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郭清波老师在《数学通报》199711《三角形比例线段和定理及其应用》一文中给出如下定理:定理1设P是△ABC内任一点,分别连结AP、BP、CP并延长,依次交BC、CA、AB于D、E、F,如图1,则AFFB+AEEC=APPD.图1图2笔者发现该定理很... 相似文献
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设△ABC的三条内角平分线为AD,BE,CF,内心点为I,点D关于BC边中点的对称点为D′,E关于CA边中点的对称点为E′,F关于AB边中点的对称点为F′,则我们有 引理 三条直线AD′、CF′、BE′共点. 证明 由于BD′=CD,CD′=BD,CE′=AE,AE′=CE,AF′=BF,AF=BF′,由Ceva定理及AD、EB、DF共点知 由Ceva逆定理得AD′、BE′、CF′共点.记此点为I′,我们称之为△ABC的伴内心. 性质 1 设厂为么ABC的伴内心,则 AI(b + c)BI(c+a) 77=… 相似文献
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文[1]中给出了一个定理:任意三角形至少存在一个内接正三角形.该定理及说明都具有一定的局限性,本文用构造性方法来证明一个更一般的定理. 定理 任意三角形都存在无数多个内接正三角形. 证法1 如图1,在△ABC中,不妨在AC上任取一点D,连结 BD;以 BD为一边在点A的异侧作正△DBE,连结AE交BC于 F点,过 F点作 BE的平行线交 AB于 M点,过F点作DE的平行线交AC于N点.连结 MN,由文[1]可知△FMN即为△ABC的一个内接正三角形.由于D点位置不同,那么其对应的正△FMN就不同,由此可知△… 相似文献
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有关三角形内心性质命题的评注 总被引:1,自引:1,他引:0
文[1]介绍了有关三角形内心性质的如下一个命题:设△ABC的内角平分线AD、BE、CF相交于I,求证: AIDI+BIEI+CIFI≥6.①无独有偶,文[2]用三角形的有关心距公式对第32届IMO的一道试题给出了解答.题目为:设I为△ABC的内心,AI、BI、CI分别交对边于A′、B′、C′,则 AIAA′·BIBB′·CICC′≤827.②图1实际上,这两个问题都可以用共边比例定理简捷地解决.先证明①式.证明 如图1,设△BIC面积为S1,△AIC面积为S2,△AIB面积为S3,△A… 相似文献
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对于一类形如的几何问题证明方法五花八门,本文利用一个常见的构图,给出这一类问题的一个统一证明.1 基本构图及其结论 命题 如图1,AB//EF//CD,则 略证2 一组常见问题的统一解决及启示 问题 1 如图 2,△ABC中,BE平分ABC,EF//BC,则. 略证 过A作AD//BC与BE的延长线交于D,则 AD=AB,结论显然成立. 问题2 如图 3,ABC=120°,BD平分ABC,点A、D、C在一直线上,则 证明 过A、C作BD的平行线与CB、AB 的延长线交于E、F,由AE=AB,CF=CB,结论成立. 一般的文… 相似文献
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三角形内的一个不等式及其推广洪凰翔,何琴(湖北武穴师范436400)在三角形内,发现下述一个新不等式:命题1P在△ABC的边AC上(图l)D和E在边BC上,且BD=DE=EC;BAD与AE分别与BP交于F、G,则证明整理得S2△ABP≥9S2△AFG... 相似文献
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116 设任意△HBC中,D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的内点,△DEF、△AEF、△BDF、△CED 的周长分别记为m0、m1、m2。m3, =min{A、B、C},则 上述命题可向平面n边形推广,另猜测,在任意△ABC中,有 (吴善和.1999,4) 117 如果△ABC内的三个圆都与三角形的内切圆相切,并且每个圆与△ABC的两边相切,设r、ra.rb、rc分别为内切圆及其余三个圆的半径,则 (赵长健.1999,4) 118 在交叉四边形 ABCD中,a、b、c/及S分别表示其边长和面… 相似文献
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三角形某些“伴心“的性质 总被引:2,自引:2,他引:0
引理 设P为△ABC所在平面上一点,且直线AP、BP、CP分别交直线BC、CA、AB于点D、E、F,D′、E′、F′分别为D、E、F关于各自所在边的中点的对称点,则 AD′、BE′、CF′必交于一点Q. 由于BD′=CD,CE′=AE,AF′=BF,应用Ceva定理及其逆定理,即可证明. 这样,P和Q就成为△ABC的一对“伴心”.比如,若P为内心I,则Q就是伴内心I′;若P是△ABC的垂心H,则Q就是伴垂心H′等等.若将P叫做“本心”,Q就叫做伴心,相应的△DEF叫本心三角形,△D′E′F′则叫做伴… 相似文献
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1 换一个视角,提出了猜想T:由我们学过的平行线等分线段定理知,如图1,直线l1∥l2∥l3,直线l4、l5分别被l1、l2、l3所截,如果AB=BC,那么DE=EF.换一个视角,对于图1,如果ABBC=1,那么DEEF=1;还有如果ACBC=2,那么DEEF=2;如果ABAC=12,那么DEDF=12.由此可以引出什么样的猜想呢?图1 图2如图2,直线l1∥l2∥l3,直线l4、l5分别被l1、l2、l3所截,那么有ABBC=DEEF,ABAC=DEDF.2 通过一个个图式、比… 相似文献
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三角形外心的一个性质 总被引:1,自引:1,他引:0
定理 若点 D在△ABC的边 AB上,且∠CDB=α,M1、M2、M 分别 为 △ADC、△DBC、△ABC的外心则 证明(1)建如图1所示的平面直角坐标系.设A(α,0),D(d,0),B(b,0),C(0,c),则线段AD、DBJB的垂直平分线方程分别 易得线段AC书C的垂直平分线方程分 0MI和OM;的连心线MIMZ垂直平分其公共弦CD.三角形外心的一个性质@胡斌$山东省惠民师范学校!251700 相似文献
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文[1]给出了关于椭圆的直径三角形的如下性质:命题设△ABC内接于椭圆Γ,且AB为Γ的直径,l为AB的共轭直径所在的直线,l分别交直线AC、BC于E和F,又D为l上一点,则CD与Γ相切的充要条件是D为EF的中点.本文进而给出关于双曲线的直径三角形的类... 相似文献
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在平面几何中,合理添加辅助线,构造恰当模型,往往成为顺利解题的关键,而在证明有关线段成比例的定理中,常用的有两个,下面用模型表示:图11° 若DE∥BC,则DAAC=EAAB,△DAE∽△CAB.2° 若DE∥BC,则ADAB=AEAC,ADDB=AEEC,△ADE∽△ABC.我们不妨把1°的模型叫X型,2°的模型叫A型,这两种模型在证明有关线段成比例的问题上,能帮助我们快速、有效地作出辅助线.下面结合一道命题对此作出阐述.命题 过△ABC的顶点C任意作一条直线,与边AB及中线AD分别交于F、E… 相似文献
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一个新发现的三角形特殊点 总被引:3,自引:0,他引:3
一个新发现的三角形特殊点方廷刚(四川攀枝花十九冶二中617062)设△ABC的三高为AD,BE,CF,垂心为H,点D关于BC边中点的对称点为D’,E关于CA边中点的对称点为E',F关于AB边中点的对称点为F',有引理三直线AD’,BE’,CF’共点.... 相似文献
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引例如图1,过△ABC内一点O作各边的平行线HF、DE、GK.求证:DHAB+GEBC+KFCA=1.因为题设中平行线较多,图中出现的相似形很多,如果证题目标不明确,极易走弯路,甚至难于走出“迷宫”.注意待证式左边为线段比的和,右边为常数图11,因此... 相似文献