Gemischt ganzzahlige lineare Programme zur Lösung gewisser Entscheidungsprobleme

Zusammenfassung Es wird einleitend herausgestellt, daß die Beschränkungsungleichungen, wie sie bei normalen linearen Programmen auftreten, die einzelnen Variablen auf einen Lösungsbereich, d. h. rein quantitativ beschränken. Darüber hinaus kann man auch Beschränkungen über die Anzahl, der in der Endlösung auftauchenden Variablen, festsetzen. Solche Beschränkungen werden als Beschränkungen qualitativer Art bezeichnet. Im zweiten Abschnitt werden dann Modelle aufgestellt, die zusätzlich diese qualitativen Beschränkungen enthalten. Es handelt sich um gemischt ganzzahlige lineare Programme, deren Lösungsmethode nachGomory anschließend dargestellt wird. Abschließend wird ein numerisches Beispiel aus dem Bereich der Absatzplanung gebracht.

---

Summary First it is shown that beside normal inequations as constraints of linear programs there can be qualitative constraints as well. In section 2 programs are put up containing these qualitative constraints in addition to the normal ones. The programs in question are mixed integer ones, the method of solution of which developed byGomory is given in the following section. A numerical example concerning the planning of sales can be found at the end of the paper.

---

Résumé Pour commencer on montre que dans des programmes linéaires il peut avoir comme restriction à côté d'inéquations normales aussi des restrictions d'ordre qualitative. Dans le deuxième chapitre on établi des modèles, qui contiennent en plus ces restrictions qualitatives. Il s'agit de programmes linéaires mixte intégral, dont la méthode de resolution d'aprèsGomory est exposée ensuite. Finalement on traite un exemple numérique.

---

---

Dipl.-Math.Werner Dinkelbach, Mathematisches Institut an der Universität zu Köln, Abt. für Math. Statistik und Wirtschaftsmathematik. Dipl.-Kfm.Franz Steffens, Seminar für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre und für Wirtschaftsprüfung der Universität zu Köln.     

Elektronische Rechenautomaten im Dienste der industriellen Unternehmensforschung

Zusammenfassung Bei vielen praktischen Problemen der Volks- und Betriebswirtschaft geht es darum, ein System von Gleichungen und Ungleichungen mit Nebenbedingungen zu lösen. Die Methode, die es ermöglicht, solche Probleme zu lösen, ist als linear programming, non-linear programming und dynamic programming bekannt. Die Lösung kann dabei praktisch nach zwei grundsätzlich verschiedenen Vorgehen erreicht werden, von welchen das erste durch die Simplex-Methode von George B. Dantzig und das zweite durch die Multiplex-Methode von Ragnar Frisch gekennzeichnet ist. Es werden die Grundzüge dieser beiden Methoden dargelegt und ihre Eignung für elektronische Data-Automations-Maschinen an Hand des Transportproblems geprüft.

---

Summary In many economic problems we are led to systems of equalities and inequalities with constraints. Usually, these systems can be solved by the linear programming, non-linear programming and dynamic programming techniques. There are two fundamentally different practical approaches, namly the well-known Simplex-Method introduced by George B. Dantzig, and the Multiplex-Method due to Ragnar Frisch. The characteristic features of these two approaches are explained, using the transportation problem as example. The use of electronic data processing equipment for solving these problems ist analyzed, with special reference to these two fundamental approaches.

---

Résumé Beaucoup de problèmes économiques ne peuvent etre résolus que par la solution de systèmes d'égalités et d'inégalités étant soumises à des constraintes. La méthode usée est, selon le cas, celle du linear programming, du non-linear programming et du dynamic programming. Cette méthods s'effectue par deux modes de calculs fondamentalement différents, c'est-à-dire par la méthode du Simplex de George B. Dantzig, et par celle du Multiplex due à Ragnar Frisch. Les traits principeaux de ces deux modes de calculs sont expliqués à l'aide du problème des transports, et ils sont, en outre, examinés au point de vue de leur applicabilité aux machines électroniques data processing.

     

Zur Mathematik der Fahrstuhlverteilungen

Zusammenfassung Für Aufzugssysteme werden die in Frage kommenden Besetzungsverteilungen aufgestellt und daraus Formeln für die mittlere Steighöhe und die durchschnittliche Anzahl der Halte abgeleitet.Eine numerische Auswertung der Ergebnisse wird im Anhang gegeben.

---

Summary The probability distributions of occupancy problems are given for lift-systems and therefrom formulas are derived for the mean of height of ascending and the average number of stops.A numerical exploitation of the results may be found in the appendix.

---

Résumé Les distributions de probabilité concernant le problème de répartition d'objets dans un ensemble de cases sont détuites pour des systémes d'ascenseur. Des équations pour la moyenne ascension et pour le moyen nombre des arrëts sont dérivées.Un appendice contient une exploitation numérique.

     

Approximations and bounds for a generalized optimal stopping problem

We study a finite-horizon nonstationary Markovian decision problem, that can be interpreted as generalized optimal stopping and whose solution via the usual dynamic programming is in most practical cases not feasible from a computational point of view. Under certain assumptions, most importantly stochastic monotonicity, upper and lower bounds are obtained for optimal values and decisions using a reduced dynamic programming. From this, a suboptimal policy is derived with an upper bound on its suboptimality. Computational aspects and a particular application from optimal exploratory oil drilling are discussed.

---

Zusammenfassung In der Arbeit wird ein nichtstationäres Markowsches Entscheidungsproblem mit endlichem Planungshorizont betrachtet, das als verallgemeinertes Stopp-Problem interpretiert werden kann. Die numerische Lösung des Problems mit Hilfe der üblichen Methode der dynamischen Optimierung ist in der Regel zu rechenaufwendig. Es wird deshalb eine Methode der approximativen Lösung des Problems (mit gewissen Einschränkungen) vorgeschlagen, und es werden obere und untere Schranken für den Optimalwert hergeleitet. Ferner wird eine suboptimale Politik mit einer oberen Schranke für die Suboptimalität angegeben. Abschließend wird ein praktisches Anwendungsbeispiel (optimale Versuchsbohrungen nach Öl) diskutiert, an dem auch rechentechnische Aspekte des entwickelten Lösungsverfahrens erläutert werden.

---

---

Research partially supported by the Consiglio Nazionale delle Ricerche (CNR), Italy, through contract n.80.02343.01 and through GNAFA.     

Integral methods in rarefied gasdynamics

The question of convergency in integral methods for rarefied gasdynamics is examined through the example of low-speed flow over a sphere. The four-moment solution and the six-moment solution both compare favorably with experimental data for drag and heat transfer over the entire range of gas density. Discrepancy between the two solutions show a maximum of 0.6% in drag coefficient and a difference of the order of Mach number squared in heat transfer.

---

Zusammenfassung Die Konvergenzfrage bei Integralmethoden für die Dynamik verdünnter Gase wird untersucht anhand des Beispiels der Kugelumströmung bei niedrigen Geschwindigkeiten. Four-moment und six-moment Lösungen sind in guter Übereinstimmung mit Versuchsdaten für Widerstand and Wärmeübergang im gesamten Dichtebereich. Die Diskrepanz zwischen beiden Lösungen ist maximal 0.6% für den Widerstandsbeiwert und von der Grössenordnung des Quadrats der Machzahl für den Wärmeübergang.

---

---

This paper is a token contribution in honor of Professor N. Rott who has been a teacher to the author beyond rarefied gasdynamics.     

Eine Methode der Produktionsplanung

Zusammenfassung Für eine Firma, bestehend aus verschiedenen Betrieben, sei die Gesamtmenge verschiedener herzustellender Produkte vorgegeben. Dabei werden für die einzelnen Produkte zusätzlich zulässige Mindest- und Höchstmengen gefordert. Darüber hinaus mögen Beschränkungen derart bestehen, daß für jeden einzelnen Betrieb Mindest- und Höchstgrenzen für die Produktion der jeweiligen Produkte wie auch für die gesamte Kapazität bekannt sind. Ziel ist, unter Einhaltung der Nebenbedingungen die gesamten Herstellungskosten der Firma zu minimieren.In der vorliegenden Arbeit wird ein Algorithmus zur Lösung dieser Aufgabe entwickelt. Er kann als geeignete Abwandlung des Simplex-Verfahrens aufgefaßt werden und führt in endlich vielen Schritten zur optimalen Lösung.

---

Summary The total amount of the different articles to be produced in a firm consisting of various plants is given. For each product admissable lower and upper bounds are requested. An additional set of restrictions is a result of the requirement for upper and lower bounds for the production of the special goods as well as for the total amount in each single plant. The problem consists in minimizing the total production costs of the firm by observing the restrictions.In this paper an algorithm is derived for the solution of this problem. It can be regarded as a modification of the Simplex-method and produces in a final number of steps the optimal solution.

---

---

Vorgel. v.:H. Künzi     

A method for the evaluation of hail suppression

Zusammenfassung Ein Sequenztest-Verfahren wurde für die Prüfung der Annahme entwickelt, dass Hagelverhinderungsversuche die Frequenz der Hageltage verkleinern. Das Verfahren ist auf die Angaben über den Grossversuch II zur Unterdrückung des Hagels in der Magadinoebene (Schweiz) angewandt worden. Funktionen für die Versuchskenngrössen und Stichproben-Mittelwerte sind ebenfalls entwickelt und am selben Beispiel zur Anwendung gebracht worden. Schliesslich werden die Folgerungen, die sich hinsichtlich der Versuchsverfahren und Testergebnisse abzeichnen, erörtert.

---

---

Advisory Committee on Weather Control, Technical Report No. 4.     

Tagesoptimierung eines Speicherkraftwerkes auf der Basis einer Momentanoptimierung

Zusammenfassung Die im Verlauf eines Tages von einem Jahresspeicherkraftwerk abgerufene Leistung soll mit einem Minimum an potentieller Energie erzeugt werden. Die Tagesganglinie ist auf Grund einer Prognose gegeben. Zunächst wird für das Kraftwerk eine Tagesoptimierung durchgeführt. Diese sehr aufwendige Berechnung erfolgt offline über den gesamten jeweils möglichen Leistungs- und Höhenbereich mit einem globalisierten Optimierungsverfahren. Der optimale Schaltplan wird mit einem Modell der dynamischen Optimierung berechnet. Beispielsrechnungen für konkrete Kraftwerke liegen vor.

---

Summary The power for a full day's production called off from a large Hydro Energy plant is to be generated with minimum losses of potential energy. First an instant optimization for the energy plant is carried out for the whole feasible region both of power and head. Computation is done with help of a globalized optimization algorithm. An optimal switching strategy is computed by dynamical programming. Some real world energy plants are taken as examples.

---

---

Die der Arbeit zugrundeliegenden Verfahren zur numerischen Lösung nichtlinearer Gleichungen und nichtlinearer Optimierungsprobleme wurden vom Fonds zur Förderung der österreichischen Forschung unterstützt (Nr. 2811 und Nr. 3472). Ihm sei an dieser Stelle herzlich gedankt.     

Reihenfolgeprobleme und Graphentheorie

Zusammenfassung Die Reihenfolgeprobleme, wie verschiedenartig sie auch sein mögen, enthalten immer die gleiche Grundaufgabe: den nach einem gegebenen Kriterium günstigsten Durchführungsweg zu finden für mehrere zu verrichtende Arbeiten, die untereinander durch Anordnungsbedingungen gebunden sind. Je nachdem, ob man die Aufsführungsdauer einer Arbeit durch Veränderungen im Personal-, Material- und Arbeitsmitteleinsatz variieren kann oder nicht und ob alle Anordnungsbedingungen festgelegt oder zum Teil unbekannt sind, kann man mehrere Problemtypen unterscheiden.Bei Problemen dieser Art kann man die Begriffe und Ergebnisse der Graphentheorie vorteilhaft anwenden, ganz besonders im einfachsten und häufigsten Fall, wo Dauer und Reihenfolge der Arbeiten festgelegt sind. Mit Hilfe einfacher Algorithmen errechnet man sehr schnell — mit oder ohne elektronische Rechenanlagen — die günstigste Lösung. Solche Probleme können auch in Form von linearen Programmen ausgedrückt und gelöst werden, nur würde die Kapazität der heutigen Rechenanlagen nur in den günstigsten Fällen ausreichen, und auch dann wären die Rechenzeiten viel zu lang.Umgekehrt kann man gewisse Typen linearer Programme, die an sich mit Reihenfolgeproblemen nichts zu tun haben, in Graphen transponieren und mit Hilfe einfacher Algorithmen schnell lösen.

---

Résumé Les problèmes d'ordonnancement présentent des aspects très divers, mais ils concernent toujours la recherche de la réalisation optimum, par rapport à un critère donné bien entendu, d'un certain nombre de tâches liées entre elles par des contraintes qui sont exprimées pratiquement sous forme de relations d'ordre: antériorité, postériorité, simultanéité. Il est possible de faire une classification de ces problèmes à partir des caractéristiques de ces tâches et de ces relations d'ordre. La durée de réalisation d'une tâche donnée est en effet une constante ou une quantité variable selon que l'on peut ou non faire varier les effectifs des moyens mis en oeuvre pour réaliser cette tâche. De la même façon, les relations d'ordre peuvent être entièrement imposées ou une partie d'entre elles peut constituer une des inconnues du problème.L'utilisation des concepts et des résultats de la théorie des graphes pour de tels problèmes est toujours très intéressante. Cette utilisation est particulièrement remarquable dans le cas le plus simple, mais cependant fréquent, où la durée des tâches et les relations d'ordre sont fixées. Des algorithmes simples conduisent très rapidement à la solution optimum soit manuellement soit sur calculateur électronique. De tels problèmes peuvent être exprimés aussi sous la forme de programmes linéaires, mais l'ampleur de ces programmes conduirait à des temps de calcul très longs dans les cas favorables où les capacités des calculateurs actuels ne sont pas dépassées.De ce parallélisme entre certains types de programmes linéaires et leur transposition sous forme de graphes il résulte qu'inversement des programmes linéaires dont le support concret n'a rien à voir avec des problèmes d'ordonnancement peuvent être résolus très rapidement par les algorithmes précédents.

---

---

Vortrag auf der Jahrestagung der Deutschen Gesellschaft für Unternehmensforschung am 19. 10. 1962 in Bonn.

---

Vorgel. v.:J. Nitsche     

Moving Dugdale model

This study proposes a moving Dugdale model for modes I, II and III, presents a fully dynamic analysis of the problem with the help of complex function theory and gives an exact analytical solution. From this solution, the stress and displacement fields and the dynamic crack opening displacement for mode I, II and III are determined. Based on this, the author proposes a criterion to describe dynamic behaviour of a moving defect in solids.

---

Zusammenfassung Diese Arbeit schlägt ein bewegliches Dugdale Modell für Mode I, II und III vor. Sie gibt eine vollständige dynamische Analyse des Problems mit der Methode der komplexen Funktionstheorie und liefert die exakte analytische Lösung. Aus dieser Lösung werden die Spannungs- und Verschiebungsfelder und damit die dynamischen Rißöffnungsverschiebungen für Mode I, II und III dieses Problems bestimmt. Auf dieser Grundlage schlägt der Autor ein Kriterium zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens eines bewegten Defekts in einem Festkörper vor.

---

---

This work is supported by the Research Fellowship of Alexander von Humboldt Foundation, Federal Republic of Germany.     

A difference scheme for Vlasov's equation

A difference scheme is developed for the solution of the initial-value problem for the one-dimensional Vlasov equation for a collisionless electron plasma with a homogeneous ion background. Instead of the distribution function itself, its Fourier transform with respect to velocity is used. Case studies of nonlinear Landau damping, a stationary equilibrium, and a two-stream instability are presented as preliminary applications.

---

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird ein Differenzenschema für die Lösung des Anfangswertproblems für die eindimensionale Vlasov-Gleichung für ein stoßfreies Elektronenplasma mit homogenem Ionenhintergrund entwickelt. Statt der Verteilungsfunktion selbst wird deren Fouriertransformierte bezüglich der Geschwindigkeitsvariablen benutzt. Als vorläufige Anwendungen werden Fallstudien über nichtlineare Landaudämpfung, ein stationäres Gleichgewicht und eine Zweistrominstabilität durchgeführt.

---

---

This work was supported in part by the Atomic Energy Commission Grant No.AT(11-1)-2059.     

Industrielle Systemforschung

Zusammenfassung Der Begriff "Automatismus" wird begründet und der Beitrag der Informationstheorie und Kybernetik zur Verwirklichung des industriellen Automatismus diskutiert.

---

Summary The concept of "automatism" is established and the contribution of information theory and cybernetics towards the realization of industrial automatism is discussed.

---

Résumé Le concept d' "automatisme" est établí et la contribution de la théorie de l'information et la cybernetique à la réalization de l'automatisme industriel est discuté.

---

---

Berichtet am Internationalen Kongreß für Automatik: Madrid, 13.–18. Oktober 1958. Siehe auch [1].     

Flow due to an oscillatory free stream past a rotating disk

Summary In this paper, an exact solution of the Navier-Stokes' equations for the flow due to the harmonic oscillations of a free stream past a rotating disk is presented. The differential equations for this flow, valid for all amplitudes and frequencies of oscillations, are obtained. Analytical-numerical solutions are developed for low and high frequency of oscillations and enough numbers of terms are used in the calculation to give the solution a satisfactory accuracy over the entire flow region.

---

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird eine exakte Lösung der Navier-Stokes' schen Gleichungen für die durch die harmonischen Schwingungen einer freien Strömung an einer rotierenden Scheibe verursachte Strömung angegeben. Die Differentialgleichungen für die Strömung, gültig für alle Amplituden und Oszillations-frequenzen, werden erhalten. Analytisch-numeriche Lösungen werden für hohe und niedrige Oszillations-frequenzen entwickelt und eine genügende Anzahl von Gliedern wird in der Berechnung gebraucht, um der Lösung eine befriedigende Genauigkeit über den ganzen Strömungsbereich zu geben.

     

A generalized spherical harmonics solution basic to the scattering of polarized light

A generalized spherical harmonics solution for the azimuthally symmetric component of a Fourier representation of the vector of Stokes parameters basic to the scattering of polarized light in a plane-parallel layer is reported. The final result is continuous in both independent variables and is valid for a general class of scattering matrices. Computational aspects of the developed solution are discussed, and numerical results for the relevant Stokes vector are given for several realistic cases.

---

Zusammenfassung Es wird über eine verallgemeinerte Lösung in Kugelfunktionen berichtet für die azimutalsymmetrische Komponente der Fourier-Darstellung eines Vektors von Stokes-Parametern, die für die Theorie der Streuung von polarisiertem Licht in ebenen parallelen Schichten grundlegend ist. Das Endresultat ist kontinuierlich in beiden unabhängigen Veränderlichen und ist für eine allgemeine Klasse von Streumatrizen gültig. Rechnerische Aspekte der gewonnenen Lösung wurden diskutiert, und numerische Lösungen für den relevanten Stokes-Vektor werden für verschiedene realistische Fälle angegeben.

     

Oscillatory flow near the entry of a circular tube

Zusammenfassung Die periodische laminare Strömung einer zähen inkompressiblen Flüssigkeit in der Eintrittspartie eines zylindrischen Rohres wird auf Grund der linearisierten Gleichungen vonNavier undStokes berechnet. Es wird dabei angenommen, dass im Eintrittsquerschnitt in jedem Zeitpunkt eine über den Querschnitt konstante Geschwindigkeit herrsche, die jedoch eine Funktion der Zeit ist. Formeln für den Druckgradienten und die Geschwindigkeitskomponenten in Richtung längs der Rohrachse werden erhalten. Ebenso wird die Einlaufstrecke berechnet.

---

Sommaire On étudie l'écoulement laminaire oscillatoire d'un fluide incompressible visqueux près de l'entrée d'un tube circulaire sur la base des équations linéairisées Navier-Stokes. On suppose que la vitesse du fluide soit uniforme à l'entrée et qu'elle soit une fonction de temps connue périodique arbitraire. On obtient des formules pour les composantes longitudinales de la vitesse et le gradient de pression et on calcule la longueur d'entrée.

     

Upper and lower bounds for eigenvalues of torsion and bending problems by finite difference methods

Zusammenfassung In diesem Artikel werden mit Hilfe von Differenzenanalogien mathematisch strenge obere und untere Schranken für die Torsions- und Biegungsfrequenzen freier Balken hergeleitet. Zur Lösung des Differenzenproblems werden sodann Sturm-Folgen Algorithmen vorgeschlagen. Tabellen numerischer Ergebnisse für verschiedene Beispiele mit stückweise konstanter Masse und Biegesteifigkeit zeigen eine Überlegenheit gegenüber Ergebnissen, die früher mit Hilfe von Raleigh-Ritzschen- und Vergleichsoperator-Verfahren erhalten worden waren.

---

---

This work supported by the Department of the Navy, Bureau of Naval Weapons, under Contract NOw-62-0604-c.     

Zeitrafferaufnahmen als Hilfsmittel der Unternehmensführung

Zusammenfassung Die Möglichkeit der Verwendung von Filmapparaten kombiniert mit Stenerungsgeräten bei wirtschaftlichen Untersuchungen werden dargelegt. Einige der auf technischem und naturwissenschaftlichem Gebiet verbreiteten Anwendungsmöglichkeiten der Photo- und Filmtechnik eignen sich für die Bearbeitung von wirtschaftlichen Problemen. Systematische Beobachtung und Kontrolle unregelmäßiger Bewegungen bzw. Verhaltens von Menschen und Gütern liefern nützliche Grundlagen bei der Bearbeitung zahlreicher Aufgaben der Unternehmensführung.

---

Summary The utilization of film apparatus connected with steering devices for economic investigations is discussed. Some methods of application of film technique known in technical and natural sciences can be adopted for the solution of economic problems. Systematic investigations into irregular motions and behavior of men and goods give a useful basis for dealing with questions of management operation.

---

Résumé Les possibilités concernant l'emploi d'appareils cinématiographiques combinés avec des appareils de commande sont expliquées ici en vue d'études économiques. Certaines possibilités d'application de la technique en photo en cinéma connues dans le domaine de la technique et des sciences naturelles se prêtent à l'étude de problèmes économiques. Une observation systématique et un contrôle des mouvements irréguliers c.a.d. un contrôle de la tenue des personnes et matières sont susceptibles de fournir des bases utiles pour l'étude de nombreux problèmes qui se posent pour la conduite de l'entreprise.

     

Approximate solution of boundary layer problems with injection or suction

Zusammenfassung Der grundlegende linearisierte Ansatz zur Näherungslösung von Grenzschichtproblemen wird auf neue Anwendungen erweitert, um die Behandlung von Problemen mit Massenaustausch durch die Oberfläche zu ermöglichen und die Beschränkung auf die Prandtl-Zahl 1 zu mildern. Das klassische Problem der konstanten, d. h. nicht ähnlichen Geschwindigkeitsverteilung an der Oberfläche wird behandelt, und die Ergebnisse werden mit der exakten numerischen Lösung verglichen. Es ergibt sich eine ausgezeichnete Übereinstimmung. Sodann wird eine Lösung des schwierigen und praktisch wichtigen Problems einer Stufenfunktion für die Oberflächengeschwindigkeit gegeben. Die freie Konvektion über einer vertikalen Platte mit konstanter Temperatur und Oberflächengeschwindigkeit wird erstmalig gelöst. Schliesslich wird das der Schlitzeinspritzung entsprechende Anfangswertproblem unter Milderung der bisherigen AnnahmeP _r =1 behandelt.

---

---

This work was supported by the National Science Foundation, Grant No. GK-310,     

The rolling-up of a vortex sheet

Zusammenfassung Die vorliegenden Untersuchungen befassen sich mit dem Problem der zweidimensionalen zeitabhängigen Strömung, welche mit dem Abrollen einer semiunendlichen Wirbelfläche verbunden ist. Obwohl bereits vorliegende analytische Untersuchungen an diesem Problem Näherungslösungen für die Spiralform der aufgerollten Wirbelfläche ergeben, so dürfte es doch schwierig sein, aus diesen Ergebnissen das zugehörige Strömungsfeld zu erhalten. In dieser Arbeit werden Differentialgleichungen für den Mittelwert und den Sprung des komplexen Potentials abgeleitet, welche zur Beschreibung des Strömungsfeldes über die gesamte Ebene benutzt werden können. Für den Spiralkern stimmt die hier angegebene Lösung mit der vonKaden überein.     

Zur Theorie und Praxis der dynamischen Optimierung

Zusammenfassung Für eine große Klasse kontinuierlicher dynamischer Optimierungsprobleme, bei denen es sich um die Optimierung eines Integralausdrucks unter gewissen nichtholonomen Nebenbedingungen handelt, wird nach der Untersuchung der Existenz von Lösungen und der Ableitung einer Funktionalgeichung in Teil I dieser Arbeit in einem II. Teil (veröffentlicht im nächsten Heft dieser Zeitschrift) ein Verfahren zur Lösung mit Hilfe eines iterativen elektronischen Analogrechners einschließlich der zugehörigen Konvergenzbetrachtungen angegeben. Das Lösungsverfahren ist auch für Digitalrechner verwendbar, als besonders geeignet erscheinen die gerade jetzt in der Entwicklung begriffenen hybriden Rechenanlagen.

---

Summary We treat a large class of problems of continuous dynamic programming. We have to optimize a certain integral expression restricted by some nonholonomic secondary conditions. We investigate the existence of solutions, and derive a functional equation. In a second part of this paper (being published in the next number of this journal) we give a method for the solution of this problem by means of an iterative analogue computer, and study the convergence of this method. For our procedure we can also use digital computers, especially hybrid computers.

---

---

Diese Arbeit ist ein Auszug aus der von der Fakultät für Allgemeine Wissenschaften der Technischen Hochschule München genehmigten Dissertation des Dipl.-Math.Klaus Neumann, Institut für Angewandte Mathematik der Technischen Hochschule München, Dir. Prof. Dr.J. Heinhold, 8 München 2, Arcisstraße 21. Tag der Promotion: 18. 12. 1964.

---

Vorgel. v.:J. Heinhold