Sur un thÉorÈme gÉnÉral relatif aux Équations intÉgrales de premiÈre espÈce et sur quelques problÈmes de physique mathÉmatique

Seguendo le moderne vedute sulla teoria dei fronti d'onda, si esamina il sistema differenziale quasi lineare, trascritto con le notazioni tridimensionali, della dinamica di un fluido ideale relativistico in condizioni adiabatiche. Le velocità normali di avanzamento, nei tre modi di propagazione ottenuti, sono la naturale estensione di quelle stabilite nell'ambito classico. I fronti d'onda epicentrali, in due modi di propagazione in uno stato costante del flusso relativistico, sono ellissoidi mobili ad assi crescenti linearmente col tempo. Nei casi statici, tali ellissoidi si riducono a sfere con raggi diversi da quelli che si hanno in fluidodinamica classica. Infine si considera il legame fra la velocità normale di avanzamento e la velocità normale di propagazione del fronte d'onda, deducendo di quest'ultima la forma covariante.     

A priori bounds in the Bénard problem with boundaries of finite conductivity

In questa nota, si danno alcune stime a priori per le soluzioni classiche delle equazioni che descrivono il problema di Bénard quando le frontiere hanno conduttività finita (modello di Hurle, Jakeman e Pike [3]). Adottando il metodo della funzione peso, si mostra che la velocità v e la temperatura T del fluido che a priori sono fatte crescere per grandi distanze spaziali, si mantengono in effetti uniformemente limitate a patto che siano tali la velocità e la temperatura iniziali del fluido e il suo gradiente di pressione.     

Applicazione del metodo numerico alla ricerca delle frequenze di vibrazione libera di strutture lineari

Sunto. La frequenza di vibrazione libera di un sistema elastico, come il valore del carico critico, può definirsi mediante un rapporto, ω², da rendere minimo mediante l'opportuna determinazione di una funzione η (configurazione). I metodi approssimati per la soluzione di questo problema variazionale — metodo di Ritz e delle successive approssimazioni — possono essere applicati, anche in questo caso, rappresentando le funzioni η numericamente, con poche differenze rispetto al caso già visto dell' instabilità. Si tratta di definire un appropriato termine correttivo, per eliminare l'errore dovuto alla discontinuità della rappresentazione numerica, e di giungere, attraverso un particolare procedimento, a determinare anche i valori delle prime armoniche dopo la frequenza fondamentale.     

Similarity solutions and model constitutive laws to viscoelasticity with application to nonlinear wave propagation

Nonlinear viscoelastic media are investigated within the framework of the group analysis. By requiring the governing system of equations to be invariant under the dilatation group, some classes of material response functions are characterized. Furthermore several sets of self-similar solutions to the model of interest are determined. Finally for the Maxwell media wave propagation into a non constant state described by a similarity solution is studied and the occurrence of a shock wave is considered.

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Riassunto Si considera un modello per i mezzi viscoelastici non lineari nell'ambito dell'analisi gruppale. Richiedendo che il sistema di equazioni di interesse sia invariante rispetto al gruppo di dilatazione, si caratterizzano delle classi di funzioni di risposta per il materiale. Inoltre si determinano diverse soluzioni di similarità. Successivamente nel caso dei mezzi di Maxwell si studia la propagazione di onde di discontinuità in uno stato non costante descritto da una soluzione di similarità. Infine si discutono le condizioni per l'esistenza di un tempo critico a cui un'onda d'urto può formarsi.

     

Stability and bifurcations of symmetric periodic orbits

Se un problema Hamiltoniano integrabile non degenere, come si può ottenere dal problema dei due corpi in coordinate rotanti, è perturbato con una funzione potenziale simmetrica rispetto ad un asse, le proprietà di simmetria delle soluzioni consentono di semplificare la ricerca, di orbite periodiche. In tal modo si ottiene un teorema di continuazione delle orbite periodiche che fornisce più informazioni di quello classico. La funzione che descrive la simmetria delle orbite è genericamente una funzione di Morse, e le biforcazioni di orbite periodiche simmetriche possono essere descritte in termini di punti singolari e di valori critici di tale funzione. II problema ristretto dei tre corpi ed il problema del satellite in un potenziale non axisimmetrico sono trattati come esempi. Le stesse biforcazioni possono anche essere descritte come singolarità degeneri della funzione generatrice della trasformazione canonica associata all'applicazione di Poincaré, cioè al trascorrere di un periodo sinodico. In tal modo le proprietà di stabilità lineare delle orbite periodiche, la segnatura dei punti singolari della funzione generatrice e l'andamento qualitativo della funzione di simmetria appaiono correlate tra loro. Ne risulta la possibilità di predire, prima di qualsiasi esperimento numerico, non solo la struttura generica delle biforcazioni delle orbite periodiche simmetriche, ma anche la stabilità di tutte le orbite periodiche coinvolte.     

Su un caso di non esistenza e su uno di esistenza e unicità della soluzione di un problema della magnetoidrodinamica stazionaria

Riassunto In questa nota si affrontano alcune questioni di esistenza e unicità della soluzione classica del problema del moto stazionario di un fluido omogeneo, incomprimibile, perfetto, elettricamente condutore attorno ad un ostacolo dielettrico e scarico in un punto del quale è situato un dipolo magnetico. Precisamente, si dimostra dapprima che, nel caso in cui il fluido abbia conduttività finita, il problema suddetto non ammette soluzione se al campo cinetico e al campo magnetico sono imposte condizioni all'infinito alquanto restrittive. Si dimostra poi che opportune ipotesi all'infinito assicurano l'esistenza e l'unicità della soluzione del medesimo problema nel caso in cui il fluido sia un conduttore perfetto.

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Summary This paper deals with some questions of classical solution existence and uniqueness for the problem of the steady flow of an homogeneous, incompressible, perfect, electrically conducting fluid past a dielectric and discharged obstacle in which a magnetic dipole is situated. More precisely, in the first place the non-existence of solutions of the above mentioned problem is proved for fluids of finite conductivity, if rather restrictive conditions are placed on behavior of the kinetic and magnetic fields at infinity. In the next place an existence and uniqueness theorem is established for perfectly conducting fluids.

     

Discontinuità e ipersuperfici caratteristiche in magnetofluidodinamica relativistica

Sunto L'A., dopo aver mostrato come si riduce il numero delle equazioni della m.f.d. in relatività generale quando la conducibilità elettrica è infinita, esamina le ipersuperfici di discontinuità nelle derivate delle funzioni incognite e ricerca le soluzioni proprie dei sistemi di equazioni lineari omogenee nei parametri di discontinuità. In primo luogo viene esaminato il sistema, indeterminato, che si deduce dalla solenoidalità del tensore energetico e dalle equazioni di Maxwell; successivamente si esaminano i sistemi determinati o associandovi l'ipotesi che il fluido sia barotropico, comprimibile o incomprimibile, o che valga un'equazione termica di stato e il principio di conservazione della densità numerica delle particelle. Si distingue tra ipersuperfici che siano luogo di linee di corrente e di linee di forza per il campo magnetico, e ipersuperfici che siano in vari modi intersecate da linee di corrente e da linee di forza, ottenendone le equazioni differenziali, nonchè i legami tra i parametri di discontinuità.

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Summary The A., after having shown how the number of the equations of magnetofluid-dynamics in general relativity is reduced when the electrical conductivity is infinite, studies the discontinuity manifolds of the derivatives of the unknown functions and looks for the eigensolutions of the linear homogeneous equations in the jumps of the derivatives. Firstly the A. studies the indeterminate system derived from the equations which state that the divergence of the energy-tensor is null and from the Maxwell equations; successively, he studies the systems which are determined by the hypothesis that either the fluid is incompressible, or is compressible and barotropic, or by a caloric state equation and by the conservation law of the numerical density of the particles. A distinction is made form manyfolds locus of path lines and locus of lines of force for the magnetic field and manyfolds which are variously crossed by path lines and by lines of force. The differential equations of the manyfolds and the relations from the jumps are found.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei Gruppi di ricerca Matematici del C.N.R.     

Sulla propagazione elettromagnetica simmetrica rispetto a un asse

Sunto Si studia il problema della propagazione elettromagnetica simmetrica rispetto a un asse e in un mezzo nel quale le proprietà dielettriche e magnetiche siano espresse da elementi costanti, riconducendo la questione all'integrazione di tre equazioni differenziali del 2^o ordine. Dopo aver caratterizzate le superficie d'onda, si assegnano di quelle equazioni differenziali le formule generali di integrazione. Si esaminano quindi, col sussidio delle funzioni diBessel, diversi casi notevoli di propagazione simmetrica e infine si considera il caso dell'emissione, in un intervallo di tempo (0, T), da una sorgente situata sull'asse di simmetria.     

Lototsky-Schabl operators on the unit interval

In questo lavoro si studiano versioni uni-dimensionali degli operatori di Lototsky-Schnabl associati a proiezioni di Altomare. Si discutono la conservazione della monotonia, la convessità, le classi di Lipschitz ed il primo modulo di continuità. Si dimostra pure che, in condizioni molto generali, questi operatori convergono, in un senso opportuno, all'operatore classico di Szász, e si danno allo stesso tempo stime dell'ordine di approssimazione. Alcune delle proprietà si dimostrano utilizzando rappresentazioni probabilistiche degli operatori in termini di opportuni processi stocastici.     

Il problema matematico del sistema ottico concentrico stigmatico

Sunto Si esamina il problema generale del sistema ottico tutto racchiuso da una sfera di raggio finito, dentro la quale l’indice di rifrazione sia una funzione n(r) della distanza r dal centro, tale che, quando il sistema è immerso in aria, ogni punto della sfera esterna abbia immagine perfetta all’infinito. Per n(r) si fanno le ipotesi più generali che possano essere accettate fisicamente; in particolare si ammette un numero finito di punti di discontinuità di prima specie. Dato il modo di costruire la soluzione generale, che dipende da una funzione arbitraria, definita in un intervallo minore del raggio della sfera esterna, si sviluppano a fondo i calcoli per un caso particolare di speciale interesse fisico.     

Estensione delle formule di Eulero e di Lambert ai moti centrali hamiltoniani

Sunto Le formule diEulero e diLambert dànno il tempo di percorrenza di un arco parabolico o ellittico, descritto da un punto che si muove di moto centrale rispetto al fuoco della parabola o a un fuoco della ellisse, sicchè la forza mo’rice segue la legge newtoniana. Quelle formule vengono estese in questa nota ai casi in cui il moto del punto, ancora parabolico o ellittico, è centrale non più rispetto al fuoco della parabola o a un fuoco della ellisse, ma rispetto a un punto qualsiasi, sicchè la forza motrice segue la legge hamiltoniana. Ad Antonio Signorini nel suo 70^mo compleanno.     

Sul teorema di unicità per le equazioni del campo elettromagnetico in un plasma

Sunto Si dimostrano alcuni teoremi di unicità per le equazioni non-lineari del campo elettromagnetico in un plasma in cui si tiene conto della pressione dei corpuscoli elettrici. I teoremi sono sempre dimostrati nel caso non stazionario, anzitutto supponendo che il plasma occupi tutto lo spazio, poi vengono estesi al caso di un dominio finito con opportune ipotesi alla frontiera. Infine si ottengono teoremi di unicità nel caso in cui, per effetto di campo magnetico, la pressione diventa anisotropa. A Bruno Finzi nel suo 70^mo compleanno Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei gruppi di ricerca del C. N R. Entrata in Redazione il 19 gennaio 1970.     

Sulla magnetizzazione di un cilindro di lunghezza finita in presenza di un campo magnetico qualsiasi

Sunto. Si studia il problema del magnetismo indotto in un cilindro circolare di lunghezza finita, per influenza di un campo magnetico qualsiasi, riducendo la questione alla risoluzione di equazioni integrali e si deduce la risoluzione esplicita nel caso del cilindro di lunghezza infinita, già considerato daKirchhoff. Si risolve anche esplicitamente il caso in cui il cilindro di lunghezza finita diventi di sezione tanto piccola da poterlo considerare un filo.     

Un metodo numerico per la determinazione del carico critico nelle strutture lineari

Sunto L'impostazione energetica del problema dell'instabilità dell'equilibrio porta ad un problema variazionale: di determinare cicè una funzione η (configurazione) che renda minimo un rapportoK (carico critico). Tale problema conduce a sua volta ad un'equazione differenziale del 2^o ordine difficilmente risolubile nei casi pratici. Oppure si può ricorrere a due metodi approssimati: il metodo diRitz e il metodo delle successive approssimazioni. Questi metodi, che pure comportano notevoli difficoltà se condotti per via analitica, trovano un'efficace applicazione se le configurazioni η vengono rappresentate numericamente, nel modo illustrato nel testo. L'errore inerente alla rappresentazione numerica, per sua natura discontinua (divisione della struttura in intervalli finiti) viene pressochè eliminato con l'introduzione di un termine correttivo. Nel corso della Nota viene anche illustrata la seconda espressione del carico critico nel caso di aste compresse in sommità, e viene dimostrato perchè tale espressione porti a risultati più approssimati.     

Sulla influenza dell'effetto Hall nella propagazione di onde magnetofluidodinamiche iu un fluido incomprimibile

Sunto Si esamina l'influenza dell'effetto Hall sulla propagazione ondosa it un fluido incomprimibile descritto dalle equazioni della magnetofluidodinamica nello schema del continuo. Nella parte I si studia dapprima la propagazione di onde piane di piccola ampiezza e poi quella delle onde di ampiezza finita. Nella parte II l'indagine é estesa alle onde cilindriche e nella parte III infine si discute la propagazione di onde piane e cilindriche nel caso in cui nello stato imperturbato il fluido non sia in quiete, bensì in moto uniforme. Nel lavoro si tiene conto delle azioni dissipative della viscosità e della conducibilità elettrica finita.

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Summary In this paper we discuss wave propagation in an incompressible conducting fluid considered as a continuous medium taking account of the Hall effect. In Part I we first consider the propagation of plane waves of small amplitude and secondly waves of finite amplitude. In Part II the discussion is extended to cylindrical waves and in Part III the propagation of plane and cylindrical waves is examined when in the unperturbed state the fluid is not at rest, but in a state of uniform motion. The dissipative effects of viscosity and finite electrical conductivity are taken into account in the present paper.

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A Bruno Finzi nel suo70mo compleanno.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei Gruppi di Ricerca Matematica del C.N.R. (Anno 1969) presso l'Istituto di Matematiche Applicate ? U. Dini ? della Facoltà di Ingegneria dell'Università di Pisa.

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Entrata in Redazione il 20 ottobre 1969.     

Su alcune soluzioni parametriche delle equazioni del moto intorno a un punto fisso di un solido pesante asimmetrico

Sunto. In questa nota si considerano le equazioni del moto intorno a un punto fisso di un corpo rigido pesante, nel caso in cui il baricentro appartenga a uno dei piani principali dell'ellissoide d'inerzia relativo al punto fisso (piano xy). Si ravvisa la possibilità di una particolare soluzione parametrica per mezzo di un parametro u tale che du=rdt, essendo r la componente della velocità angolare secondo l'asse z, e nell'ipotesi che il coseno direttore γ₃ secondo l'asse z della verticale discendente, sia della forma: γ₃=α₀(Ax₀p+By₀q)r, con α₀ costante, mentre gli altri simboli hanno il solito significato. Si dimostra che sono possibili soltanto due casi: Il 1^o é quello in cui il baricentro appartiene a uno degli assi x, y (y₀=o, oppure x₀=0), e questo corrisponde a un caso di integrabilità segnalato da Stekloff; il 2^o è quello in cui l'asse z è asse intermedio dell'ellissoide d'inerzia e la retta baricentrale coincide con l'intercezione del piano xy con uno dei due piani ciclici dell'ellissoide d'inerzia passanti per l'asse z. In questo secondo caso il moto si riduce a una rotazione uniforme del solido intorno a tale retta baricentrale disposta verticalmente, retta che appartiene al cono di Staude. Entrata in Redazione il 15 maggio 1975.     

Equazioni di equilibrio e di congruenza,indefinite ed ai limiti,delle lastre semielastiche a doppia curvatura

Sunto Mediante l' appropriata applicazione del principio dei lavori virtuali, usato successivamente nelle due forme variazionali correlative in cui esso può esprimersi, si ricavano le equazioni generali di equilibrio e di congruenza delle lastre curve. Nessuna ipotesi viene formulata circa la legge fisica che lega le tensioni alle deformazioni, e circa il modo di comportarsi della normale alla superficie media della lastra durante la deformazione. La grande ampiezza che assume di conseguenza tutta la trattazione si ripercuote su alcuni risultati già noti, ad esempio sulle condizioni di equilibrio ai limiti per le lastre piane date dalKirchhoff, le quali risultano valide anche senza le due ipotesi fondamentali su cui ne fu basata la deduzione.     

Variazioni di segno condizionate e teorema di Fabry

Sunto Si estende il campo di applicabilità della classica condizione sufficiente diE. Fabry per il punto critico sulla circonferenza di convergenza: questa condizione richiede l'ispezione della successione dei coefficienti su una successione di tratti e il computo di certe variazioni di segno. Per ottenere la nostra estensione si introduce il concetto di ? variazione di segno condizionata ? che consente tanto un computo più favorevole quanto la possibilità di ridurre l'ispezione alla parte centrale dei tratti. - 1. Posizione del problema. - 2. Variazioni di segno condizionate. - 3. Condizione unilaterale con quante si vogliono variazioni di segno (Teor. I). - 4. Una funzione ausiliaria. -5. Condizione sufficiente espressa con le variazioni di segno condizionate (Teor. II). -6. Il tratto ridotto (Teor. III, IV e V). - 7. Criter? sufficienti per le serie di potenze non prolungabili (Teor. VI). - 8. Alcuni lemmi noti. - 9. Un nuovo lemma. - 10. Maggiorazione diIIp. - 11. Dimostrazione del lemma principale. - 12. Dimostrazione del Teor. II. - 13. Dimostrazione del Teor. V.     

Funzioni tensoriali di un vettore e leggi elementari dell’elettromagnetismo

Sunto Si espone un algoritmo particolarmente adatto per lo studio delle leggi elementari dell’elettromagnetismo, sia allo scopo di stabilire il grado di indeterminazione da cui sono affette, sia allo scopo di determinare tutte le leggi elementari dotate di requisiti assegnati. Nel primo capitolo si esaminano le proprietà generali delle leggi elementari e si classificano. Nel secondo capitolo si studiano i tensori del secondo e del terzo ordine associati alle leggi elementari. Tali tensori sono tutti funzioni di un vettore e godono delle proprietà che al mutare della terna di riferimento le nuove componenti del tensore, espresse in funzione delle nuove componenti cartesiane del vettore, godono dell’invarianza formale. Tale proprietà si traduce in un sistema di equazioni funzionali, che vengono risolte. Si ha così che le 9 (27) componenti del tensore di secondo (risp. terzo) ordine possono essere espresse mediante una combinazione lineare di sole 3 (risp. 7) funzioni del solo modulo del vettore, che vengono chiamate “funzioni di distanza” del tensore. La ricerca delle leggi elementari dotate di proprietà assegnate dà luogo a sistemi di equazioni differenziali fra le componenti dei tensori associati alle dette leggi. Tali sistemi constano talvolta di un enorme numero di equazioni alle derivate parziali del primo o del secondo ordine. Tuttavia la sopradetta conoscenza della semplice struttura dei tensori incogniti ed un appropriato procedimento di calcolo permettono di pervenire alle soluzioni in modo relativamente semplice, rispetto alle complessità che la questione offre a prima vista. Alcuni esempi vengono illustrati. Nel terzo capitolo si risponde in modo esauriente all’antica questione relativa all’indeterminazione della prima legge elementare diLaplace. Nel quarto capitolo si determinano le espressioni generali di particolari insiemi di leggi elettrodinamiche. Ad Antonio Signorini nel suo 70^mo compleanno.