由两道概率论习题引发的讨论

1 正四面体的4个顶点记为1，2，3，4．从一点出发等可能到其他3点．求从点1出发走7步又回到1的概率．     

棋盘上的欧拉问题

一个国际象棋盘，是一个８×８的６４方格，欧拉曾研究过棋盘上马的跳跃问题，他证明了，存在一个马的跳跃路线，从一点出发，经过每一格一次且仅一次，最后又跳回到初始点；上述的这样一个马步跳跃路线，称为棋盘上的马步哈密顿回路；如果不限制最后一步还要能跳回到始点，则称为马步哈密顿路；定义　ｍ，ｎ是正整数，一个（ｍ，ｎ）马，是指在一个充分大的棋盘上一步可纵横跳ｍ，ｎ个格或ｎ，ｍ个格；于是，国际象棋的马是（１，２）马；下面给出一个定理，它刻画了（２，３）马和（１，２）马的本质区别；定理　从８×８棋盘上任一点出发…     

计数法(2)

(续上期 )3　算两次“算两次”的典型做法是选择一个适当的量 ,从两个方面去考虑它 ,“一方面… ,另一方面… ,综合起来可得… .”好像三步舞曲 ,这种舞曲在组合计数中常常用到 .例 8　n ,k∈Z ,S为平面上几个点的集合 ,对于S中任一点A ,S中至少有k个点到A的距离相等 .证明k <1     

一道高考题的统计学背景

20 0 1年全国高考理科第 ( 2 0 )题 :“已知 i,m,n是正整数 ,且 1 相似文献   

绕圆台侧面一周最短路程计算的研究

1　问题的提出习题　已知圆台的母线长为 2 ,上、下底面半径分别为 1和 2 ,有一动点 P从下底面圆周上一点 A开始出发 ,绕圆台侧面一周再回到 A点 ,求动点 P经过的最短路程 .为了便于研究 ,把问题一般化 :“已知圆台的母线长为 l,上、下底面半径分别为 r′和r,有一动点 P从下底面圆周上一点 A开始出发 ,绕圆台侧面一周再回到 A点 ,求动点 P经过的最短路程 .”(如图 1 )2　解决方法这是求几何体表面两点间最短距离问题 ,考虑到圆台侧面可展开成平面图形 (一个扇环 ) ,因此 ,把空间问题化为平面问题来解决 ,只需求这个扇环上相应两点间的最…     

向量的闭合回路在问题解决中的巧妙运用

所谓“向量的闭合回路”就是向量从一点出发,通过一个封闭的图形又回到原点的那个通路．显然,n个向量构成闭合回路的条件是相邻两个向量都必须首尾相接,     

一道高考试题的再推广

文[1]给出了2006年湖北省高考数学第20题的一个推广.命题1若A,B分别为椭圆xa22 by22=1(a>b>0)的左、右顶点,设P为右准线上不同于点(ac2,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M,N.则点B在以MN为直径的圆内.并由此还发现了椭圆一个和谐而优美的性质.命题2若A,B分别为椭圆xa22 by22=1(a>b>0)的左、右顶点.1)设P为右准线上不同于点(ac2,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M,N.则直线MN经过椭圆的右焦点F(c,0).2)设P为左准线上不同于点(-ac2,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的…     

数列及函数极限不存在、无界、及有关无穷大问题的讨论

一、数列极限不存在，无界，不是无穷大的分析定义1．数列（Xn）不以A为极限存在ε0＞O，对任意自然数儿都存在从，当N0＞N时使2数列｛xn｝发散对任意数人都存在ε0＞0，对任意自然数N，都有N0＞N，使3．数列无界对任意M＞0，都存在自然数N0，使成立。4数列（Xn）不是无穷大量存在M0＞0，对任何自然数N，都存在N0＞N，使类似地可以出给函数极限不存在，无界，不是无穷大的分析定义。二、证明数列发散的一般方法在同济大学高等数学第四版上册第一章讲数列极限时，给出了一个描述收敛数列与其子数列之间关系的一个定理3，即如果数列｛xn…     

自动机的半群结构

本文从循环自动机A出发,在输入半群I中诱导出一个右同余π_o,定义一个同构于A的自动机A(I/π_o),然后在I中定义π_o的同余化子N,讨论N/π_o中的Green关系,从而刻画A的自同态半群和自同构群,对于循环自动机给出Bavel提出的一个公开问题的解答.最后给出求循环自动机的自同态半群和自同构群,循环自动机到任意自动机的一切同态以及任意自动机的自同态半群和自同构群等的算法.     

图形覆盖问题的研究

先看一道2003年南京中考填空题：阅读下面材料： 对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆覆盖。     

椭圆内接四边形的一个性质及其推广

本文给出椭圆内接四边形的一个定值性质 ,并将性质推广到椭圆内接n边形 .一、定理及其推论定理 1 :自椭圆上任意一点到其内接四边形两双对边距离之积的比为定值 .图 1证明 :如图 1设Ai(acosai,bsinai) (i=1 ,2 ,3 ,4)为椭圆内接四边形的四个顶点 ,P(acosθ,bsinθ)为椭圆上任意一点 ,不妨设上述五点中任意两点的连线均与x轴不垂直 ,则 :KA1 A2 =bsina1 -bsina2acosa1 -acosa2=-bcosa1 +a22asina1 +a22所以 ,直线A1 A2 方程为 :y -bsina1 =-bcosa1 +a22asina1 +a22(x-acosa1 )因此 :xbcos a1 +a22 +yasin a1 +a22-abcosa1 -a22 =0又设P到…     

中考新题型赏析

(2006年江苏省苏州市)如图1，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光.解(l)任意闭合其中一个开关的情况共有4种，其中能使小灯泡发光的情况只有1种，，，人一、‘，，、.，，~、。，，、、，，*。~~。1.;_.、(闭合D)，所以小灯泡发光的概率是令.故填”’刁曰一“”一’“’~一‘“一‘’~’~4’~一~ 1一4 (1)任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于; (2)任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率.剖析电学是物理学科中的一个重要组成部分，把电…     

康托定理的推广

文献[1]收录了下面两个共点线命题:命题1一个圆周上有n个点,从其中任意n-1个点的重心,向该圆周在其余一点处的切线所引的垂线都交于同一点.命题2一个圆周上有n个点,从其中任意n-2个点的重心,向余下两点的连线所引的垂线都交于同一点.其中命题2被称为康托定理[1].本文拟对这两个命题作进一步推广,为此,     

一道高考试题的再推广

文[1]给出了2006年湖北省高考数学第20题的一个推广． 命题1若A，B分别为椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的左、右顶点，设P为右准线上不同于点（a^2/c，0）的任意一点，若直线AP，LBP分别与椭圆相交于异于A，B的点M，N．则点B在以MN为直径的圆内．     

有趣的青蛙对称跳

地面上有A、B、C三点,一只青蛙位于地面上距离A点为0.27米的P点.青蛙第一步从P点跳到关于A的对称点P1,我们把这个动作说成是青蛙从P点关于A点的“对称跳”;第二步从P1点出发对B点作对称跳到达P2;第三步从P2点出发对C点作对称跳到达P3;第四步从P3再对A作对称跳到达P4;…,按这种方式一直跳下去,若青蛙第2005步对称跳之后到达P2005,问此点与出发点P的距离为多少米?图1如图2,从P点跳过两次之后到达P2点,相当于按向量PP2作了一次平移,而PP2=2AB,类似地,第三次和第四次两次跳相当于按向量2CA做平移,第五次和第六次跳相当于按向量2BC…     

广义de Bruijn有向图的k-元控制集

G =(V,A)表示一个有向图,其中V和A4分别表示有向图G的点集和弧集.对集合Dk? V(G),如果对于任意点v ∈ V(G),都存在k个点ui,1≤i≤k(可能存在某个ui和v是同一点)使得(ui,v)∈ A(G),则称Dk是G的一个k-元控制集.有向图G的k-元控制数γxk(G)是G的最小k-元控制集所含点的数目...     

巧用橡皮筋妙猜角度之和

我们以"三角形的内角和"为例感受"橡皮筋"法:我们事先承认三角形内角和是一个定值,即任意三角形的内角和都相等,来直观感受得出猜测獉獉.如图1,将一条橡皮筋在A1、A2两点用图钉固定,将A1、A2之间另一点A3往上拉,形成△A1A2A3,然后将点A3慢慢放松时,∠A3逐渐变大,∠A1与∠A2变小,恢得到原来位置时,A1、A2、A3成一条直线(即退化的     

Birkhoff遍历定理的推广

设(X,F,P)是一个概率空间,T:X→X 为保测变换,Bikhoff 遍历是定理指出:对任意 f∈L′(X,F,P),都存在 f~*∈L′(X,F,P)使得(?)并且 f~*(?)T=f~*α.e,α.e,(?)f*(x)dP=(?)f*(x)dP.J.P.con-(?)并且(?)ze 与 A.Bellow 分别在[1]、[2]中讨论了对任意一串严格增的正整数 κ=(k_n)m>0,部分和 T~N,kf(x)=1/N sum from n≤N f(T?)当 N→∞时的收敛性。本文中,我们要从另外的角度来讨     

对“概率”概念教学的一处释疑

新教材中概率这一概念是用概率统计定义给出的 .文 [1 ]第 1 4 8页指出“不可能事件的概率为 0 ,必然事件的概率为 1 ,随机事件的概率大于 0而小于 1 .”这段文字的最后一句具有科学性错误 ,下面举出一反例 :向平面内投一质点 ,该质点落在平面内任一点都是等可能的 ,分别求质点落在平面内点A的概率和落在平面内除点A处的概率 .显然他们都是求随机事件概率问题 ,但前者的概率为0 ,后者的概率为 1 .这是一个典型的几何概型问题 .用几何型概率的定义[2 ] 可加以说明 .随机事件A的概率应该是 0≤P(A)≤1 .这是概率所具备的规范性[2 ] ,在高中…     

解析法证明朗古莱定理及其推广

本文通过建立平面直角坐标系,应用解析法对著名的朗古莱定理及其推广进行巧思妙证. 朗古莱定理在同一圆周上有A1、A2、A3、A4四点,从其中任意三点作三角形,在圆周上取一点P,作P点的关于这四个三角形的西摩松线,再从P点向这四条西摩松线引垂线,求证:四垂足共线.