几何中的向量方法

教育部于 2 0 0 3年 4月颁布《普通高中数学课程标准 (实验 )》 ,人民教育出版社和北京师范大学数学系合作编写《普通高中课程标准实验教科书·数学》 .作为教材编写工作的主要参与者 ,必须经常考虑中学数学教育中的一些问题 ,探寻其中的一些基本规律 .在思考与探索的过程中 ,常常有一些体会 ,产生一些想法 .这里 ,我们把这些体会以类似于“编写札记”的方式随时记录下来 ,与大家一起探讨、交流 ,希望得到全国同行的指教 .本文谈的是几何中的向量方法 .中学数学中研究几何可以采取不同的方法 .这些方法主要包括 :综合方法———不使用其他工…     

几何学机械化方法Ⅰ.初等几何

依据多项式组的 Rilt 原理以及0点分解定理, (见[R 1,2]与[WU 4,5]),作者提出了几何学的一种机械化方法。除应用于解高次联立代数方程组外。本文以初等几何为限,指出如何依据这一机械化方法以建立构造性的代数几何学,以及如何应用于几何定理的机器证明与机器发明。在下一文中,将推广这一机械化方法于微分几何。     

初等几何定理证明的Clifford代数方法

本文结合是吴方法及平面几何的Ｃｌｉｆｆｏｒｄ代数表示，提出了几何定理机器证明的一种完备的方法，用这种方法证明定理时，三角化的过程及证明的过程通常较以前的方法更简短而且它们是可以几何解释的。     

模糊支撑向量分类的几何方法

在支撑向量分类几何方法中考虑了数据的置信度,建立了基于模糊数据的支撑向量分类的几何方法.方法易于理解,实施方便,且兼顾了数据的重要性.数值分析表明,模型相对于Lin的模糊支撑向量分类,同样可体现数据置信度的差异,而实施更直接.     

初等几何定理机器证明——吴方法简介

吴文俊院士获得2000年国家科学技术最高奖,这对我们数学工作者是极大的鼓舞,他的主要成就包括代数拓扑,应用数学,数学史,几何定理的机器证明等．这里,我们介绍后者．     

射影几何对初等几何指导一例

１　引言射影几何是高等师范院校数学专业必修的一门基础课,开设此课的目的之一,是因它对初等几何有着广泛的指导作用．因此,尝试用射影几何的知识去解决初等几何的问题,倘能行通,再着力用射影的观点将原题推广,以求得出更为普遍的新命题,……．这就为改进和提高几何课的教学质量提供一条途径．２　一道赛题由香港数理教育学会主办的１９９８年初中数学竞赛,加试的三道解答题中第二题是如下一道平面几何题［１］．图１ＡＤＢＭＯＱＰＮＣ已知Ｐ为ＡＢＣＤ内一点,Ｏ为ＡＣ与ＢＣ的交点,Ｍ、Ｎ分别为ＰＢ、ＰＣ的中点,Ｑ为ＡＮ与…     

初等微分几何的机械化证明

本文系文献[1]关于初等几何机械化证明的继续,文中指出,应用同样的原理可给出一个算法,足以判定初等微分几何中一个适当的叙述是否是一真实的定理,方法是依据Riquier-Ritt-Thomas的理论^[2,3],这些理论本身就是算法性的。     

基于初等几何方法的π数值计算的探索实验

探讨了基于初等几何方法的圆周率π的数值计算的探索数学实验教学.展现了整个实验的实验设计,数据分析,发现、估计及验证规律的全过程.     

向量与几何

向量是现代数学的基本概念之一，也是解几何题的有力工具．向量法就是把几何问题代数化．然后用代数的运算来解几何题．用向量工具处理几何题，兼有几何的直观性、运算表述的简洁性和代数方法的一般性．本讲主要探讨这一方法．     

复数与初等几何变換

一、引言复数是用来表达平面上点的位置的数:z=x++(-1)~(1/2)y,x,y是实数,(x,y)即是点的笛儿直角坐标,或z=ρe~(iθ),ρ,θ是实数(i-(-1)~(1/2),(ρ,O)乃是点的极坐标。把一个数乘上z=ρe~(iθ),就是把这个数所表达的点沿这点与坐标原点的联线伸縮ρ倍,并从这联线起按反时針方向旋轉一个角度θ;把一个数加上复数z=x+iy,就是把这个数所表达的点沿横軸移动有向距离x,沿纵軸移动有向距离y。这样,利用复数的运算,初等平面几何上的許多定理可以化简其証明。同时,通过复数的运用可以对初等平面几何作概括的叙述,如全等形的理論是討論簡单图形在刚体运动(平移和旋轉)z→az+b(这里|a|=1)下不变的性貭,相似形的理論是討論在变換z→az+b(a,b是任意复数) 下不变的性貭。掌握了这些变換,不但能对初等平面几何学以簡叙繁,而且对复数的了解也更深刻。二、初等几何变換簡介变換理論是几伺作图的主要依据。如果借助于任何規則或规律对于某个图形,的每一个点A,在某个图形F＇有一个确定的点B与之对应,那么我們說,图形F被变換到图形F＇。Ⅰ.合同变換 假設有一个图形F,經过某种变換而变为与自己合同的图形F＇,那么这个变換叫做合同变換。合同变換分下列三种:     

一个高等几何结论的初等证明

文献[1]～[6]中研究了二次曲线中的一些结论,文[5]将它们统一为定理1,并用高等几何的方法完成了证明,本文给出这一结论的初等证明.     

几个初等几何定理的证明

近閱讀叶菲莫夫著高等几何学,發觉其中有几个定理,可作更直接的証明,茲介紹如下(本文所指頁数系俄文原著第三版).     

初等几何定理机器证明的基本原理

1976与1977之交,我发现了一个初等几何定理证明的机械化方法,见文献[4].这一方法适用于各种无序的但满足 Pascal 公理的初等几何,或各种初等几何中不牵涉次序关系的那类定理.本文§4叙述了这一方法所依据的基本原理并给出了详细证明.在§2与§3中则阐述了基本原理所依赖的关于多项式组的整序理论与代数簇的构造性理论.二者俱源出 Ritt 的著作,见文献[2,3].最后在§5中以 Morley 定理与我所发现的Pascal 锥线定理为例,说明这一方法在计算机上实施的具体情况.     

聚焦空间几何中的非坐标向量方法

随着新课程标准的不断推进,空间想象能力和几何直观能力越来越受到人们的关注,空间向量作为研究空间几何的强有力工具,给空间几何问题的研究注入了新的生机和活力,开辟了很多解题的新途径、新方法、新思路,拓宽了高考对空间几何问题的命题的新空间．     

向量在初等不等式证明中的应用

向量是近代数学最基本的概念之一,在初等数学中则是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁,具有丰富的实际背景和广泛的应用.     

化二次射影几何问题为初等几何问题

众所周知,有关一次射影几何的某些问题可以把某条直线投射到无穷远后,化为初等几     

几何问题的向量解法

既有大小又有方向的量叫做向量 ,通常用带有箭头的有向线段来表示向量 .向量中定义有几何意义明显的加法 ,减法 ,实数与向量的积以及向量与向量的数量积等重要的运算 .所谓向量法 ,就是利用向量的几何意义将几何问题转化为相应的向量问题 ,并通过向量的运算达到解题的目的 .向量法解题 ,能使原先错综复杂的演绎推理过程变为单纯的向量间的运算 ,往往可以取得出奇制胜的效果 .用向量法解题时 ,下面的有关向量知识经常被用到 :1 )线段ＡＢ的长度ＡＢ =|ＡＢ| ,线段ＡＢ的长度平方 |ＡＢ| 2 =ＡＢ·ＡＢ ;2 )两向量的和的平行四边形法则或三角…     

向量几何意义的应用

<正>向量是高中数学的重要内容,其典型的特点是具有数形二重属性.因此,理解向量的几何意义,如认清常见的单位向量、向量的模、夹角、三角形的四心等的表达形式和几何意义,对于理解向量概念和应用向量解决问题具有重要作用,从而达到提高分析和解决问题的能力.略举几例,和大家一起探讨.一、单位向量     

初等几何判定问题与机械化证明

机械化证明定理,目前值得注意的是Tarski关于初等几何与初等代数定理的机械证明法。他以及后来一些研究工作者的方法,大都基于Sturm定理的某种推广,这些方法仍极繁复,因之即使使用了计算机,实际上也是难以实现的。本文的目的,在于把定理限制在不牵涉到“之间”关系的情形,应用完全不同的原理给出初等几何定理的机械化证法。这种方法仅用手算即可给出不太简单的定理的证明。