用区间套定理证明Darboux定理

Darboux定理是数学分析中的一个重要定理.在已有文献的基础上,对该定理作了进一步的研究,利用区间套定理给出了它的新的证明方法.证明思路与现有的其它证明思路是不同的.     

关于一类定积分的性质及应用

<正> 文[1]、[2]、[3]用区间套原理分别证明了罗尔、拉格朗日、柯西等微分中值定理。本文先给出连续函数在定积分中的几个有趣性质,再应用这些性质构造区间套证明积分第一中值定理。     

微分中值定理的另类证明与推广

通常教科书中,微分中值定理的证明建立在罗尔(Rolle)定理之上.本文以实数连续性中的重要定理———区间套定理为依据,给出了拉格朗日微分中值定理的另类证明.此外,还给出了中值定理的若干推广形式.     

关于Weierstrass定理的证明

对于Weierstrass聚点定理．部分教材通常多采用二分法加区间套定理进行证明．也有教材通过在有界数列中寻找一个单调子列来证明Weierstrass聚点定理,可惜证明过程存在问题．通过对证明过程中出现的问题进行分析．可得到基于单调有界定理的Weierstrass定理的证明．     

对《罗尔定理的一个证明》一文的质疑

杨翰深同志在《数学通报》1990年第4期介绍《罗尔定理的一个证明》.此文在对罗尔定理的证明中,回避了平行弦定理和区间套定理的运用,试图另辟新径.这种尝试其愿望是良好的,遗憾的是文中出现了一些疏漏及错误.这里仅就下述问题提出质疑,以便与作者和读者商榷.     

关于闭区间上连续函数性质的证明

在数学分析中,对于闭区间上连续函数的几个重要性质的证明,不同的教科书上所采用的方法大致相同。选择证法通常是考虑这样几点:一是容易想到;二是简单;三是着眼于推广。因此,对有界性与一致连续性通常用有限覆盖定理或致密性定理来证,介值性用区间套原理来证,最大(小)值存在性用确界原理来证。但     

单调连续函数两定理的证明

单调连续函数两定理的证明黄炳生（东南大学）在闭区间上连续函数的基本性质，在很多教材中都未给出证明，因而初等函数的连续性碍难懂得深透。但其中有在部分区间上是单调的。若懂得了单调连续函数性质，则收益不小。其证明则易于接受。定理１设ｆ（）在［ａ，ｂ］区间上...     

对一个定理和一个法则证明的教学管见

一、关于实系数一元n次方程虚根成对定理证明的教学。通用高中《数学》第三册103页给出了这个定理,课本上是这样叙述的:“还可以证明:如果虚数a+bi是实系数一元n次方程f(x)=0的根,那么它的共轭虚数a-bi也是这个方程的根。”但课本中却没有给出这这个定理的证明。是不是这个定理的证明学生无能力接受呢?回答是否定的。这个定理用学生学过的复数知识完全可以获得证明,而且学生还有能力来推导出这个定理的证明。据此,我认为应引导学生来证明这个定理,这样不但能使学生知其然,还能知其所以然,从而使学生把这个定理学得牢固,用得踏实。另外通过对定理的证明还可对前面学习过的复数知识进行复习和应用。实践证明、所达效果不出所料。     

罗尔定理的一个证明

本文利用连续函数的极值原理、介值定理以及极限的两边夹定理,给出了罗尔(Rolle)中值定理一个简洁证明。由于该方法迴避了运用(未被编入工科高等数学教程中的)区间套原理,从而比《美国数学月刊1979(86)》发表的Hans Samelson[1]和Alexander Abian[2]的两个新证明,在我国理工科数学有关的教学实践中更为通用。特别地,本文的方法还避免了使用文[1]所引用的P.Lévy平行弦定理[3]。     

也谈关于微分中值定理的教学

《通报》83年第8期发表了陆俊杰干同志“关于微分中值定理教学的一点看法”的文章,提出了用演绎、推理的方法,求所需的辅助函数,但从另一个角度,学生很自然的想到微分中值定理与洛尔定理仅是区间端点函数值相等与不相等的区别,能否通过旋转变换去解决这个问题呢?!我们从旋转变换的图形不变性可知:通过旋转变换满足洛尔定理的条件的,而且旋转的坐标轴显然是平行于直线y=(f(b)-f(a)/b-a)x的,因此,得出微分中值定理的又一证明。     

最值理论中一个结论的证明

同济大学《高等数学》最值理论中有结论称“若一个函数在一个区间内可导且只有一个驻点,并且这个驻点是函数的极值点,那么此驻点也是该函数的最值点”,但并未给出证明。学生们对此频感好奇。受Fermat引理启发,利用反证法可获一个比此结论更为一般的定理。     

一个实数连续性的等价命题

从一般数学分析教材中,描述实数连续性的命题有确界定理、单调有界定理、区间套定理、稠密性定理、柯西收敛原理和有限覆盖定理。而且它们之间是彼此等价的。本文拟介绍     

浅谈方程有根问题的证明方法

证明方程在某个区间内有根是微积分中常见的一类问题。然而，很多学生在解决这类问题时，往往感到很困难，不知如何下手。本文将分析这类问题的特点，指出解决这类问题的方法，总结其规律。一、问题的特点证明方程在某个区间内有根，常用的定理有两个：根的存在定理和洛尔定理。其共同的特点，就是要找一个合适的函数F（X）满足各自定理的条件。找一个合适的函数，就是我们常说的找辅助函数，这是解决问题的关键。二、解决问题的方法前面说过，解决这类问题的关键就是找辅助函数F（X），如何去找，要根据方程的形式、特点。下面我们结合具…     

以动感技术破解余弦定理无字证明的教学难点探析

余弦定理是高中数学的重要定理之一,其证明方法多种,特别是无字证明蕴含丰富的转化和化归思想,对发展学生直观想象、逻辑推理等核心素养非常有意义.但传统教学中,该定理的无字证明难度较大.本文以动感技术融合该定理的教学.也许能更好引导学生经历观察、猜想、操作及验证环节,破解余弦定理无字证明的教学难点,助力学生理解,发展学生直观想象、数学抽象以及逻辑推理等数学核心素养.     

外尔斯特拉斯逼近定理的概率证明

在外尔斯特拉斯逼近定理的各种证明中,伯恩斯坦的证明比较最普通,颇有感染力。因为它的证明是构造性的。其结论是:如果f是区间[0,1]上的连续实值函数,伯恩斯坦多项式序列     

区间值模糊数与区间值粗糙模糊数

把经典Z.Pawlak粗糙集与区间值模糊集相结合,研究区间值模糊数的基本理论.讨论区间值模糊数的基本性质和四则运算法则及其与其它各种区间数的关系,并给出区间值模糊数的刻画定理.同时,在经典Z.Pawlak粗糙集的框架下定义实直线上的粗闭区间套,提出区间值粗糙模糊数的定义.利用模糊数的表现定理给出区间值粗糙模糊数的一个刻画.     

两个特殊命题的证明

利用闭区间套定理精确证明幂级数收敛半径的存在性问题．利用有限覆盖定理证明一含参变量积分问题．     

关于Kantorovich定理与Moore定理的等价性

Rall就Kantorovich定理与近年来新发展的关于区间迭代的Moore定理作了比较,指出前者在“敏感性”与“精确性”方面稍胜于后者,而在应用上后者所需要的计算量却少得多。本文证明这二个定理在理论上也是等价的。     

区间分析

区间分析,或称区间数学,是最近十多年来发展起来的一个新的数学分支。本文准备就它的概况和部分应用作一介绍。1.历史概况区间分析的基本思想是用区间变量代替点变量进行计算。“区间”在数学上的使用至少可以上溯到一个世纪以前:用有理数端点的“区间套”定义实数;在台劳定理中“中值”(实际上也是一个     

关于区间套原理的一点注记

本文建议一种在中学数学知识基础上推导区间套原理的方法，并给出直接利用区间套原理证明连续函数的两个基本性质的新方法。