用韦达定理速解一类题

有一类题若用常规方法来解十分艰难，但若将它与方程联系起来，巧用韦达定理，则变得十分简易，巧用韦达定理往往可以达到化难为易，事半功倍的效果．下面以一类型题加以说明．对于a＝2,4，6，8均成立，此处x，y，z，w为实数，求x2＋y2＋Z2＋w2的值．分析常规的方法是将a＝2,4,6,8代入得到4个关于x2，y2，z2,w2的一次联立方程组．然后用消元法解求出x2，y2，z2，w2，相加后得出需求的值．我们由题意可视x，y，z，w是常实数，而视a2是变数，通分后原题可以视为a2的4次方程．这个4次方程有4个根：a2=4，16，36，64，于是可以联想：所求值x2＋…     

构造抛物线巧解向量题

平面向量是高中数学的一个难点.要想成功解决一个向量问题,就应该打破常规,跳出向量的苑囿,寻找新的解题途径.     

利用“韦达定理”解竞赛题

<正>一元二次方程的根与系数的关系,常常也称为韦达定理,它是16世纪法国杰出的数学家韦达发现的.韦达定理如果ax²+bx+c=0(a≠0)的两个根是x_1、x_2,那么x_1+x_2=-b/a;x_1·x_2=c/a.在数学竞赛中,利用韦达定理解题屡见不鲜.一、直接利用韦达定理解题     

韦达定理的几何意义巧解一道高考题

一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）．韦达定理是：x1＋x2=-b/a,x1x2=c/a,设不过原点的二次函数y=ax^2＋bx＋c=0的图像与x轴有两个交点A（x1,0）、B（x2,0）与y轴的交点是C（0,c）,过A、B、C做圆M,     

利用对称性巧解一道题

<正>~~     

利用计算器巧解几何题

现在计算器的功能越来越强,学会用计算器辅助解题非常值得研究．在让学生理解算理和掌握基本运算的基础上,用计算器进行运算和进行简单规律的探索大有文章可做．教师要鼓励有条件和有兴趣的学生熟练掌握自己拥有的计算器．     

利用韦达定理变形的技巧

<正>在数学学习中,尤其是在直线与圆锥曲线的综合问题中经常用到韦达定理去处理相关问题.比较简单的情形,例如(x_1-x_2)~2=(x_1+x_2)~2-4x_1x_2我们知道可以通过配方来处理.但是在实际问题中会出现形如mx_1+nx_2+px_1x_2+q=0的形式,往往无从下手.下面先看一道例题:     

运用两个比例定理巧解三角题

在求解某些三角函数题时 ,通过揭示题目中的比例关系 ,运用等比定理和合分比定理可得到简捷巧妙的解决 .等比定理是指 :若 b1a1=b2a2 =b3a3=… =bnan =k ,则b1+b2 +b3+… +bna1+a2 +a3+… +an=k(其中a1+a2 +a3+…+an≠ 0 ) .合分比定理是指 :若 ba =dc ,则 a -ba +b=c -dc+d(其中a +b ,c +d≠ 0 )或 a +ba -b=c +dc-d(其中a -b ,c -d≠ 0 ) .下举几例以说明 .例 1　求证 :1) 1+sin2θ -cos2θ1+sin2θ +cos2θ=tanθ ;2 ) 1+secα +tanα1+secα -tanα=secα +tanα .证明　 1)因为tanθ =sinθcosθ=2sinθ·cosθ2cos2 θ =sin2θ1+cos2…     

利用二次函数巧解一类等差数列题

利用二次函数巧解一类等差数列题李长春（安徽省宣州市宣城中学２４２０００）我们知道，当等差数列的公差时，其前ｎ项和是关于ｎ的二次函数，当问题与山和ｄ的关系不密切时，可设求解，这样能简化解题过程．一、利用函数表达式例１已知等差数列｛ａｎ｝满足见求解令由得...     

利用互余关系巧解三角函数题

1课题“平面向量基本定理” 2教材分析 2．1教学目标充分利用信息技术创设数学情境，在互助互惠的活动环境中，让学生积极参与，自主探究平面向量基本定理的形成过程。     

利用互余关系巧解三角函数题

恰到好处地利用角的互余关系常常能使我们的思路豁然开朗,近几年的高考由于淡化了三角变换的人为技巧,因此对互余角的变换的考查便摆上比较显著的位置,有鉴于此,笔者认为对于此类问题有关方法的探究就显得十分必要.从高考试题来看,互余关系有隐性与显性两种,而考查方式则主要集中在三角求值与对三角函数性质的考查上,下面举例加以说明.1显性的互余关系有些问题中角的互余关系比较明显,能够快速发现,解决这类问题只需将互余关系的函数换名即可,积累一些常见互余关系的角能使我们的解题事半功倍.如π4 α与π4-α,π3 α与π6-α等.例1(2005年…     

利用韦达定理证明某些三角恒等式

给定复数a_0,a_1,a_2,……a_n,则n次代数方程a_0x~n+a_1x~(n-1)+……+a_n=0 (a_0≠0)必存在n个根x_1,x_2,……x_n,韦达定理给出了这n个根与方程系数a_0,a_1,……a_n的关系如下:     

巧用韦达定理

韦达定理是揭示一元n次方程中根与系数关系的重要定理。但运用于解题有时却因条件比较隐晦而失之交臂,颇为可惜。这就需要我们在审题中,观察得更精细敏锐一些,联想更广泛丰富一些,尤其要注意把握住韦达定理的特征条件。那么,韦达定理往往另有用武之地。兹举几例说明如下:     

利用定义巧添辅助线解几何题

为了证明的需要 ,在原来的图形上添画的线叫做辅助线 ,添辅助线是解决几何问题不可缺少的重要手段 .而利用定义巧添辅助线就是当几何问题中的条件或结论中出现直接和某一基本概念有关的性质 (如线段或角的和差倍分问题等 )时 ,就可以根据这些要领的定义添加辅助线 下面举例说明 1 要证明一条线段等于两条线段的和 ,可根据线段和的定义将这两条线段接起来 ,然后证明所得的线段和长的线段相等 ;也可以在长的线段上截取一条线段和短的两条线段中的一条相等 ,证明留下来的部分和另一条线段相等 (角的和差问题类似 ) 例 1　如图 1 .已知P是…     

趣题巧解

有一美国人名叫阿达姆斯的,在十九世纪初用诗歌的形式写了一道数学趣题: 我赴圣地爱弗司, 路迂妇人数有七, 一人七袋手中携, 一袋七猫不差池, 一猫七子紧相随,     

巧解一题

在文[1]中周老师巧用特殊法解了一道关于三角形重心的问题．作为一道选择题,取特殊三角形确为妙法．笔者在阅览贵刊时,发现该题运用纯向量的常规解法也可化难为易．     

巧解一题

题目（2005年全国理科）（1）设函数f（x）=xlog2x＋（1-x）log2（1-x）（0〈x〈1）,求,（x）的最小值;（2）设正数p1,p2,p3,…,p2^n满足p1＋p2＋p3＋…＋p2^n=1,求证：p1log2p1＋p2log2p2＋p3log2p3＋…＋p2^nlog2p2^n≥-n．