“黄金椭圆”与“黄金双曲线”微探

椭圆的离心率e∈（0，1），当e=0＋√5-1/2=√5-1/2时的椭圆称为黄金椭圆，文[1]中叙述了几个优美的性质，由于双曲线的离心率e∈（1，＋∞）,     

黄金椭圆和黄金双曲线的一个新颖性质

大家都知道,离心率e=√5-1/2的椭圆和e=√5+1/2的双曲线叫做黄金椭圆和黄金双曲线,它们的许多性质已为大家所知,最近笔者在教学之余作了一些研究,又得到一个新颖有趣的结论,现论述如下,与大家共享.……     

黄金椭圆与双曲线的一个新性质

由于(5~(1/2)-1)/2与(5~(1/2) 1)/2这两个数都与黄金分割有关,离心率e=(5~(1/2)-1)/2的椭圆不妨叫做黄金椭圆,离心率e=(5~(1/2) 1)/2的双曲线不妨叫做黄金双曲线.它们有许多性质,已被大家所知,下面介绍一个新性质.性质1设B是椭圆的短轴顶点,A是与椭圆焦点F相应的长轴顶点,当且仅当椭圆为黄金椭圆时,∠ABF最大,其最大值是arcsin (5~(1/2)-2).     

椭圆和双曲线中两个统一的定值及其应用

本文介绍椭圆和双曲线中几个统一的定值及其应用.定理1如果直线l与离心率为e的双曲线C:x~2/a~2-y~2/b~2=1(或椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1,a>b>0)交于A、B两点,P为线段AB的中点,且l与双曲线C(或椭圆)的对称轴不平行,则k_(OP)·k_(AB)=e~2-1.本文仅证明双曲线中的公式,椭圆中的公式留给读者自证.     

探究椭圆中斜率乘积定值性质及应用

<正>椭圆是圆锥曲线教学的重要载体,是高中数学教学的核心内容,蕴含着很多有趣和有用的性质,受?椭圆中一类斜率乘积定值性质的探究及证明?一文中一类斜率乘积为定值的性质的启示,本文从斜率乘积为定值出发,探究其本质得到相关性质,并结合高考常考题型进行应用.     

椭圆的一个有趣性质及应用

性质　椭圆 x2a2 +y2b2 =1(a >b >0 )上任意一点P与过中心的弦的两端点连线PA ,PB与对称轴不平行 ,则直线PA ,PB的斜率之积为定值 .图 1　性质证明用图证明　如图 1,设P(x ,y) ,A (x1,y1) ,则B(-x1,- y1) ,∴ x2a2 +y2b2 =1(1)x12a2 +y12b2 =1(2 )(1) - (2 )得x2 -x12a2 =- y2 - y12b2 ,∴ y2 -y12x2 -x12 =- b2a2 .∴kPA·kPB=y - y1x -x1·y +y1x +x1=y2 - y12x2 -x12 =- b2a2为定值 .这条性质是圆的性质 :“圆上一点对直径所张成的角为直角”在椭圆中的推广 ,它充分揭示了椭圆的图 2　推论图本质属性 ,因而能简洁解决问题 .推论　…     

对一道高考解析几何题的深度探析

题目(2013江西高考文-20)椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率e=√3/2,a+b=3. (1)求椭圆C的方程; (2)如图1,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明:2m-k为定值.     

圆锥曲线中一个斜率之差为定值的性质

通过探究,得到椭圆中一个斜率之差为定值的性质,并将其类比到双曲线和抛物线中.     

椭圆的又一个有趣性质

椭圆有很多有趣的性质,本文再给出一个.性质1过椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0)的焦点斜率为k1的直线交椭圆于A、B两点,若C为线段AB的中点且直线OC的斜率为k2,则椭圆的离心率e满足e2=1 k1k2.证明设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则x21a2 y21b2=1,x22a2 y22b2=1.两式相减得x21-x     

一道椭圆试题的引申

2005年全国高考文科卷Ⅰ第(22)题:已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A,B两点,OA OB与a=(3,-1)共线.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设M为椭圆上任意一点,且OM=λOA μOB(λ,μ∈R),证明λ2 μ2为定值.问题(Ⅱ)中λ2 μ2为定值1.由此,我们不     

圆锥曲线的一个性质及应用

1性质过圆锥曲线的焦点F作倾斜角为α的直线l与圆锥曲线交于A,B两点(点A在B的上方),且F分AB的比为λ,e为离心率,则cos2α=e(2(λλ- 11))22.证明以圆锥曲线中的椭圆为例,设过椭圆xa22 by22=1(a>b>0)右焦点F(c,0),倾斜角为α的直线l交椭圆于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则当α≠2π时     

一道解几问题的探究与引申

在解析几何中,椭圆、双曲线、抛物线往往有相同或类似的一些性质．本文通过椭圆中一个斜率乘积为定值问题引人,通过探究,进行拓展与推广,得到一般性的结论,从中可以感受到数学问题的“形异质同”．     

椭圆内接四边形的一个性质及其推广

本文给出椭圆内接四边形的一个定值性质 ,并将性质推广到椭圆内接n边形 .一、定理及其推论定理 1 :自椭圆上任意一点到其内接四边形两双对边距离之积的比为定值 .图 1证明 :如图 1设Ai(acosai,bsinai) (i=1 ,2 ,3 ,4)为椭圆内接四边形的四个顶点 ,P(acosθ,bsinθ)为椭圆上任意一点 ,不妨设上述五点中任意两点的连线均与x轴不垂直 ,则 :KA1 A2 =bsina1 -bsina2acosa1 -acosa2=-bcosa1 +a22asina1 +a22所以 ,直线A1 A2 方程为 :y -bsina1 =-bcosa1 +a22asina1 +a22(x-acosa1 )因此 :xbcos a1 +a22 +yasin a1 +a22-abcosa1 -a22 =0又设P到…     

一道高考试题的推广

题目 (2009年辽宁文22)已知,椭圆C经过点A(1,(3)/(2)),两个焦点为(-1,0),(1,0). (1)求椭圆C的方程; (2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.     

椭圆和双曲线的又一个姊妹圆

本刊文 [1 ]推出了椭圆和双曲线的四个姊妹圆 ,读后受益非浅 .在它的启示下 ,笔者进一步研究 ,又得到了一个优美有趣的姊妹圆 .命题 1　到椭圆 b2 x2 a2 y2 =a2 b2 (a >b>0 )的两条准线和 x轴的交点的距离之比为a - cb (c为半焦距 )的点的轨迹为圆 (x± ae2 ) 2 y2 =(be2 ) 2 (e为离心率 ) .证明　设 M(x,y)是轨迹上的任一点 ,又知两条准线和 x轴的交点为 E(- a2c,0 )和F(a2c,0 ) ,则有(x a2c) 2 y2(x - a2c) 2 y2=(a - cb ) 2=a - ca c=1 - e1 e,1或　(x - a2c) 2 y2(x a2c) 2 y2=1 - e1 e. 2化简 1或 2可得到x2 y2± 2 ae2 x…     

对一道两三角形面积之比为定值试题的探究

首先给出2021年江西省高三质检考试中一道两三角形面积之比为定值试题的解法,然后进行一般化探究,得到了椭圆、双曲线和抛物线的相关性质.     

椭圆、双曲线的一个定值性质及极端情形

在对圆锥曲线的研究中,笔者偶得关于椭圆、双曲线的如下一个涉及焦点、中心的定值性质.定理1设     

椭圆“4α三角形”的优美性质

定义 设椭圆x^2/b^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的左、右焦点分别是F1、F2,过F2的直线与椭圆交于A、B两点（不与椭圆长轴端点重合）,由于△ABF1的周长为定值4a,我们定义△ABF1叫椭圆的“4a三角形”．笔者经过探索,得出椭圆“4a三角形”的几个优美性质,现写出来与大家交流、分享．     

圆锥曲线一组有趣的定值性质

性质1如图1,椭圆E：x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的左（右）焦点为F,在x轴上F的右（左）侧有一点A,以FA为直径作圆C与椭圆E在x轴上方部分交于M、N两点,则｜FM｜＋｜FN｜/｜FA｜=1/e（其中e为椭圆的离心率）．     

椭圆“4α三角形”的优美性质

<正>定义设椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,过F2的直线与椭圆交于A、B两点(不与椭圆长轴端点重合),由于△ABF1的周长为定值4a,我们定义△ABF1叫椭圆的"4a三角形".笔者经过探索,得出椭圆"4a三角形"的几个优美性质,现写出来与大家交流、分享.