用《几何画板》探究一道竞赛题

2000年高中数学联赛第15题:已知C0:x2 y2=1和C1:x2/a2 y2/b2=1(a>6>0).试问:当且仅当a、b满足什么条件时,对C1上任意一点P,均存在以P为顶点、与C0外切、与C1内接的平行四边形?并证明你的结论.     

一道竞赛题的几何算法

一道竞赛题的几何算法５５０００３贵州教育学院李长明为准备奥校教材，翻阅历年的数学竞赛，偶见１９９１年全国高中竞赛的一道填空题：ＣＯｓ’１０”＋ＣＯｓ’５０”一ｓｉｎ４０”ｓｉｎ８０“此题已有多种算法，但都要用到三角函数的变换和化简．这里给出一个几何方...     

一道竞赛题的纯几何证法

1998年加拿大数学奥林匹克竞赛第4题为：     

一道几何竞赛题的背景探究

<正>一个好的数学命题,往往大有来头.究其命题背景,要么取自于教材中的素材(包括定理、例题或习题等),要么取材于以往的典型考试(竞赛)题,还有一类就是取材于数学中的经典名题.因为数学中的经典名题是命题的不竭源泉,不断的深入探究可以编拟万千数学问题.本文从一个几何竞赛题的求解过程中衍生出的一些命题,试图揭示这些命题的一个共同背景,与读者分享.     

一道初中几何竞赛题的解答

<正>如图1,在凸四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=120°,BC=CD=10,则AC=_.本题为2017年北京市中学生数学竞赛初二年级填空第2题,可以利用全等得出问题的解答.解法1 (利用全等)如图2,以AC为一边构造∠ACA′=120°,在射线CA′上截取CA′=CA,连接A′B,A′A,BD.∵∠BAD=∠BCD=120°,∴∠ACD=∠A′CB.又∵CB=CD,∴△A′CB≌△ACD(SAS).∴A′B=DA,∠A′BC=∠ADC,∵∠BAD=∠BCD=120°,     

关于一道全国大学数学竞赛题的再议

对第五届全国大学生数学竞赛一道试题的冗余条件进行了讨论。     

多证一道国外几何竞赛题

<正>~~     

一道初中几何题与国内外竞赛题

题1　在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4,求证:1a=1b 1c.这是一道常见的平面几何题,证法如下:延长CB到D,使BD=c,∴　∠D=∠BAD,　　∠CBA=2∠D.∵　∠CBA=2∠CAB,　∴　∠CAB=∠D.∵　∠C公共,　∴　△CAB∽△CDA,∴　CACD=CBCA,　即　ba c=ab,则有　　　　　　b2-a2=ac,(1)同理可证　　　c2-b2=ba.(2)(1) (2)得　c2=ac ab a2=a(a b c),∴　1a=a b cc2=a bc2 1c=a bab b2 1c,∴　　　　1a=1b 1c.(3)下面把题1引申,由于(1)式的证明步步可逆,立得　　题2　在△ABC中,若b2-a2=ac,则∠B=2∠A.由(3)式得　　　　bc=ac ab,(4)(…     

培养学生思维能力的一道优秀几何竞赛题

题目(2008年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛)已知:如图1,在△ABC中,∠A=75°,∠B=35°,D是BC上一点,BD=2CD,求证:AD2=(AC+BD)(AC-CD).图1此题是培养学生观察、实验、分析、比较、论证的思维能力,培养学生的分析图形,抓住图形的本质,灵活运用定理公式等基础知识综合解决问题的能力的一道几何题,本文对这道题进行具体的分析,以期对数学教学有所启示.分析1观察图1和问题的结论,一看就知道它符合斯特瓦特(Stewart)定理的构图,由斯特瓦特定理(数学竞赛大纲中指定的定理,还有梅涅劳斯定理,塞瓦定理等)可得AD2.BC=AB2.CD+AC2.BD-BC.BD.DC.由BD=2CD,可化简为AD2=12AB2+23AC2-2CD2.①在公式①中,除AB2外,其余各线段都是与该题结论相关的线段,那么AB2与什么线段相关呢,这就是本题的隐含公式,如何找出这隐含公式,我们看结论AD2=(AC+BD)(AC-CD)=(AC+2CD)(AC-CD)=AC2+AC.CD-2CD2.②由①和②公式,可得AB2=AC2+AC.BC这就是本题中的隐含公式下面的所有证法都是围绕解决公式AB2=AC2+...     

一道几何竞赛题的新证及推广

<正>~~     

对一道几何竞赛题解题思路的探求

“时代杯”2008年江苏省中学(初中组)数学应用与创新邀请赛复赛试题中有这样一道几何试题:题目如图1,在△ABC中,D为BC的中点,点E、F分别在边AC、AB上,并且∠ABE=∠ACF,BE、CF交于点O.过点O作OP⊥AC,OQ⊥AB,P、Q为垂足.求证:DP=DQ.图1图2这是一道源于课本,超越课本的几何竞赛题.说它来源于课本是基于当OQ与CF,OP与BE重合时,即BE、CF是△ABC两边上的高时(如图2),比较容易证得DF(Q)=DE(P).有了这样的实际数学背景,在保证图形本质不变(即∠ABE=∠ACF,OP⊥AC,OQ⊥AB)的前提下,对原图形进行变换,这样既可以考查学生对图形与变换本质的理解,也能考查学生对数学解题方法、策略的体悟与运用.作为教师,在素质教育和创新教育的今天,对作为数学教育任务之一的解题教学而言:我们不能仅把“题”作为研究的对象,把“解”作为目标,而要把“解题活动”作为研究对象,把“学会数学地思维”、“促进人的全面发展”作为目标.基于上面的认识,笔者认为有必要对解题活动进行更深入的探求,并且在日常的教学活动中自觉地引导学生对其“解题活动”进行反思,这样的反思不仅是一个全面“回头看”...     

一道几何竞赛题的多角度分析与证明

<正>最近探究了一道非常耐人寻味的几何竞赛题,答案只给出了一种比较麻烦的几何证法,辅助线有9条之多,而且需要多次构造相似三角形,多次运用梅涅劳斯等定理,难度比较大．通过分析,我们会发现几何元素之间有着非常清晰而且丰富的位置与数量关系,所以可以尝试从多种角度探究它的证明．本文提供了解析法,向量法和另外两种几何证法(等差幂线法与根轴法),并进行了一点图形的拓展．通过对比,也可以发现各种方法的优缺点,为解决类似问题积累一定的经验．     

一道浙江竞赛题的研究

题目 设P为椭圆x^2/25＋y^2/16=1长轴上一个动点,过点P斜率为k的直线交椭圆于A,B两点．若｜PA｜^2＋｜PB｜^2的值仅仅依赖于k而与P无关,求k的值．     

一道数学竞赛题的研究

题目1(2012年上海市高中数学竞赛题)正实数x,y,z满足9xyz+xy+yz+zx=4,求证:(1)xy+yz+zx≥43;(2)x+y+z≥2.分析上面不等式等号成立当且仅当x=y=z=23,这时xy+yz+zx=43,x+y+z=2.对于第(1)小题只要将条件9xyz+xy+yz+zx     

一道竞赛题的多层次研究

问题:直角坐标系xOy中,设A,B,M是椭圆C:x2/4+y2=1上的三点.若→OM=3/5→OA+4/5→OB,证明:线段AB的中点在椭圆x2/x+2y2=1上.这题是2010年全国高中数学联赛江苏初赛第11题,是一道非常有研究价值的试题,本文将从此题出发展开探索.     

一道竞赛题的图解法——用单纯形法解一道竞赛题

第二届美国数学邀请赛(1984.3.20举行)的第10题如下:小马在美国中学数学测验中得分在80分以上,他把分数告诉了小姜,小姜能正确地推算出小马解答了几道题,如果小马得的分数少一些,但仍在80分以上,小姜就无法     

基于类比和几何分析的一道竞赛题的新证明

通过分析和类比给出一道大学生数学竞赛题的两个新证明,说明了几何直观对积分不等式证明的启发作用.     

一道竞赛题的简解

题目试对一切不全为0的实数x,y,z,w,给出代数式(xy+2yz+zw)/(x~2+y~2+z~2+w~2)的一个上界,(你给出的上界越小,你得的分数越高)。 (1985年奥地利和波兰联合数学竞赛题),文中介绍了用爬坡式推理解决这道题的方法。下面我们给出这道题的一个简解: (2~(1/2)+1)x~2+(2~(1/2)-1)y~2≥2xy (1) 2(y~2+z~2)≥4yz (2) (2~(1/2)-1)z~2+(2~(1/2)+1)w~2≥2zw (3)     

一道竞赛题的探源

在2005年卡西欧杯全国初中数学竞赛B卷中,出现了这样一道几何题 :如图1,分别以锐角△ABC的边AB、BC、CA为斜边向外作等腰Rt△DAB、等腰Rt△E BC,等腰Rt△FAC,求证:(1)AE=DF;(2)AE⊥DF.