子都是全等的正方形,小正方形的边长一般称为一个单位长度.我们把顶点在格点上,每条边也经过其它格点的角叫做格点角,如图1中的∠ABC和∠DEF等.利用网格画图是不允许使用圆规、     

运动型题目中定值的确定和求法

有一类题目,是在运动过程中确定某个量是否是定值.解决这类题目的一般方法是:①先求出特殊值.即先求出所求量在运动到某一特殊位置时对应的值.②再证明肯定或举反例否定.即在运动过程中任一位置所求量都等于这个特殊值,则说明所求量是定值,并且特殊值即为定值;若能找出运动过程中某一位置所求量不等于这个特殊值,则说明所求量不是定值.举例如下:例1、如图1,正方形ABCD的边长为2,对角线相交于点O.另一和它全等的正方形OEFG绕着O点旋转,问:在旋转过程中,两正方形重叠部分的面积是否是定值?若是,则求出定值;若不是,请说明理由.图1解:①先求…     

挖掘网格图形几何特性,贯通三角函数求解路径——对一道中考试题的讲评与反思

一、试题展示题目如图1,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB、CD相交于点P,则tan∠APD的值是________.这个问题是新近九年级三角函数单元测试的一个填空题,序号是第16题,来源于2012年泰州市中考数学试题第18题.简明的问题,简洁的网格图形,融几何、三角函数于一体,深受老师们的喜爱.但是考试结果出人意外,得分率很低.考后,笔者对这个问题进行了重点讲     

聚焦网格作图

<正>所谓网格作图,就是仅利用无刻度直尺,根据正方形网格的性质,利用格点来作图,其难点在于找到符合条件的格点,下面举例说明其方法.1确定三角形顶点例1如图1G1,在8×5的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点上.在图中找一点E (点E在小正方形的顶点上),使tan∠AEB=2(AE 相似文献   

简析以正方形为基的中考题的做法

<正>正方形形不仅具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质,而且具有轴对称性和中心对称性的美,还体现了角平分线、线段垂直平分线等性质,以正方形为基的考题历来是中考数学命题的热点和焦点之一.这些题的结构特点是:利用正方形的一些性质,结合其它知识点构成中考题,题目形式多样,精彩纷呈,很好地考查了图形类的主要知识点,以及学生分析问题和解决问题的能力.解题的切入点就是很好的利用正方形的性质,再综合其它知识通盘考虑去解答.一、利用正方形的角是直角图1例1(2013年长春)如图1,MN是⊙O的弦,正方形OABC的顶点B、C在MN上,且点B是CM的中点.若正方形OABC的边长为7,则MN的长为.     

利用网格线巧求锐角三角函数

<正>在解题中经常碰到求网格线中锐角三角函数的问题,我们知道借助于网格线可以构造直角三角形,利用勾股定理求出任意两个格点连线的长度,也可以利用对角线的特征构造垂直线、平行线.那么如何利用网格线求锐角三角函数值呢?一、构造直角三角形锐角三角函数反映了直角三角形中锐角和边与边的比值之间的对应关系,所以要求三角函数值,必须将这个角放到直角三角形中.(2015·山西)如图1,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,求∠ABC的正     

一道课外习题的多种证法和说明

<正>《中学生数学》2020年8月下(初中版)课外练习初二年级第3题:问题呈现已知如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,CM⊥AB于点M,点D在BC上,且AC=CD=DB,AD与CM交于点E.求证:2AE=ED.本题看似繁复,实则简单.它是一直角边为另一直角边2倍的直角三角形,在正方形问题中经常出现,只不过把它从正方形分离出来,变化为直角三角形的问题.     

构造含特殊角的直角三角形

同学们都知道.30°、60°、45°的角都是特殊角,如果题目中特殊角恰好在给定的直角三角形中,那么不难将问题解决,若题目中特殊角不在直角三角形中,这就要求我们努力构造含特殊角的直角三角形,以化难为易.下面举例进行说明. 例1 已知如图1,在△ABC中,AC=2,BC=4,∠ACB=60°,将△ABC折叠,使点B和点C重合,折痕为DE.则△AEC的面积是______. (2000年“希望杯”试题)     

网格小 容量大——以武汉市2021年中考试题为例探讨网格中分割线段

<正>1题目呈现及分析题目(2021年武汉)如图1是由小正方形组成的5×7网格,每个小正方形的顶点叫做格点,矩形ABCD的四个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图,画图过程用虚线表示.先在边AB上画点E,使AE=2BE,再过点E画直线EF,使EF平分矩形ABCD的面积.     

中考复习例说无刻度尺作图

<正>在近几年的中考数学试题中出现一些无刻度尺作图的试题,这些题目为作图题赋予新的活力,我们在复习中关注了这个问题,把它整理成一个专题,供同行参考.一、格点中的作图题例1(2014年天津市)如图1,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A、B、C均落在格点上.     

常见的几类网格问题例析

在正方形的网格中,每个小正方形的边长都是相等的,每个小正方形的顶点叫做格点(等边三角形、菱形等也有类似的情形),我们把以格点的连线为边的图形叫做格点图形.格点有关问题是近几年中考的新型题之一,它不仅可以考查学生数形结合思想方法的运用,而且还可以考查学生动手操作的能力,有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,也有利于培养学生的探究意识和创新精神.     

争鸣：问题

问题136 数学选修1-1B版，在导数的实际应用中有这样一个典型例题，有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？     

几何结构凸显 解题思路立现——例谈一个典型几何结构在中考与竞赛中的应用

<正>在平面几何中,经常会遇到这样一个图形:如图1,已知AP为∠MAN的角平分线,点B是射线AN上异于A的一点,过B作AM的平行线,交AP于点C.易知这个图形所蕴含的结论是AB=BC,也就是说△ABC是等腰三角形.由于这个图形的条件是平面几何中的两个非常常见且重要的概念:角平分线与平行线,而结论又是重要的特殊三角形——等腰三角形,更为关键的是这个图形常常活跃于各种复杂的几何图形中,     

借助十字架模型解决几何问题

<正>正方形的相关性质一直是各地中考和模考的热门考点.正因为正方形的性质繁多,条件"很强",如何从问题的各种解决方法中快速找出最优方法应当是我们关注的问题.下面我们一起来看一道例题.引例如图1-1,点E在正方形ABCD的边CD上,将正方形折叠,使点B与点E重合,与A落在点A_1,     

旧问新思考

<正>在初中数学教学中有这样一道经典的题目:[1]如图1,在正方形ABCD中,P是BC边上的任意一点,连接AP,过P作AP的垂线交正方形外角平分线CF于点E,求证:AP=EP.解决这个问题的方法中,大多数采用构造含AP和PE的两个三角形,证明它们全等的方法,得到AP=PE.和这个问题类似的还有这样一个问题:     

也谈“趣分正方形”

<正>贵刊在2015年3月下的智慧窗,刊登了王秉春老师的文章"趣分正方形":如图1,是一个8×8的正方形,请你从该图中去掉一个小正方形,将剩下的63个小正方形分成21个1×3的长方形.文中虽只有一个答案,但非常精彩,并很有启发.现进一步地探讨:在图1的64个小正方形中去掉了怎样的一个小正方形才符合题意,总共有几种去法?试一一列举.并阐明理由.为此,借贵刊一角,介绍出来,与     

求异面直线所成角的几种常用方法

求异面直线所成的角是立体几何中的一个重要内容 ,本文就一道习题的多种解法谈求异面直线所成角的几种常用方法 .图　 1题目　如图 1,已知两个边长为ａ的正方形ＡＢＣＤ和ＡＢＥＦ所在平面互相垂直 ,求异面直线ＡＣ和ＢＦ所成角的大小 .解法 1　 (直接平移 )如图 1,在平面ＡＣ内过点Ｂ作ＢＰ∥ＡＣ与ＤＣ交于点Ｐ ,则∠ＦＢＰ与异面直线ＢＦ ,ＡＣ所成的角相等或互补 .由于正方形边长为ａ ,在△ＡＢＰ中用余弦定理计算得ＡＰ =5,在Ｒｔ△ＰＡＦ中 ,易得ＦＰ =6ａ ,在△ＢＰＦ中 ,由余弦定理知 ,ｃｏｓ∠ＦＢＰ =- 12 .∴ＡＣ与ＢＦ所成的角…     

构造圆 巧解题

<正>我们在做几何题目时,往往要作辅助线.作什么样的辅助线,要根据具体的条件.比如直角三角形中,出现了斜边的中点,我们会想到作斜边的中线;三角形中出现了两边的中点,我们会想到作中位线;出现30°、45°、60°的角,我们会想到作垂直构造直角三角形;出现圆的切线,我们会想到把圆心和切点连接起来,得到垂直……那什么条件下,应该作圆呢?来看看下面几种情况.一、遇到旋转构造圆例1如图1,正方形ABCD的边长为4cm,正方形AEFG的边长为1cm.如果正方形AEFG绕点A旋转一周,设C、F两点之间