关于一个数列问题的完善和证明

命题设ａ１∈Ｎ＋，ａ１≠１０ｎ（ｎ＝０，１，２，…）．现构造数列｛ａｎ｝：ａｋ＋１是ａｋ的各位数字的平方和．如果存在Ｔ∈Ｎ＋，使得ａＴ＋１＝ａ１，则称ａ１是周期为Ｔ的“周期数”．证明：（１）周期数有且只有４，１６，３７，５８，８９，１４５，４２，２０...     

一些取整数列求和公式及应用

一些取整数列求和公式及应用秦宗慈（镇江高专数理系２１２００３）由取整函数［Ｘ］产生的数列可称作取整数列．关于取整数列的求和，我们已经知道等［１］．本文将证明另外一些求和公式，其中一切字母表示自然数．在公式④中，令ｓ＝２，ｍ＝ｌ便得①；令ｓ＝２，ｍ＝２...     

数列x_（n＋2）＝x~2_（x＋1）／x_n的周期性

数列ｘ_（ｎ＋２）＝ｘ~2_（ｘ＋１）／ｘ_ｎ的周期性江西赣南师范学院熊曾润设数列｛Ｘｎ｝满足其中．本文探讨这类数列的周期性．引理若数列（Ｘｎ）满足（１）和（２），则它必定满足证明应用数学归纳法．（ｉ）ｎ＝１时，由（１）和（２）可得这表明ｎ＝１时等式（３?..     

最后是“1”

随便取一个自然数,如果它是偶数,用２除它;如果它是奇数,将它乘３之后再加１,这样反复运算,最终必然得１．比如,取自然数Ｎ＝６．６是偶数,先用２除,６÷２＝３;３是奇数,要将它乘３之后再加１,３×３＋１＝１０;按着上述法则往下做：１０÷２＝５;５×３＋１＝１６;１６÷２＝８;８÷２＝４;４÷２＝２;２÷２＝１．从６开始经历了３→１０→５→１６→８→４→２→１,最后得１．通过大量演算发现最后结果总是得１．于是数学家提出如下猜想：对于任一个自然数Ｎ,若Ｎ是偶数,就把它变成Ｎ２;若Ｎ是奇数,就把它变成３…     

一个应用广泛的不等式

一个应用广泛的不等式湖南沅陵六中周永国定理若ａ、ｂ∈Ｒ＋，ｎ∈Ｎ，则当且仅当ａ＝ｂ时等号成立．证对任意的非负整数ｋ≤ｎ，有（ｋ＝０，１，…，ｎ），上面ｎ＋１式相加，得等号当且仅当ａ＝ｂ时成立．定理有着广泛的应用，下面举例说明．例１设ａ、ｂ、ｃ是△ＡＢ...     

素环的幂零导子

设Ｒ是中心为Ｚ的素环．本文证明了：（１）设Ｒ的特征＞ｎ，ｎ为自然数，Ｄ是Ｒ上的导子，若Ｒ是交换的并且Ｄｎ（Ｒ）＝（０），则Ｄ（Ｒ）＝（０）；若Ｒ不是交换的并且Ｄｎ（Ｒ）Ｚ，则Ｄ（Ｚ）＝（０）．（２）设Ｒ的特征≠２，Ｄ１，Ｄ２是Ｒ上的两个导子，若［Ｄ１（Ｒ），Ｄ２（Ｒ）］Ｚ，则Ｄ１＝（０），或者Ｄ２＝（０），或者Ｒ是交换的．     

自然数方幂的平方差分拆公式

自然数方幂的平方差分拆公式陕西华阴黄河工程机械厂中学李建章我们易得２ｎ＋１＝（ｎ＋１）２－ｎ２（ｎ∈Ｎ）（１）即任一不等于１的奇数都可表示成两个连续自然数的平方差．文［１］中，曾给出：（２ｎ＋１）２＝（２ｎ２＋２ｎ十１）２－（２ｎ２＋２ｎ）２（ｎ∈Ｎ...     

复合等差(比)数列的通项公式及其应用

我们看两类函数（１）｛ａｆ（ｎ）｝　（ｎ＝１,２,…）（２）｛ｆ（ａｎ）｝　（ｎ＝１,２,…）如果数列（１）、（２）是等差（比）数列,那么我们把它们称为复合等差（比）数列．于是,ａｆ（ｎ）＝ａｆ（１）＋（ｎ－１）ｄ或ａｆ（ｎ）＝ａｆ（１）ｑｎ－１．例１　数列｛ａｎ｝满足２Ｓ２ｎ＝２ａｎＳｎ－ａｎ（ｎ≥２）,ａ１＝２,求ａｎ及Ｓｎ．解　将ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１（ｎ≥１）代入等式,得　　　　２ＳｎＳｎ－１＝Ｓｎ－１－Ｓｎ．因为ａ１＝２≠０,故Ｓｎ≠０,上式可变为１Ｓｎ－１Ｓｎ－１＝２,∴　数列｛１Ｓｎ…     

例说自然数构造数列竞赛题

例说自然数构造数列竞赛题樊友年（湖北省公安县一中４３４３００）自然数构造各种形式的数列，是数学竞赛命题的“热点”，下面列举数例试作说明．１．循环构造例１把数列｛２ｎ＋１｝依次按一项、二项、三项、四项循环分为：（３），（５，７），（９，１１，１３），（...     

本原环为体的条件

本文证明了定理１假定Ｒ是本原环，且（ｘｙ－ｙｘ）ｍ（ｘ，ｙ）＝０，那么Ｒ是除环．定理２假定Ｒ是本原环，且存在自然数ｍ＝ｍ（ｘ，ｙ），ｎ＝ｎ（ｘ，ｙ），使得ｘｍ（ｘｍｙｎ－ｙｎｘｍ）－（ｘｍｙｎ－ｙｎｘｍ）ｘｍ＝０那末Ｒ是除环     

n维单形的纳斯必特——彼得洛维奇不等式

利用优超理论将平面上关于三角形的纳斯必特－彼得洛维奇不等式推广到ｎ维欧几里得空间中的ｎ维单形上,得到Ｎ＾２ｎ（Ｎ－１）（ｄ＋ｎＮ）≤∑Ｎｋ＝１ｓｄ＋ａｋＮ≤Ｎ－ｎｎ＋ｎｎ－１（ｄ＋１）,式中ａｉ（ｉ＝１,…,Ｎ;Ｎ＝ｎ（ｎ＋１）２为ｎ维单形∑Ａ的棱长,ｄ为任一非负实数,ｓ＝１ｎ∑Ｎｉ＝１ａｉ。     

自然数方幂和的一个性质的证明

自然数方幂和的一个性质的证明湖南浏阳十一中刘会成令Ｓｋ（ｎ）＝１ｋ＋２ｋ＋…＋ｎｋ（ｋ≥０，ｋ∈Ｚ）．文［１］，［２］，［３］均提到下面一个性质：Ｓ２ｋ（Ｎ）＝Ｓ２（ｎ）Ｐ２（ｎ）（ｉ）Ｓ２ｋ＋１（ｎ）＝Ｓ２１（ｎ）Ｐ１（ｎ）（ｉｉ）其中ｋ为自然数，...     

用组合的性质求某些数列之和

用组合的性质求某些数列之和孙文亭（九江船舶工业学校３３２００７）组合的性质有Ｃ＝Ｃ，Ｃ＋Ｃ＋Ｃ＝Ｃ＋１，利用组合的性质，可求某些数列之和。给出等式：Ｃ十Ｃ＝Ｃ．（Ｋ∈Ｎ）证明：Ｃ＋Ｃ＋１＝１＋Ｃ＋１＝ｋ＋２则形如Ｃ十Ｃ十Ｃ十十…＋Ｃ）之和的求法如下：...     

非退化扩散过程的极性的必要性

设Ｘ（ｔ）是一Ｎ维非退化扩散过程．设 Ｅ（０，∞）和 Ｆ ＲＮ都为紧集．本文给出了：Ｐ（Ｘ－１（Ｆ）∩Ｅ≠φ）＞０，Ｐ（Ｘ－１（Ｆ）≠φ）＞０和Ｐ（Ｘ（Ｅ）≠φ）＞０的充分条件．证明了：ｉ）设 Ｎ≥ ３，ａ）若 ｄｉｍ（Ｆ）＜Ｎ－２，则 Ｐ（Ｘ－１（Ｆ）＝φ）＝１； ｂ）若ｄｉｍ（Ｆ）＞Ｎ－２，则 Ｐ（Ｘ－１（Ｆ）≠φ）＞０； ｃ）存在 Ｆ１ ＲＮ，Ｆ２ ＲＮ，ｄｉｍ（Ｆ１）＝ｄｉｍ（Ｆ２）＝Ｎ－２，但有Ｐ（Ｘ－１（Ｆ１）＝φ）＝１，Ｐ（Ｘ－１（Ｆ２）≠φ）＞０．ｉｉ）设Ｎ＝１，ａ）若ｄｉｍ（Ｅ）＞１／２，则ｘ∈Ｒ１，Ｐ（Ｘ－１（ｘ）∩Ｅ≠φ）＞０；ｂ）存在Ｅ（０，∞），ｄｉｍ（Ｅ）＝１／２，使得ｘ∈Ｒ１，Ｐ（Ｘ－１（ｘ）∩Ｅ≠φ）＞０．以上这些结果，不仅仅是Ｂｒｏｗｎ运动的推广，即使就Ｂｒｏｗｎ运动的情形而言，其中有些结果也是新的．     

稳定分量过程的图集的Packing测度

本文考虑Ｒ~ｄ中具有如下形式的过程：Ｘ（ｔ）＝（Ｘ_１（ｔ），Ｘ_２（ｔ），…，Ｘ_Ｎ（ｔ）），其中Ｘ_ｉ（ｔ）为Ｒ~ｄｉ中指标为α_ｉ的稳定过程（１≤ｉ≤Ｎ），Ｘ_１（ｔ），…，Ｘ_Ｎ（ｔ）相互独立，ｄ＝ｄ１＋…＋ｄ_Ｎ．通过讨论过程Ｇ（ｔ）＝（ｔ，Ｘ（ｔ））的逗留时分布的渐近性质，研究图集Ｇ［０，１］的Ｐａｃｋｉｎｇ测度函数问题。获得了ψ－ｐ（Ｇ［０，１］）＝０或＋∞的积分判别法，或者其确切测度函数．     

关于数列性质的探讨

一、等差数列根据等差数列的通项公式易得下面性质：性质１若数列｛ａｎ｝是等差数列，则ａ１＋ａｎ＝ａ２＋ａｎ－１＝…＝ａｒ＋ａｎ－ｒ＋１＝…，即与两端等距离的两项之和均相等．性质２若数列｛ａｎ｝是等差数列，则当ｍ＋ｎ＝ｋ＋ｔ时（ｍ，ｎ，ｋ，ｔ∈Ｎ），有ａ...     

一类高幂次的三角数列求和公式

一类高幂次的三角数列求和公式徐和郁（浙江普陀中学３１６１００）本文将给出一系列关于正、余弦的高幂次的三角数列的求和公式．先引入两个引理．引理１ｃｏｓｎθ＝１２ｎ∑ｎｋ＝０Ｃｋｎｃｏｓ（ｎ－２ｋ）θ（ｎ∈Ｎ）．证明见文［１］．引理２∑ｎ－１ｔ＝０ｃｏｓ...     

一类矩阵的Drazin逆

本文得到了一类环上矩阵Ｄｒａｚｉｎ逆的一个定理：设Ｎ表有单位元环Ｒ中零元、可逆元集合与Ｒ的中心Ｚ（Ｒ）的交集，Ｍ表Ｒ的子域与Ｚ（Ｒ）的交集，Ａ∈Ｒｎ×ｎ．若ｆ（λ）＝ｃλｋ（１－λｑ（λ））是Ａ的化零多项式，其中ｑ（λ）的系数属于Ｎ，且ｃ∈Ｎ，则Ａ的Ｄｒａｚｉｎ逆存在，且Ｘ＝Ａｋ［ｑ（Ａ）］ｋ＋１是Ａ的唯一的一个Ｄｒａｚｉｎ逆．     

等差数列，等比数列

等差数列，等比数列湖南隆回一中李锡定【基本概念】１．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差（或比）等于同一个常数，这个数列就叫做等差（或等比）数列．即ａ２－ａ１＝ａ３－ａ２＝…＝ｄ（常数）（或ａ２／ａ１＝ａ３／ａ２＝…＝ｑ（常数））．２...     

数学奥林匹克讲与练(14)

例题讲解１０５．设Ｎ为自然数,将Ｎ的各位数字按相反的次序写出,所得的数称为Ｎ的反序数,记为Ｎ←（例如,１９４５←＝５４９１,４５００←＝５４,等等）．设自然数ｋ具有性质：当Ｎ是ｋ的倍数时,Ｎ←也是ｋ的倍数．求证：ｋ必是９９的因数．证明首先我们注意到,...