由算术根所想到的

根式运算在数学教学中占有一定的地位,根式的算术根则是运算中的关键问题。如果根式运算中忽略了算术根以及定义域和值域,常会导致严重的错误。教学中除了把算术根的概念讲解清楚以外,还应把与算术根有关的问题加以阐明,以杜绝或减少错误的发生。 一、关于算术根的概念 初中代数中的定义:“正数的正的方根,叫算术根”。由于零的任何次方根都是零,所以把     

由一道考题所想到的

在高等数学课程学习过程中,容易被忽视的任意常数的存在往往对某些问题造成影响．就某校一道高等数学考题所引发的问题,说明两个导数相等的函数最多相差一个常数,只有在导数相等、且在某一个点的函数值也相等时,才能推出两个函数相等．     

由一个不等式所想到的

对于若干个正实数的和与其倒数和之间的关系 ,我们最熟悉的莫过于如下不等式[1] :设 a1,a2 ,… ,an 皆为正实数 ,则有　　　 ( ∑ni=1ai) ( ∑ni=1a-1i )≥ n2 ( 1 )等式成立当且仅当 a1=a2 =… =an.在不等式 ( 1 )中 ,正实数 a1,a2 ,… ,an之间的关系是独立的 ,即任何一个 ai 的取值均与其余 aj( j≠ i)的取值无关 .如果其中某些 ai的取值依赖于另外一些 aj 的取值 ,那么 ,不等式 ( 1 )的右边将会引起怎样的变化 ?这种思考的结果使我们获得了如下三个有趣的不等式 :定理 1　设 a1,a2 ,… ,an 皆为正实数 ,an+ 1=r ∑ni=1ari　 ( r≥ 1 ) ,…     

由一道高考题所想到的

<正>~~     

由一道向量题所想到的

有这样一道题目： 已知△ABC中,AB=2,AC=1,BD=DC,则AD·BD的值为（ ）．     

由围棋盘所想到的……

亲爱的同学们,你们当中的许多人一定喜欢下围棋．围棋盘是18×18的正方形网格,你想过它上边有多少个正方形吗? 设小正方形的边长为1．     

由一个绝对值不等式所想到的

引例已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).求证:对于任意的a、b,存在x∈[-1,1],使得|f(x)|≥1/2.解前思考引例的题设中出现了a、b,而在求证不等式右端却没有出现a、b.由此引导我们采用消元的方法来减少变量,进而转到一般的绝对值不等式的解法上来.而现在如何消元成为解决这道题目的关键.题目中给我们的     

由一道平几习题所想到的

初中《几何》第二册P95第18题为; 圆内接三角形ABC中,AB=AC,经过点A的弦与BC和BC分别相交于点D和E.求证:△ABD∽△AEB。其证法十分简单(略), 但在证题之后再探索,连CE以AE为轴把△AEC向下翻折180°(见图1),由题设易知CE必在BE上。因此,     

由柯西不等式的证明所想到的

如果ai，bi（i=1，2，…，n）是任意实数，则式中等号，当且仅当时成立．这就是柯西不等式，其证明过程是：构造二次函数：且等号在时成立．这个不等式证明的关键是构造二农函数，这个村道往往使学生觉得神秘莫测，不可思议．事实上，把柯西不等式两边同乘以4，移项后得容易联想到一元二次方程报的判别式，这样构造①式就合情合理了．遇到有相同结构的式子，构造二农函数就会左右逢源、得心应手．。1。。中二l，8证：b’＞4ac·证明构造二农函数：f（）一ax’＋6x十c，Jib－ZC——二1，aaJHb＋Zc＝0，Ji、八一一一一一）202二次方程ax’…     

由平行四边形的一堂习题课所想到的

教师应努力在课堂中营造一种开放的学习环境,引导学生主动参与,以问题作为数学教学的出发点,加强学生应用数学的意识.通过一题多解,一题多变,既有发散,又有收缩,促进学生思维发展的连续性、递进性、发展性.在讲完平行四边形这一部分新授课后,我安排了如下的一节习题课,以例题变化而来的一系列开放性问题作为线索进行教学.一、数学来自生活,生活需要数学1.一种衣帽架,是用木条(四长四短)构成的几个连续的菱形(如图),每一个顶点处都有一个挂钩(连在轴上),不仅美观,而且实用.你能根据形状,说出它的好处和固定方法吗?在教学时,我手拿一个这样的…     

由一道题的解题过程所想到的

笔者在某丛书中看到这样一道题及解答过程： 例题 如图1，已知△ABC中，∠ABC=90°，延长AC到点D，连接BD，若∠CBD=30°且AB=CD=1，求AC的长．     

由一道解析几何例题的解答所想到的

现行高中课本《平面解析几何》（必修）P38页中有这样一道例题：已知两条直线：l_1：x＋my＋b＝0，l_2：（m－2）x＋3y＋2m＝0．当m为何值时，l_1与l_2（i）相交；（ii）平行；（iii）重合．课本给出的解题过程是：解将两直线的方程组成方程组：解得m＝3．（i）当m≠3时，方程组有唯一解，l_1与l_2相交．（ii）当m＝－1时，方程组无解，l_1与l_2平行．（iii）当m＝3时，方程组有无穷多解，l_1与l_2重合．其实，当m＝2或m＝0时，这两条直线也相交，这正是及的分母为0的倩况．因此这类问题还应注意对分母为零的情况的讨论．下面，我们不妨再…     

由“益智算盘”健身器想到的

哈尔滨开发区红博会展公同位于哈市繁荣地段,在四周皆是摩天商厦的寸土寸金之地,能设有一个开放式大型公同,显得格外珍贵。与一般的公园相差无几．这里也是绿树成荫,植有各类花木供人观赏,同中心地段还有可供游人休闲娱乐的健身设施。在大众化的健身器械之外,公同设计者还别具匠心地引进了两架“益智算盘”,真够新鲜有趣的。     

由“牛吃草问题”想到的

著名科学家牛顿,不仅是伟大的物理学家,还是一位天才数学家,在他编写的书中,有一道非常有名的题目,即“牛吃草问题”. 例1 有一片牧草,如果饲养27头牛,这些牛6天可以把草吃尽,如果饲养23头牛,则这些牛9天可以把草吃尽,如果饲养21头牛,多少天可以把草吃尽?     

由2010年高考题中不等式所想到的

以上两题是高考题中的压轴题．此类题目在高考试题中屡见不鲜,大有增多的趋势,多和函数的导数,数列以及放缩法等联系起来．因涉及的知识面广,难度之大可想而知,大部分考生采取放弃的心态,究其原因是缺少数学的转化思想,无法和课本基础知识相联系,本文从课本的一道习题中寻找这类题的解法．     

由2010年高考题中不等式所想到的

（2010年辽宁理21）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1.（1）讨论函数f（x）的单调性;（2）设a<-1.如果对任意x₁,x₂∈（0,+∞）,|f（x₁）-f（x+2）|≥4|x₁-x+2|,求a的取值范围.（2010年湖北理21）已知函数f（x）=ax+b/x+c（a>0）的图像在点（1,f（1））处的切线方     

由一个数与11相乘所想到的

你能快速求出一个数与11相乘的积吗? 考虑因数11,个位上的数字是1,十位上的数字也是1,我们知道任何数同“1”相乘得任何数,因此,此积必然有其特定的规律.     

由一个性质定理的多种证明所想到的

等腰梯形的性质定理:等腰梯形在同一底上的两个角相等.(四年制几何第二册,第117页) 已知:如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC. 求证:∠B=∠C.     

由一道吉米多维奇定积分习题所想到的

从一道习题的解答提示,对于一些“典型”问题,不要囿于传统的思路和解法,换个角度可能会有更好的解法出现。