圆锥曲线弦的中点与斜率的关系及其应用

关于圆锥曲线弦的中点问题,许多文章已有论述,本文综其为一体,给出圆锥曲线弦的一个重要性质．定理　圆锥曲线Ａｘ２＋Ｃｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０的弦的斜率为ｋ,弦的中点为（ｘ０,ｙ０）,同有Ａｘ０＋Ｃｋｙ０＋１２Ｄ＋１２ｋＥ＝０．证　设弦的两端点为（ｘ１,ｙ１）,（ｘ２,ｙ２）斜率为ｋ,则有Ａｘ２１＋Ｃｙ２１＋Ｄｘ１＋Ｅｙ１＋Ｆ＝０,Ａｘ２２＋Ｃｙ２２＋Ｄｘ２＋Ｅｙ２＋Ｆ＝０．两式相减,得Ａ（ｘ２１－ｘ２２）＋Ｃ（ｙ２１－ｙ２２）＋Ｄ（ｘ１－ｘ２）　＋Ｅ（ｙ１－ｙ２）＝０．两边同除以ｘ１－ｘ２,注意到…     

空间曲线在奇异点处的性态

本文讨论了空间曲线ｘ＝ｘ（ｔ），ｙ＝ｙ（ｔ），ｚ＝ｚ（ｔ）上奇异点的性态，结果表明：若［ｘ（ｋ）（ｔ０）］２＋［ｙ（ｋ）（ｔ０）］２＋［ｚ（ｋ）（ｔ０）］２＝０，ｋ＝１，２，…，ｎ－１，而［ｘ（ｎ）（ｔ０）］２＋［ｙ（ｎ）（ｔ０）］２＋［ｚ（ｎ）（ｔ０）］２≠０，则当ｎ为奇数时，曲线在点Ｍ０（ｘ０，ｙ０，ｚ０）是光滑的；当ｎ为偶数时，曲线在点Ｍ０（ｘ０，ｙ０，ｚ０）是不光滑的     

一个不等式的图证及推广

题目：若ｘ,ｙ,ｚ为正实数,则ｘ２＋ｘｙ＋ｙ２＋ｙ２＋ｙｚ＋ｚ２＋ｚ２＋ｚｘ＋ｘ２≥３（ｘ＋ｙ＋ｚ）;（当ｘ＝ｙ＝ｚ时取等号）;文［１］中,对上述不等式提出一个简洁图证;本文再对该不等式给出一个更具一般意义的有效图证,并进而给出其推广及证明;证明：原不等式左边等于ｘ＋ｙ２２＋３２ｙ２＋ｙ＋ｚ２２＋３２ｚ２＋ｚ＋ｘ２２＋３２ｘ２;构造图（１）,设ＡＦ＝ｘ＋ｙ２,ＤＧ＝ｙ＋ｚ２,ＥＨ＝ｚ＋ｘ２,ＤＦ＝３２ｙ,ＥＧ＝３２ｚ,ＢＨ＝３２ｘ;由勾股定理得：ＡＢ＝ＡＣ２＋ＢＣ２＝ｘ＋ｙ２＋ｙ＋ｚ２＋ｚ＋ｘ２…     

两个不等式的简捷证法

下面给出的两类不等式问题,一般是通过代换的方法证明．本文给出直接简捷的证明．命题１　设ｘｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１,２,…,ｎ）且ｘ２１１＋ｘ２１＋ｘ２２１＋ｘ２２＋…＋ｘ２ｎ１＋ｘ２ｎ＝ａ（０＜ａ＜ｎ）,求证：ｘ１１＋ｘ２＋ｘ２２１＋ｘ２２＋…＋ｘ２ｎ１＋ｘ２ｎ≤ａ（ｎ－ａ）①证　由题设易知：１１＋ｘ２１＋１１＋ｘ２２＋…＋１１＋ｘ２ｎ＝ｎ－ａ．由于　１１＋ｘ２ｋ＋ｎ－ａａ·ｘ２ｋ１＋ｘ２ｋ　　≥２１１＋ｘ２ｋ·ｎ－ａａ·ｘ２ｋ１＋ｋ２ｋ　　＝２ｎ－ａａ·ｘｋ１＋ｘ２ｋ）（ｋ＝１,２,…,ｎ）,此ｎ式相…     

积分型Hilbert定理的改进与应用

本文建立如下权函数的不等式ｗ （ｘ） ＝ ∫∞０１ｘ ＋ ｙ ＋ １（ｘ ＋ １ｙ ＋ １）１／２ｄｙ ≤π［１ － １ － ２／π（ｘ ＋ １）１／２］　（ｘ ∈［０,∞））,这里,常数１－ ２／π是最佳值,从而改进了积分型Ｈｉｌｂｅｒｔ定理,作为应用,建立一个Ｈｉｌｂｅｒｔ类积分不等式及其加强式;并改进推广了Ｈａｒｄｙ－Ｌｉｔｔｅｗ ｏｏｄ 积分不等式．     

对一个不等式推广的错误辨析及另推广

对一个不等式推广的错误辨析及另推广安振平（陕西永寿县中学７１３４００）文［１］给出了如下不等式：设。ｘ１，ｘ２，…ｘｎ和ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ是两列正数，则文［２］将这个不等式推广为：原文［２］的证明增设了排序条件，没有一般的任意性，因而证法有误，我们...     

数学问题解答

１９９９年４月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１８６设ｎ∈Ｎ,ｎ≥２,ｋ∈Ｒ＋,求函数ｙ＝ｘｎｘ－ｋ（ｘ∈（ｋ,＋∞））的最小值．解由均值不等式ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ≥ｎｘ１ｘ２…ｘｎ得ｘ１ｘ２…ｘｎ≤（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ）ｎ∵ｙ＝ｘｎｘ－ｋ...     

Riccati微分方程的可积条件

Ｉｎ１９９８,ＺｈａｏＬｉｎｌｏｎｇ［１］ｏｂｔａｉｎｅｄｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎ：Ｒ＝１αγＰｅ２∫（Ｑ－βＤ）ｄｘ　　　（α,β,γｉｓｃｏｎｓｔ）．（１）ＦｏｒＲｉｃｃａｔｉｅｑｕａｔｉｏｎ：ｙ′＝ｐ（ｘ）ｙ２＋Ｑ（ｘ）ｙ＋Ｒ（ｘ）　　（ＰＲ≠０）．（２）　　Ｈｅｒｅｔｈｅｎｅｗｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｉｓｇｉｖｅｎ：Ｌ［ｙ０］＝１αγＰｅ２∫（Ｑ＋２ｙ０ｐ－βＤ）ｄｘ．（３）Ｌ［ＡＢ＋ｙ０］＝１αγ（ＡＢ）２Ｌ［ｙ０］ｅ２∫（２ＢＡＬ［ｙ０］＋Ｑ＋２ｙ…     

一个不等式的应用

一个不等式的应用王太武（山东省沂源县第二中学２５６１００）在《数学通报》１９９６年第７期７月号数学问题１０２３题中，曾映铁老师给出了下面一个不等式：设ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ为实数，ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ为正数，则有ｘ２１ｙ１＋ｘ２２ｙ２＋…＋ｘｎ２ｙｎ?..     

求一类多元函数最值的公式

１　问题的提出例１　设ｘ、ｙ、ｚ是三个不全为零的实数,求函数ｕ（ｘ,ｙ,ｚ）＝ｘｙ＋２ｙｚｘ２＋ｙ２＋ｚ２的最大值．例２　设ｘ、ｙ、ｚ是三个不全为零的实数,求函数ｕ（ｘ,ｙ,ｚ）＝ｘｙ＋２ｙｚ＋２ｘｚｘ２＋ｙ２＋ｚ２的最大值．文［１］利用带参数的均值不等式较为巧妙的求出了函数的最大值;文［２］利用双判别式法给出了这类问题的一种初等解法,拜读后获益匪浅．这类三元二次分式函数的最值问题在一些竞赛中曾以填空题的形式出现;倘若按部就班的以文［１］、［２］中的方法去求解,就显得“小题大作”．对求这类问题是…     

椭圆一个定理的又一初等证明

定理　椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）有且仅有两条对称轴：直线ｘ＝０和ｙ＝０．文［１］指出,这个定理的证明一般要用到仿射几何知识,同时文［１］给出了一个初等证明．笔者再给出这个定理的又一种初等证明如下．定理的证明　易验证直线ｘ＝０和ｙ＝０均是椭圆Ｃ的对称轴．因点Ｂ（０,ｂ）关于直线ｘ＝ｋ（ｋ≠０）的对称点Ｂ′（２ｋ,ｂ）不在椭圆Ｃ图１上,故直线ｘ＝ｋ（ｋ≠０）不是椭圆Ｃ的对称轴．设Ｆ１,Ｆ２是椭圆Ｃ的两个焦点,椭圆Ｃ的长轴Ａ１Ａ２关于直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｎ（ｋ,ｎ至少有一个不等于零）的…     

1999年全国高中联赛第三题的简解

题目　已知当ｘ∈［０,１］时,不等式ｘ２ｃｏｓθ－ｘ（１－ｘ）＋（１－ｘ）２ｓｉｎθ＞０恒成立,试求θ的取值范围．这是１９９９年全国高中数学联合竞赛试题第三题,下面给出一种有别于“标准答案”的简单解法．解　若对一切ｘ∈［０,１］,恒有ｆ（ｘ）＝ｘ２ｃｏｓθ－ｘ（１－ｘ）＋（１－ｘ）２ｓｉｎθ＞０,则　ｓｉｎθ＝ｆ（０）＞０,ｃｏｓθ＝ｆ（１）＞０,∴　２ｋπ＜θ＜２ｋπ＋π２,ｋ∈Ｚ．（１）又　ｆ（ｘ）＝（１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）ｘ２－（１＋２ｓｉｎθ）ｘ＋ｓｉｎθ＝（１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）［…     

不等式“有解”与“恒成立”

不等式历来是高考和竞赛命题的热点．不等式“有解”与“恒成立”是容易混淆的问题．下面给出一组命题,说明两者之间的区别．Ⅰ　ａ＞ｆ（ｘ）恒成立　　ａ＞ｆｍａｘ（ｘ）;Ⅱ　ａ＜ｆ（ｘ）恒成立　　ａ＜ｆｍｉｎ（ｘ）;Ⅲ　ａ＞ｆ（ｘ）有解　　ａ＞ｆｍｉｎ（ｘ）;Ⅳ　ａ＜ｆ（ｘ）有解　　ａ＜ｆｍａｘ（ｘ）．例１　不等式ｋｘ２＋ｋ－２＜０有解,求ｋ的范围．解　ｋｘ２＋ｋ－２＜０有解　ｋ（ｘ２＋１）＜２有解ｋ＜２ｘ２＋１有解　ｋ＜［２ｘ２＋１］ｍａｘ＝２　（应用命题Ⅳ）∴　　　　ｋ∈（－∞,２）．…     

一个不等式的修正

一个不等式的修正３０００７３天津师范大学王光明文［１］以反例否定了不等式，通过增加必要的限制条件，本文对此“不等式”予以修正．（这是因为ｘ≥［ｘ］，所以ｎ·（ｘ－［ｘ］）不可能为负值）．此时若令ｎ（ｘ－［ｘ］）＝ｋ＋ｂ，ｋ为整数，ｂ∈［０，１］，此时...     

ANALYSIS OF THE PERIODIC VOLTERRA PREDATOR-PREY MODEL WITH UNDERCROWDING EFFECT

１ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＴｈｅｓｏｃａｌｅｄＶｏｌｔｅｒａｐｒａｄａｔｏｒ－ｐｒｅｙｍｏｄｅｌｗｉｔｈｕｎｄｅｒｃｒｏｗｄｉｎｇｅｆｅｃｔ［１］ｉｓａｓｙｓｔｅｍｉｎｔｈｅｆｏｒｍｏｆｘ＝ａｘ（ｘ－Ｌ）（ｋ－ｘ）－ｂｘｙ，ｙ＝－ｃｙ＋ｄｘｙ－αｙ２...     

利用柯西不等式证点到直线的距离公式

利用柯西不等式证点到直线的距离公式姚义民（陕西富平立诚中学７１１７１１）笔者遇到过这样一道题：已知２ｘ＋４ｙ＝１，求ｘ２＋ｙ２的最小值．利用柯西不等式２ｉ＝１ａ２ｉ２ｉ＝１ｂ２ｉ≥（２ｉ＝１ａｉｂｉ）２得１＝（２ｘ＋４ｙ）２≤（２２＋４２）（ｘ...     

一道《数学通报》问题的应用

一道《数学通报》问题的应用毛晓峰（兰州铁路一中７３００００）杨晋（安徽芜湖市第十三中学２４１００２）问题１０２３设ｘ１，ｘ２，ｘ３，…，ｘｎ为实数，ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ为正数，则有ｘ２１ｙ１＋ｘ２２ｙ２＋…＋ｘ２ｎｙｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）２ｙ１...     

一个代数不等式的初等证法

一个代数不等式的初等证法江海涛袁昌斌（安徽马鞍山高级职业学校２４３０１１）福建杨学枝老师１９９４年提出了如下猜想：设ｘ，ｙ，ｚ∈Ｒ，且ｘ＋ｙ＋ｚ＝０，ｎ∈Ｎ，则２ｎ１（ｘ２ｎ＋ｙ２ｎ＋ｚ２ｎ）（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２）ｎ（１）１９９６年，湖南农业大学陈...     

对1994年高考22题一种证法的推敲

对１９９４年高考２２题一种证法的推敲汤先键（兰州市万里中学７３００７０）题目已知函数ｆ（ｘ）＝ｔｇｘ，若ｘ１，且ｘ１≠ｘ２，证明［１］、［２］、［３］等文给出了“凸函数”证法：证明如图，ｆ（ｘ）＝ｔｇｘ，是下凸函数，在正切曲线上任取两点Ｐ１（ｘ１，ｔ...     

四面体中几个不等式的加强

四面体中几个不等式的加强２５７３００山东广饶第一中学侯良田本文对文以［１］中定理１、２的不等式进行加强．为此先证明如下两个引理．引理１ｘ，ｙ，ｚ，ｗ均为正数，且．则证明（ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ）＝ｘ３＋ｙ３＋ｚ３＋ｗ３＋６（ｘｙｚ＋ｙｚｗ＋ｚｗｘ＋ｗｘｙ）＋...