值得一走的"弯路"——"装球问题"课堂讨论一例

在一节习题课上,学生对一个问题(本文“问题Ⅲ”)提出了老师备课时未考虑到的一种解法.对此,老师随机应变,利用学生的解法因势利导地做了一点“文章”.这样,便使问题Ⅲ的解答走了一段“弯路”.然而,这段弯路却引发了学生浓厚的学习兴趣.本节课原来的安排是,先由师生一起探讨三个“装球问题”的解法.然后由学生完成几道相关的习题.三个“装球问题”是:设m,n∈N ,且m相似文献   

球入盒问题

球入盒问题就是考虑把m个球放入n个盒中有多少种不同的方法（以下放法、分法均指不同的放法、分法）．对于球而言分为都相同（下简称相同）和互不相同（下简称不同）；对于盒而言，也分为相同和不同．     

争鸣

问题问题142在一次听课中,授课老师出示一道题:盒子中有大小不相同的球10个,其中标号为1的球3个,标号为2的球4个,标号为5的球3个,第一次从盒中任取一个球,放回后第二次再任取一个球,(假设取到每个球的可能性都相同),记第一次与第二次取到球的标号之和为X.1)求随机变量X的分布列;2)求随机变量X的数学期望E(X).然后找两个学生上黑板写出解法,供大家一起探讨.学生甲:经学生讨论一致认为:在甲的解法中,取球方式是不放回抽取,因而X的分布列是错误的;乙的解法中,取球方式是有放回抽取,符合题意,因而正确,老师了解到同学们基本上和乙的做法一样,…     

错号排列的又一个公式

问题：有编号为1，2，...，n的n个小球，将其装人编号为1，2，...，n的n个盘中，每盒装1个球，且球与盒的编号不同，问不同的装球方法有多少种．邓廷元老师在文[1]中给出了这类"一对一错号排列"问题的公式解法该公式是用排除法得到的，并且文[1]中指出，n的值增大后，仍用常规法解，难度将随之增大，事实上，不论n的值多大，都可用常规法解，且难度并不大。设SR为一对一错号排列时K个小球装入K个盒子的不同装法种数．按题设要求把n个小球装入n个盒子可分两步完成：（Ⅰ）给编号为1的盒子装球，有种装法（Ⅱ）给其它n－1个盒子装球，若1号…     

貌合神离话条件

相同或相似的题目,我们可以考虑相同或相近的解法,这也就是人们常说的“规律性”．但有时两个问题形式上相同,实质并不同,甚至解法上也大相径庭．     

相同元素有序分组的“隔板式”方法

在平时的教学中 ,我们都碰到过这样的题 :将 7个相同小球放入 4个不同盒子中 ,1)不出现空盒时的放入方式共多少种 ?2 )任意放入时的方式共有多少种 ?该题有多种解法 ,现介绍其中的“隔板法” .解　 1)将 7个相同小球一字排开 ,在其中间的 6个空格中加入无区别的 3个“隔板”将球分成四份 ,故每一种插入隔板的方式对应一种球的放法 ,则不同的放法共有N =C3 6=2 0种 .2 )每种放法对应于将 7个相同小球与 3个相同“隔板”进行的一次排列 ,即从 10个位置中选 3个位置安排隔板 ,故共有N =C3 10 =12 0种放入方式 .凡“相同小球放入不同盒中”的…     

一道月考压轴选择题的变式推广

含参函数零点问题是高考考查的热点和难点,本文先给出一道比较复杂的含参函数零点问题的解法,然后对其进行变式和推广,讨论了一般情形下的同类问题.     

一类相同元素的分配问题

在排列组合教学中,经常会碰到一类相同元素的分配问题,如果解法不当,很容易错解或解法繁杂,现将本人在教学中总结的一些方法提出来,供读者参考．问题1(基本问题) 将10个相同的小球分配到三个不同的盒子中,每个盒子中至少1 个,共有多少种不同的分配方法?     

争鸣

问题 问题142在一次听课中，授课老师出示一道题：盒子中有大小不相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒中任取一个球，放回后第二次再任取一个球，（假设取到每个球的可能性都相同），记第一次与第二次取到球的标号之和为X．     

Stokes问题的非协调区域分解法

1 引言 区域分解法是近年来新崛起的偏微分方程的数值解法.由于区域分解法比通常的数值解法有其独特的优点,再加上并行机的迅速发展,故国内外大批数值分析学家竞相投入这一研究行列.现在这方面的研究工作已有许多[1,2,8,9,10,12,13,15,16,18,19,20],并且在实际计算方面也开始理论化,系统化.但到目前为止,对非协调元的非重迭型区域分解法的研究还甚少,尤其是用来解决Stokes问题.对此,我们提出本文,目的在于利用在实际计算中经常采用的一类非协调元(C-R元),配合区域分解法这一新思想来处理Stokes问题,并得到了所给定算法的几何收敛性结果. 对Stokes问题连续情形下的区域分解算法的讨论已在文[8]中有所涉及,这里不再叙述.本文主要讨论Stokes问题非协调离散情形下的区域分解算法.     

错号排列的两个公式

对如下“一对一错号排列”问题：有编号为１,２,…,ｎ的ｎ个小球,将其装入编号为１,２,…,ｎ的ｎ个盒中,每盒装１个球,且球与盒的编号不同,问不同的装球方法有多少种？本刊文［１］、［２］分别给出了公式解法,但均用到递推公式,当元素较多时,运算量较大．本...     

用递推方法求解排列组合问题

1994年高考题 :同室 4人 ,各写一张贺卡 ,先集中起来 ,然后每人从中拿一张别人送的贺卡 ,求四张贺卡不同的分发方法 .将问题推广 ,讨论下面的问题 .问题 1　标有 1 ,2 ,3,… ,n的 n个小球 ,投入标号为 1 ,2 ,3,… ,n的 n个盒子 ,每盒一球 ,要求球号与盒号不同 ,有几种投法 ?记 an为投法总数 .1号球有 n- 1种投法 .若 1号球投入 k号盒子 ,k号球可投入 1号盒子 ,共有 an-2 种投法 .k号球不投入 1号盒子 ,其它 n - 2个球不投入对应盒子 ,共有 an-1种投法 .因此an =( n - 1 ) ( an-1 an-2 ) ,( 1 )a1=0 ,　 a2 =1 ,( 2 )由 ( 1 )、( 2 )两式可…     

多角度处理分装模型的计数与概率计算

从多个角度利用多种方法计算一类分装模型的计数,同时给出了相应的概率计算.分装模型就是将n个球分装到m个盒子中计数的模型.分装模型涉及到排列与组合、反演公式、容斥原理、Stirling数、生成函数及整数的分拆等组合数学中的大部分的计数方法.本文从组合数学的不同计数方法入手,详细叙述分装模型在不同情形下的解,深入剖析不同情形下解不同的原因.     

一类解三角形问题的又一解法

已知三角形的两边和其中一边的对角,判断三角形解的个数问题是学生学习的一个难点.对此问题,课本高一(下)P129给出了一个较难掌握的图解法,尽管文[1]也给予了详尽的归纳、指导,但依条件的不同,分类较多,判断准则各异,不太具有可操作性.于是,文[2]作者覃埋基老师独辟蹊径,借助余弦定理及二次方程知识给出了另一解法.笔者本着"三角问题三角解决"的想法,给出该类问题的再一种解法,仅供参考.     

哪类概率题的计算要讨论

在求解概率问题中,经常涉及诸如n个球放入N个盒子中的"放进"问题和产品抽取中的"取出"问题,同学们常对"元素"是否相同(即元素的可分辨和不可分辨)要不要讨论纠缠不清,以致造成思维混乱,致使解题失误.下面笔者结合实例谈谈这两类问题的解法区别,以帮助同学们澄清认识,提高解题效率.     

组合问题的两个模型

有些组合问题 ,如果研究的元素数目较小 ,用加法原理和乘法原理是可以求得结果的 ;如果元素较多 ,则较为困难 ,因此必须构建模型 ,才能较快地解决 .例 1　现有 10个相同的小球和编号分别为 1、2、3的三只盒子 ,要求每只盒子所放的球数不少于它的编号数 ,共有多少种不同的放法 ?解　首先在各盒子中分别放入与其编号数相同个数的球 ,共用去 6个 ,还有 4个小球可以分为以下四组 (0 ,0 ,4)、(0 ,1,3)、(0 ,2 ,2 )、(1,1,2 ) ,由加法原理得不同的放法有C1 3 +P33 +C1 3 +C1 3 =15种 .变题　例 1中若将 10个小球改为 10 0个小球 ,其它条件不变 ,…     

r球n盒模型的一个经验公式

<正> 1 r球n盒模型在许多概率论著作、教材和科普书籍中,均讲述了古典概率中“r个球n个盒中的分布”问题,我们将它简称为“r球n盒模型”。具体地说,将r个球随机地放入n个盒子中,每一种放法     

二次方程约束条件下的一类取值范围问题

1错解分析文[1]对于“实数x,y满足Ax~2 Bxy Cy~2=D,D≠0时,求S=ux~2 vxy wy~2的取值范围”问题给出了一个一般性解法.虽然对于原文中的例题,这一方法均给出了正确结果,但该解法并非对任何此类问题都能给出正确结果的,下面的例子说明了这一点.例1实数x,y满足x2 xy-2y2=1,求S=3x2-y2的取值范围.解(按文[1]方法)由S(x2 xy-2y2)=3x2-y2得Sxy=(3-S)x2 (2S-1)y2,两边平方得S2(xy)2=[(3-S)x2-(2S-1)y2]2 4(3-S)(2S-1)(xy)2,于是有[S2-4(3-S)(2S-1)](xy)2≥0,由此得S2-4(3-S)(2S-1)≥0(原文要求对xy=0和xy≠0两种情形进行讨论,此处将讨论过…     

单障碍问题区域分解法的单调收敛性与收敛速度估计

本文我们考虑一类典型的椭圆型算子的障碍问题的区域分解算法,分析算法的单调收敛性并给出相应的收敛速度估计.障碍问题有着重要的物理背景（参见[3,9]）.近些年来,有关障碍问题的区域分解法方面的研究已经有一些成果.关于线性算子情形,读者可参看[1,2,5,7,8,10,12,13,14,15,17]等文献,而对于非线性算子情形,读者可参看[4,6,16,18].在这些文献中,已经有部分涉及到算法的收敛速度估计.例如,文[15,16]给出了有限元区域分解算法的迭代误差的渐近最大模估计,文[13]给出了求解具M-阵的有限维互补问题     

扰排问题的推广注记

文［１］中提出了问题：将编号为１,２,…,ｎ的ｎ个不同的球分别放入编号为１,２,…,ｎ的ｎ个不同的盒子中,每个盒子放入一个球,规定某ｍ个球的编号与所放入盒子的编号不同（其他ｎ－ｍ个球不受限制）的放法为Ｄ（ｎ,ｍ）,求Ｄ（ｎ,ｍ）．文［１］先给出递推公...