分式方程及其应用

<正>分式方程在初中数学中有着很重要的地位和作用.分式方程与整式方程在解法上有着密不可分的联系.与整式方程相比,分式方程的是指分母中含有未知数的方程.在求解过程中除正常解变形后的整式方程外,要特别注意代回原方程验根.一、分式方程的概念分母里含有未知数     

增根想说爱你不容易

<正>分式方程增根的产生我们在解分式方程时需要去分母,即方程两边同时乘以最简公分母.如果这个最简公分母的值是0,就产生了增根.这可归结为方程的不等价变形.分式方程不允许未知数取那些使分母的值为零的值,即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后,这种限制取消了,换言之,方程中未知数的值范围扩大了,因此可能产生增根,解分式方程时要"验根".     

别把“增根”不当根

解分式方程去分母时,方程两边同乘最简公分母,得到整式方程.如果所乘的最简公分母不为0,所得到的整式方程与分式方程同解;如果所乘的最简公分母为0,所得到的整式方程的解就不一定是原来分式方程的解,其中使最简公分母为0的解,就不是原方程的解,称为原方程的"增根".分式方程的"增根"有两个特征:一是原分式方程去分母后所得到的整式方程的根,因此在解决分式方程有关问题时千万别把"增根"不当根;二是"增根"必使原方程中的最简公分     

分式方程无解与增根之间的奥秘

分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念.同学们在学习分式方程后,常常会对这两个概念混淆不清,认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事,事实上并非如此. 分式方程有增根,指的是解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程中,方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式,从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.因此增根具有两个特征:其一,它是分式方程化为整式方程后的整式方程的解;其二,它使最简公分母等于0.而分式方程无解则是指不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等.它包含两种情形:其一,原方程化去分母后的整式方程无解;其二,原方程化去分母后的整式方程有解,但这个解却使原方程的分母为0,它是原方程的增根,从而使原方程无解.现举例说明如下.     

HPM视角下可化为一元二次方程的分式方程教学

1 引言 在沪教版的教科书中,“可化为一元二次方程的分式方程”是八年级下册“代数方程”一章中的内容.教材首先从复习分式方程出发,接着给出可化为一元二次方程的分式方程的定义,最后介绍去分母法解分式方程.教材与教师一般都会强调增根产生的原因以及验根的重要性.笔者不禁产生疑问:历史上分式方程的增根是怎样被发现的?除了去分母法,还有其他方法吗?有没有可以避免产生增根的解法?有没有几何解法?教材并未涉及这些问题.在课堂中,教师多局限于分式方程的求解,而忽略分式方程背后的数学文化元素.     

不应忽视解的存在性

<正>初中阶段,同学们会学习多种类型的方程,包含整式方程中的一元一次方程、二元一次方程(组)、一元二次方程,分式方程,简单的无理方程.其中,整式方程对于所有的实数都是有意义的;分式方程会出现使分母为0的解,因此有明确的检验要求;无理方程在初中阶段出现的比较少,解无理方程时,需要考虑方程的解是否使方程有意义.但在部分以无理方程为条件的数学问题中,     

学好分式方程的几个要点

<正>分式方程是初中数学的一个重要内容,也是中考命题的热点之一,怎样才能学好分式方程这一内容呢?同学们一定要注意以下几点:一、理解分式方程概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程.要理解它的两大特征:首先是方程,其次是分母中含有未知数,这是分式方程的本质特征,掌握了这一点,就不会将含有分母形式的整式     

分式方程无解问题的探究

<正>分式方程是初中学习中非常重要的一个内容,是历年中考必考知识点之一.而分式方程无解的问题,是这一部分的难点.分式方程无解是指无论未知数取任何值,都不能使分式方程两边的值相等.分式方程无解主要有两种情况:第一种情况是把分式方程化为整式方程后,整式方程无解;第二种情况是在分式方程化为整式方程后,整式方程有解,但是这个解却使原来的分式方程的分母的值为0,这个解叫做分式方程的增根,这个分式方程无解.涉及分式方程无解的问题常有以下两大类,举例说明如下:     

数学中的捣蛋鬼——增根

<正>万圣节是西方的传统节日.为庆祝万圣节的来临,西方的小朋友会装扮成各种可爱的鬼怪,挨家挨户地敲门讨糖吃,谁家不给,他们就开始捣蛋.在数学的学习中也有一个"捣蛋鬼"——增根,在分式方程中到处"惹是生非",不检验就"捣蛋".本文我们就来搞定增根这个"捣蛋鬼".解分式方程的关键是去分母,将分式方程转化成整式方程.在去分母时,运用等式的性质,会两边同时乘以公分母,而这个公分母是含未知数的整式,并不能确保其不为零,从而导致未知数的取值范围增大,增根也就"诞生"了.     

增根与无解 大家知多少?

<正>对于初学者来说,分式方程的增根、无解是两个极易混淆的概念,也是近几年中考的热点和难点.同学们在做题中往往将其等同看待,事实上这两个概念既有区别也有联系.1分式方程的增根与无解的概念及联系分式方程有增根,是指在解分式方程的过程中,原方程两边同乘了一个可能使分母为零的整式,即分式方程转化到整式方程可能不是恒等变形,导致未知数的取值范围被人为的扩大,而解出的整式方程的根恰好打破了原方程分母不能为零的限制,     

分式方程中的常见错误分析

<正>分式方程是初中代数的主要内容.现将同学们与解分式方程有关的常见错误归纳如下,希望能引起同学们的警示.警示一:忘记验根例1解方程2/(x-1)-3/(x+1)=(x+3)/(x2-1).错解去分母,得2(x+1)-3(x-1)=x+3.解这个方程,得x=1.∴x=1是原方程的根.正解去分母,得     

分式方程的增根的利用

解分式方程的基本思想是 :把分式方程“转化”为整式方程 ,然后解整式方程 ,再进行验根 .如果求得的整式方程的根使分式方程的分母或最简公分母为 0 ,这些根叫增根 .分式方程的增根实质上是由分式方程化成的整式方程的根 ,使整式方程成立 ,却使分式方程无意义或不成立 .近年来课外书籍中出现了一些利用分式方程的增根解决问题的题型 ,由于一些学生认为分式方程的增根没有用处 ,是不要的 ,须舍去的 ,所以他们一旦遇上这样的问题就感到束手无策、无能为力 .这样的题型综合起来可以分为以下三类 :一、已知分式方程有增根x =a ,求该方程另一字母…     

分式方程的另类解法

例1(2011年辽宁·大连卷)解方程5x-2+1=x-12-x.一般解法方程两边同乘(x-2),得5+(x-2)=-(x-1).解得x=-1.检验x=-1时,x-2=-3≠0,x=-1是原分式方程的解.另类解法原方程可变为5x-2+1-x-12-x=0.即5x-2+x-2x-2+x-1x-2=0.即2x+2x-2=0.则有2x+2=0,且x-2≠0,故x=-1.点评第一种办法在去分母后变成整式方程,而整式方程与原分式方程可能不"同解"(即"整式方程的根"对于原分式方程可能是"增根(此时的根会让分母为0)"),因此必须"验根";     

基于问题驱动下的课堂教学设计与思考——以“分式方程”教学设计为例

<正>问题是思维的起点,是数学教学的核心.在“分式方程”教学中,教师紧贴学生实际设计问题,让学生在问题的引领下理解并掌握分式方程的相关概念,归纳总结解分式方程的一般步骤,让学生的思维能力和探究能力在问题的引领下螺旋上升.1 教学分析1.1 教材分析分式方程是整式方程的延伸和发展,其解法比整式方程更加复杂.教学中,教师应重视引导学生观察分式方程的特点,并有意识地引导学生与一元一次方程相对比,探寻解分式方程的基本思路,     

用合分比來解分式方程

解分式方程时,一般的方法是用方程中各項分母的最低公倍式乘方程的各項,变换成一个整式方程,解此整式方程,再把解得的根进行驗算,但有时应用合分比来解比較簡便。例如:解     

解析初中数学中分式方程的解法及应用

分式方程的解法及应用是中考考查的重点内容,考查时大多以直接解分式方程和列分式方程解应用题的形式出现.因此,对本部分知识需要进行专项训练,熟练掌握解分式方程的方法,并通过应用题使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系,体会代数方法的优越性,进一步培养学生化实际     

分式方程的增根与无解

解分式方程时,方程的变形可能产生不适合原方程的根．这种根叫原方程的增根．增根产生的原因是去分母时,方程两边同乘的最简公分母为零,对于整式方程来说求出的根成立,对于原分式方程来说,分式无意义．     

解分式方程的方法和技巧

解分式方程的基本思想是通过去分母 ,把分式方程化成整式方程 .但盲目、笼统地去分母有时会使项数增加 ,次数升高 .即使是合并同类项 ,会由于“繁”而费时多、速度慢 .我们应设法化简 ,其解法的选择要视题目的具体情况而定 .现将其常用的解法归纳如下 :一、直接去分母法例 1　解方程 1x+2 +4xx2 -4+22 -x=1 .(初中《代数》第三册P45例 1 )解 :原方程可化为 :1x+2 +4x(x+2 ) (x-2 ) -2x-2 =1 .去分母得 :x -2 +4x -2 (x +2 ) =(x+2 ) (x-2 ) .整理得 :x2 -3x+2 =0 .解得 :x1=1 ,x2 =2 .经检验 ,x1=1是原方程的根 ,x2 =2是增根 .二、换元法 .…     

确定公因式和最简公分母

<正>初中数学中的因式分解是初中数学的重点和难点,是学生应该掌握的内容.因式分解中提公因式法是最基本的因式分解方法,分式的计算中也涉及到约分,而提公因式和约分前都要找公因式.分式计算和分式方程都要找到最简公分母.对于如何找公因式和最简分母,部分同学容易把二者混淆,结果张冠李戴.为     

利用规律巧解分式方程

解可化为一元一次方程的分式方程,除了依据课本中介绍的"在方程的两边同乘以各分式的最简公分母,约去分母,化成整式方程"外,还应因题制宜,灵活运用一些数学规律,使