一道联赛题的新证法

一九八九年全国高中数学联赛第二试第二题抄录如下: 已知x_1∈R(i=1,2,…,n,n≥2)满足 sum from i=1 to n |x_i|=1,sum from i=1 to n x_i=0. 求证 |sum from i=1 to n x_i/i|≤1/2-1/2n. 这道题参考答案上已给出了两种证法,现在我们再给出另外一种证法,这种证法比参考答案给出的两种证法都简单,而且更加紧扣教材,更容易为学生所接受。证明任给i∈{1,2,…,n},则有     

1998年高中联赛一道试题的几种证法

９９８年全国高中数学联赛加试卷第一题为：如图，Ｏ，Ｉ分别为△ＡＢＣ的外心和内心，ＡＤ是图１ＢＣ边上的高．Ｉ在线段ＯＤ上．求证：△ＡＢＣ的外接圆半径等于ＢＣ边上的旁切圆半径．试题组提供的答案是用三角法证明．本文介绍几种不同的证法．证明［方法１］记ＡＢ＝...     

一道联赛题的多种证法

2014年广西高中数学联赛第10题为：如图1,已知D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点,△ABC的内切圆分别与边BC、CA切于G、F,求证：DE、GF的交点在∠ABC的角平分线上.标准答案给出的证明较为复杂,下面提供几个简单的证法.证法一如图2,设DE、GF的交点为H,K为边AB与圆的切点,连接AH并延长交BC于W.∵DE∥BC,BD=DA,∴AH=HW.     

2001年全国高中数学联赛一道平几题的几种证法

20 0 1年全国高中数学联赛加试第一题是 :如图 1 ,△ ABC中 ,O为外心 ,三条高 AD、图 1BE、CF交于点 H ,直线ED和 AB交于点 M,FD和 AC交于点 N.求证 :(1 ) OB⊥ DF,OC⊥ DE;(2 ) OH⊥ MN.由于第 (1 )小题比较容易 ,本文将略去其证明 ,而重点介绍第 (2 )小题的证明方法 .证法 1　 (解析法 )以直线 BC为 x轴 ,AD为 y轴建立直角坐标系 ,设 A(0 ,a) ,B(b,0 ) ,C(c,0 ) ,H (0 ,h)由 CH⊥ AB,得　 h- c. a- b=- 1∴　 h =- bca,即 H (0 ,- bca) .又设⊙ O的方程为x2 y2 Dx Ey F =0 ,则　a2 Ea F =0b2 Db F =0c2 Dc…     

一道微积分题的几种证法

利用一般化方法就一道微积分题给出几种证明,并将结论推广到一般拓扑空间.其过程展示了所得拓扑定理的形成思路,可作为开拓思维的范例.     

一道高中联赛题的三种解法

题目（2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛第8题）设点O是△ABC的外心,AB=13,AC=12,则BC·AO=____．思路一关注到题设中的外心是中垂线的交点,通过把内向量转化为外向量,结合向量计算即可．     

一道联赛题的几种解法

题目(1998年全国初中数学联赛试题)如图1,在Rt△ABC中,两条直角边AB和AC的长分别为1和2,求△ABC的角平分线AD的长度．通过对这道题目的探讨,我们利用面积、相似比、重心和余弦定理等方法,给出了它的     

一道高中联赛题的简解

1993年度全国高中数学竞赛有一这样一个题目:实数x、y满足4x~2-5xy 4y~2=5,设s=x~2 y~2,则1/S_(max) 1/S_(min)的值为______.本文给出它的两个仅用到初中知识的解法。     

一道高中联赛题的另解

<正>题目如图,在锐角三角形ABC中,∠BAC≠60°,过点B、C分别作三角形ABC的外接圆的切线BD、CE,且满足BD=CE=BC.直线DE与AB、AC的延长线分别交于点F、G.设CF与BD交于点M,CE与BG交于点N.证明:AM=AN.这是2014年全国高中数学联合竞赛加试的第二题.组委会提供的两种解法中,一种是多次利用角平分线性质定理得证,技巧性较强;另一种是利用余弦定理,通过计算线段长度求得.本文给出两种比较基础的证明方法,供读者参考.     

一道联赛题的两种新解法

题目必的最大值.若:井0,求解1(1992年全国初中数学联赛题)要使原式有最大值,必须:)0.(配偶法)令 力不尹泣石而一丫万下尹材:二二——一——,召互干乎不石万+了丁浮石飞矛,二二二则(、万不王丁平户)“拄矛、‘二一——一-一一—兰-心三鱼一i一1,一在不二+存石一价令一)2十3+在事藕当一圣一云二O,即x~l时砂.小~ 故当林.大--了了+抓牙.1时, l沂百十丫-百~丫万~一汀. 附:上述解法受本刊1991年第7期《配偶·运算·解题》一文启发而得.更值得一提的是,该文的例16:“设:>0,试求;~了下十介一沂再二。。大值一,与这道联赛题类似. 解2(解析法)但 一扛…     

高中联赛一道预赛题的探究

<正>首先来看一道2014年陕西数学联赛预赛题.已知圆O:x2+y2=1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,M是圆O上任意一点(除去圆O与两坐标轴的交点).直线AM与BC交于点P,直线CM与x轴交于N,设直线PM、PN的斜率分别为m、n,求证:m-2n为定值.     

一道高中联赛题引起的探究

题目　已知点 A ( 1,2 ) ,过点 ( 5,- 2 )的直线与抛物线 y2 =4 x交于另外两点 B、C,那么△ ABC是(　　 ) .( A)锐角三角形　　　　 ( B)钝角三角形( C)直角三角形 ( D)答案不确定这是 1999年全国高中数学联合竞赛第一大题中的第 6小题 ,正确答案是选 ( C) .解题后 ,笔者在该题     

一道联赛题的新证

<正>如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D,延长AD交CH以点P,求证:点P为CH的中点.这是2014年全国初中竞赛题的一道几何题,命题组给出的答案不容易想到,本文连接现有的点,应用相似三角形的比和正弦定理以及中线均分三角形面积的结论,思路清晰,推理简单,很适合初中生学习.     

一道全国高中联赛题的求解视角

<正>著名教育家波利亚说:一个认真备课的教师,能拿出一个有意义又不太复杂的题目,去帮助学生发掘问题的各个方面,使得通过这道题,就好像一道门,把学生引入一个完整的领域.求函数的值域(最值)问题是近几年高考和各类竞赛中考查的重点内容之一,解法灵活,综合性强,能力要求较高,本文通过对一道全国联赛求函数值域试题的解法探讨,展示求函     

一道全国高中联赛题的求解视角

著名教育家波利亚说：一个认真备课的教师,能拿出一个有意义又不太复杂的题目,去帮助学生发掘问题的各个方面,使得通过这道题,就好像一道门,把学生引入一个完整的领域.求函数的值域（最值）问题是近几年高考和各类竞赛中考查的重点内容之一,解法灵活,综合性强,能力要求较高,本文通过对一道全国联赛求函数值域试题的解法探讨,展示求函数值域问题的核心方法.     

2011年全国高中联赛一道题的三种解法

<正>(2011年高中数学联赛第六题)在四面体ABCD中,已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°,AD=BD=3,CD=2,则四面体ABCD的外接球的半径为.解法一由题意知:四面体的面△ABD是正三角形,又由余弦定理易知CA=CB=槡7.分别取AB,CD的中点K,M,取三角形△ABD中心N,连接CK,DK.在等腰三角形ABC中,对直角三角形     

2011年全国高中联赛一道题的三种解法

（2011年高中数学联赛第六题）在四面体ABCD中,已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°,AD=BD=3,CD=2,则四面体ABCD的外接球的半径为.解法一由题意知：四面体的面△ABD是正三角形,又由余弦定理易知CA=CB=槡7.分别取AB,CD的中点K,M,取三角形△ABD中心N,连接CK,DK.在等腰三角形ABC中,     

一道赛题的两种证法

<正>~~     

一道名题的两种证法

<正>题目设MN是圆O的一条弦,过O作MN的垂线,A为垂足,过A作弦BC及DE,连BE、CD,分别交弦MN于F、G.求证:AF=AG.如图1,这道题的圆形酷似蝴蝶,所以这个题目称蝴蝶定理.这是一道世界名题,此题证明难度较大,本文给出两种证法,供同学们参考与欣赏.证法1全等三角形     

一道极限题的四种证法

分别利用泰勒公式、不动点理论结合牛顿迭代法,给出一道关于极限问题的四种证明方法．