米勒问题帮你解题

米勒（Johannes Miiller1436·1476），德国数学家，对三角学做出了巨大贡献，是斐波那契以来欧洲最有影响的数学家．米勒1533年发表的名著《三角全书》是使三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作．该书共分五册，前两册讲平面三角，后三册讲球面三角．此外，他还讨论到一个新颖的极值问题：天花板挂一垂直的杆，长10尺，下端离地面4尺。     

有趣的米勒问题

米勒 (ＪｏｈａｎｎｅｓＭｉｉｌｌｅｒ) ,德国数学家 ,曾在莱比锡、维也纳学习天文学和三角学 ,1468年至 1471年在维也纳大学任教授 .1471年定居纽伦堡 ,从事天文学研究 .米勒对三角学作出了贡献 .大约在 1461年至 1464年间 ,他写成《论三角》一书 ,书中给出了有关球面三角学的正弦定理、余弦定理、计算了三角函数表 ,相当精确 .他的这些工作使三角学脱离天文学而成为一门独立的学科 .另外 ,米勒在研究几何时采用了代数方法 ,这在当时是别具一格的 .1471年 ,米勒向诺德尔 (ＣｈｒｉｓｔｉａｎＲｏｄｅｒ)教授提出以下十分有趣的问题 :在地…     

巧用米勒问题解圆锥曲线的最大角问题

米勒(Johannes Miiller),德国数学家,1468年至1471年在维也纳大学任教,1471年定居纽伦堡,从事天文学研究,米勒对三角学做出了巨大的贡献.     

一道有关“米勒定理”的模考题探究

<正>1试题呈现(20220607项目第一次模拟)已知A(-1,0),B(3,0),P是圆O:x²+y²=45上的一个动点,则sin∠APB的最大值为_______．2背景描述1471年,德国数学家米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题:在地球表面的什么部位,一根垂直的悬杆呈现最长?即在什么部位视角最大?此最大视角问题被称为“米勒问题”,其结论被称为“米勒定理”．     

从三角学的起源说起

<正>三角学的起源与天文学密不可分,最初三角学只是对天文观测结果推理计算的一种方法.最早将三角学从天文学中独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯(J.Regiomontanus),他在1464年完成的5卷本《论各种三角形》中,明确使用了正弦函数.给出了球面三角的正弦定理和余弦定理.他的工作对16世纪的哥白尼等一批天文学家产生了极大的影响.     

美英早期三角学教科书中的三角恒等式

本文聚焦三角形中的三角恒等式的系统文献研究,对美英早期三角学教科书进行考察,对其中的三角恒等式进行归类,对三角恒等式的证明方法加以梳理,为课堂教学提供素材和思想启迪.     

三角恒等变换的考点分析

三角变换是传统的三角学的精华之一,具有较高的研究价值,在理论和实际中都有广泛的应用.而三角变换的基础主要就是所学的众多的三角公式以及变换的有关方法、技巧等.     

波利亚在三角积分零点实性上的工作研究

三角积分零点实性问题源于对黎曼猜想的研究,利用历史分析和比较的方法,深入解读了波利亚在此方面的8篇文章,较为细致全面地揭示了波利亚的一些重要思想和方法.他的工作得益于胡尔维兹、延森、兰道、外尔等人的工作.他提出了研究三角积分零点实性的广义因子法和研究黎曼猜想的逼近方法.波利亚是系统研究三角积分零点实性问题最大贡献的数学家,其工作至今对许多数学家有重要影响.     

构造无字证明 设计留白教学

在学习平面三角学时,三角公式的记忆非常重要,历史上三角学教科书的编者们为此设计了一些记忆的方法.当把角限定在锐角范围时,平面三角学中的众多恒等式或不等式都有其几何来源,无论是从面积的观点还是从线段的观点出发,都可以构造出精彩的无字证明.本文对相关数学史进行介绍,在此基础上构造出若干关于同角三角函数关系式的无字证明,并讨论无字证明的构造活动在留白创造式教学中的运用.     

两角和正切公式的几何模型

<正>1引言两角和正切公式通常由两角和的正弦公式与余弦公式经代数推导而得,多部三角学专著和经典教材作如此处理,如陈鸿侠等著《三角学讲义》^[1]91页、《中学数学实验教材》(第四册上)^[2]10页、人教A版教材^[3]218页及苏教版教材^[4]58页.几何是三角函数产生和发展的源泉,正如项武义在[5]中所讲:“正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动,密切配合的周期函数”,几何的直观性也符合教学的需要.     

学三角 感受美

三角学是研究三角函数与解三角形的数学科目，它的形成、发展以及研究对象都与图形密不可分，而讨论和研究的工具却是数、式，因此三角学本身就是数形结合的完美体现，如果我们从数学美的角度审视三角学、学习三角函数，不仅能加深对三角知识的理解，更能获得美的享受．     

三角下放全局皆活——初中数学课程结构性改革的一个方案

(一)引言:为何下放三角?在中学数学课程中,三角的内容至关重要.三角是联系几何与代数的一座桥梁,是沟通初等数学和高等数学的一条通道.函数、向量、坐标、复数等许多重要的数学知识与三角有关,大量的实际问题的解决要用到三角知识.所以,尽管三角学起来并不比几何容易,尽管几何学起来比三角有趣得多,国外国内的许多数学教育专家在考虑数学课程的改革方案时,总是想删去更多的几何内容,而对三角却谨慎从事,不肯轻举妄动.看来,再过若干年,三角在初等数学中的地位仍然难以动摇.人们感到三角的有些内容难学时,往往是把它向上推.于是,在数学课程改…     

球面三角形的梅文鼎图解法

球面三角学知识在航海、航空、天文、测量等专业中有着广泛的应用,其中解球面三角形又是最常见的课题,通常是把已知数据代入适当的公式,再通过查表计算来解决,手续是比较麻烦的。可以运用图解法来解球面三角形。这种方法的优点是:获得结果快,造成差误的因素远比查表计算要少;精度要求不太高时很合用。对精度要求高的场合,图解法也可起校验结果的作用,而且没有学过球面三角学的人通过图解法也可获得应有的结果。由于改进历法上的需要,我国元朝著名科学家郭守敬(1231—1316)创造了解球面直角三角形的两个公式。明末意大利人(Jacques Rho)著《测量全义》(1631),其中第7—9卷介绍了球面三角学的一些基本知识。清初数学家梅文鼎(1633—1721)结合他对天文学研究工作的需要,对球面三角学又作了进一步探讨,在他写     

谈谈张景中的教育数学

我早就认识张景中院士，最近又有进一步讨论和合作． 教育数学最大胆的是敢动中学．张院士就动了中学三角（它可能是中学几何对今后最有影响的部分——直角三角形）．恐怕全世界的中学生都敬畏这个三角学，一些教材甚至避开它．改好三角学，使学生易于掌握，功德无量，造福世界．这就是张院士工作之一角．     

对“球面三角学”的几点意見

这本球面三角学有它一定的优点:例如,介紹了球面三角学与平面三角学之間的联系,使讀者能体会球面三角公式与平面三角公式的內在关系;但也有它一定的缺点,这可能是翻譯上的毛病,也可能有些地方是排版上的錯誤。我僅就1953年10月初版、1955年1月3版的譯本提出以下几点意見。如有不当之处,請讀者多加批評与指導! (一) 兩球面三角形的圣等(或相等)与对称是有区別的(前者可以疊合,后者不能疊合),不应該混为一談。固然有些書上把兩三角形的对称叫做对称相等,而把全等叫做絕对相等,但在提法上也应該区分开。譯本在給对称三角形下定义的时候,也很明确地把对称三角形与全等三角形划清了界限;但在定理証明的过程中便忽視了这一点。例如23頁有这样     

三角函数綫教学的几个問題

一、三角函数綫在三角教学中的地位与作用中学三角的基本任务有三:第一、研究三角函数及其性质;第二、研究三角形解法;第三、讲授三角在其它学科上的实际应用。其中,三角函数及其性质的研究,是三角学的基础知識,是三角学的中心。高中三角的前三章,对完成这一任务,有突出重要的地位。在这部分内容中,单位圆和三角函数綫的地位与作用又很突出。主要表現在以下三个方面: 1.是巩固与加深三角函数概念的重要手段。三角函数定义,是研究三角函数的基础。单位圆及三角函数綫,利用几何形象,把三角函数概念直观地表現了出来,既有助于定义的理解与巩固,又为利用几何方法研究三角函数創造了条件。 2.是研究三角函数性貭及其关系的有力工具。三角函数基本性貭及其相互关系的研究,如三角函数定义域、三角函数周期性、增減性、奇偶性、有界性、基本关系式、誘导公式等等,多是借助于单位圓与三角函数綫进行研究的,通过把三角函数用綫段表示,将三角     

拉玛努扬

新竹高于旧竹枝,全凭老杆为扶持; 明年再有新生者,十丈龙孙绕凤池。 郑板桥 二十世纪上半叶,英国杰出的数学家哈代(G.H.Hardy,1877-1947)是有世界声誉的数学家     

两道有趣的古算题

例1荷花问题(印度著名数学家婆什迦罗著作《丽拉瓦提》中的问题)湖静浪平六月天,荷花半尺出水面.忽来南风吹倒莲,荷花恰在水中淹.湖面之上不复见,入秋渔夫始发现.落花距根二尺整,试问水深尺若干.     

三角学

三角学为数学一门分科,是研究三角函数的性质及三角形的解法,且说明其应用平面三角是研究三角函数的性质及其相互关系,并用以说明三角形边与角之间的关系由此来解三角形。球面三角侧重于讨论球面图形的性质关系等(在球面三角形中三角和大于180°而小于540°),三角学在天文学。测地法,航海术中都有广泛的应用。三角学的创始人,据说是希腊的希帕克(公元前150年),后希腊天文学家托勒密运用托勒密定理,取圆内接四边形一边长等于直径,通过求弧所对的弦,得到了用两弧的弦来求两弧之差的弦的公式,相当于sin(α-β)的公式,并得出sin(α β)等和角公式。在希腊人已计算出二倍弧的弦长的基础上,印度人又求出它的一半即弧的正弦及正矢,在印度人阿利耶波多(公元500年左右)的著作中已有了余弦公式、阿拉伯人在印度人的影响下把希腊人在几何学方面的计算用代数方法表示出来,阿布尔·威发把每隔30°的!     

谈谈三角函数中的“基本区间”法

“已知三角函数值求角”是三角教材的重点难点之一。它是求解下列问题的基础:求三角函数的定义域张单调区间,解三角不等式和三角方程等。这类问题学生之所以感到困难,除了不习惯于“逆向问题”这一心理因素而外,其主要原因是它交织着三角学中的两个难点:三角函数的