2004年第二期初中数学问题解答

一、如果x+1x =3 ,求 x2x4+x2 +1 的值 .解 :x2x4+x2 +1 =x2(x2 +1 ) 2 -x2 =1(x+1x) 2 -1=13 2 -1 =18.答 :略 .二、设y=|x -1 |+|x -3 |+4x2 +4x +1 ,试求使y值恒等于常数时 ,x的取值范围 .解 :∵y =|x-1 |+|x-3 |+4x2 +4x +1=|x-1 |+|x-3 |+|2x+1 |.要使y的值恒等于常数 ,必需在去绝对值后式中不含x的项 ,所以得①x-1≤ 0 ,x-3≤ 0 ,2x+1≥ 0 ;　或　②x-1≥ 0 ,x-3≥ 0 ,2x+1≤ 0 .①解得 -12 ≤x≤ 1 ;②无解 .因此 ,当 -12 ≤x≤ 1时 ,y的值恒等于常数 :y=-(x -1 ) -(x -3 ) +( 2x +1 ) =5 .答 :略 .三、△ABC中 ,∠A是最小角 ,∠B…     

让学生走上讲台

问题在平面直角坐标系中,已知A(1,1),B(3,3),试在x轴的正半轴上找一点P使∠APB最大.解设P(x,0)(x>0),∠APB表示直线PB到直线PA的角,大小为θ,如图1.当x≠1,x≠3时,而kPA=1-1x,kPB=3-3x,tanθ=1k PAk-PAkkPPBB=x2-24xx 6=2x 6x-4≤262-4=62 2,当且仅当x=6时,∠APB最大值为arctan     

问题与解答

一本期问题 1 △ABC的AB、AC皆为定长,其中AB>AC,∠BAC为一变量,作其内切圆与BC相切于D,设DF为该圆直径,射线AF交BC于G,试证不论∠BAC的大小如何,CD恒为定长。 2 设△ABC的BC边的中垂线与∠BAC及其外角的平分线分别相交于M、N,试证明线段MN是△ABC外接圆的一条直径。安徽怀宁江镇中学黄全福提供 3 已知D、E、F分别在△ABC的边EC、CA、AB上且AE=AF=x,BF=BD=y,CD=CE=z,求证△DEF的外心是△ABC的内心。湖南教育学院张运筹提供 4 已知a~3+b~3=2(a、b∈R),求证a+b≤2。 5 求函数y=-2x~(1/2)-4x~2+2x+1~(1/2)的最大值。     

一个数学问题的探究

《数学通报》问题1662：求函数y=sinx＋cosx＋tanx＋cotx＋secx＋cscx的值域．其解答采用切割化弦和换元法求得值域为（-∞，1-2√2]∪[2＋3√2，＋∞）．笔者通过探究发现，在该函数取正值时，最小值2＋3√2在特殊角x=2kn＋π/4（k∈Z）时取得，本文进一步探求该函数在限制条件下的一些推广形式的最小值．     

一道四边形内切圆问题演变探究

<正>学习完切线长定理后,我遇到一个问题,问题如下:问题1四边形ABCD的内切圆为☉O,如图1所示,切点分别为E,F,G,H,求证:AB+CD=BC+AD.如何证明AB+CD=BC+AD呢?观察图形,我发现四边形ABCD的四条边被四个切点分成八条线段,由切线长基本图,它们恰好变成四对相等线段,即AH=AG,BH=BE,DF=DG,CF=CE,将上面四个式子相加可得AH+BH+DF+CF=AG+BE+DG+CE,即为AB+CD=BC+AD.     

小题趣味多

问题如图1,在△ABC 中,∠BAC= 45°,AD⊥BC于 D,BD=3,DC=2,求AD. 本题虽小,但题目条件简洁明了,且问题内涵丰富,因此细细咀嚼,思路广,趣味浓,值得探究.下面从五个方面予以说明. 一、巧用面积关系求解 解令AD=x,则由勾股定理得 AB=(x2-9)～(1/(x2-9)),AC=(x2 4)～(1/(x2 4)).作 CE⊥AB于E,则CE=AC·sin45°, 由 S△ABC=1/2BC·AD     

判别式法解题举例

<正>在解数学题时,常常先构建一元二次方程,用判别式的性质讨论一元二次方程根的情况来解题的方法叫判别式法,它应用十分广泛,现举例说明.一、求分式函数的值域例1求函数y=(x2+1)/(x2-x+1)的值域.解∵x2-x+1=(x-1/2)2+3/4>0恒成立,∴x∈R,原函数变形为(y-1)x2-yx+(y-1)=0.当y≠1时,方程为x的一元二次方程,∵x∈R,∴Δ≥0,即Δ=y2-4(y-1)2≥0,解得2/3≤y≤2.注意到y=1∈[2/3,2],故函数的值域为[2/3,2].     

三角代换在解题中的应用

三角代换是数学中的一种重要代换,下面就几个典型例题说一下三角代换在解题中的应用.一、利用三角代换求函数值域或最值例1求函数的y=x+1-x2的值域分析:此题首先观察到函数定义域[-1,1]与正弦函数值域一致,因此可考虑用三角代换.解:令x=sinθθ∈-2π,2π则y=sinθ+1-sin2θ=sinθ+cosθ=2sinθ+4π由-2π≤θ≤2π有-4π≤θ+4π≤34π所以-22≤sinθ+4π≤2函数值域:[-1,2]例2求函数y=1+2cos2x-1+2sin2x的最值分析:不难发现(1+2cos2x)2+(1+2sin2x)2=4因此可联想是否可用平方三角代换呢?解:由(1+2cos2x)2+(1+2sin2x)2=4可设1+2cos2x=2sinθ…     

美国数学月刊问题征解11057的简解及类比

美国数学月刊 2 0 0 4年 1月问题征解 110 5 7翻译为 :x ,y ,z为正数 ,矩形ABCD内部有一点P ,满足PA =x ,PB =y ,PC =z ,求矩形面积的最大值 .今探讨发现 ,原题有误 ,应修正为 :x ,y ,z为正常数 ,P是矩形ABCD的边上或内部的一点 ,PA =x ,PB =y ,PC =z ,求矩形ABCD面积的最大值 .此题笔者已采用三角法给出了一种巧妙的解法 ,今采用代数法给出一种巧妙的简解 .解　过P作PE⊥AB交AB于E ,PF⊥BC交BC于F ,设PE =u ,PF =v ,则由勾股定理知 ,u2 +v2 =y2 ,因此 0≤u≤y .AE =x2 -u2 ,EB =y2 -u2 ,BF =y2 -v2 ,FC =z2 -v2 ,AB …     

应该怎样做?

一次测验,我们出了这样一道试题:已知方程cos2x+sinx=q有实数解,求实数q的范围。归纳起来,学生大致有这么三种做法: 第一种:∵方程cos2x+sinx=q有实数解,∴q必在函数cos2x+sinx的值域内。而函数cos2x+sinx=1-2sin~2x+sinx=9/8-2(sinx-1/4)~2,当sinx=1/4时,有最大值9/8当sinx=-1时,有最小值-2,故值域为〔-2,9/8〕,∴-2≤q≤9/8 第二种:把已知方程化为关于sinx的二次方程:2sin~2x-sinx+q-1=0 (1)     

会错意、换错义、解错题

在解数学题时 ,常常会出现意想不到的错误 .本文拟通过几个例题来探讨犯错的原因 ,并就怎样避免错解提出建议 .例 1　求函数y =lg(8sin x + 14x - 1π - 6cos x + 14x - 1π)的值域 .错解 :令 x + 14x - 1π =θ ,则y =lg(8sinθ - 6cosθ) =lg10sin(θ - φ)≤lg10 =1(其中 φ =arctan34) ,于是函数值域为 -∞ ,1.辨析 :上述解答没有考虑函数θ =x + 14x - 1π的反函数存在条件 ,故上述解答有误 .正解 :上述解法中 ,因为方程 π4 =x + 14x - 1π关于x无解 ,可知θ≠ π4 ,所以y≠ 12 lg2 .因此函数值域应为-∞ ,12 lg2∪ 12 lg2 ,1.评注 :…     

辨析一道似是而非的几何题

有一道题:“已知△ABC中,∠C=90°,AD、BE是中线,AD=210cm,BE=2cm,求AB的长”.两个同学用不同的运算方法,却得出了两个截然相反的结论.1　两种解法解法1　连结DE,设CD=xcm,CE=ycm,∵　AD、BE是中线,∴　BC=2xcm,AC=2ycm.而∠C=90°,根据勾股定理得(2x)2 y2=22,x2 (2y)2=(210)2,     

对《三角形内切圆的一个性质》证明的探讨

文[1]提出了三角形内切圆的一个性质:⊙O是△ABC的内切圆,与三边分别相切于E,F,D三点,则△ABC是直角三角形 S△ABC=AD·BD.图1经仔细研读,发现上述性质是正确的,但文[1]中存在两处错误.1、在证明性质之前,作者为了叙述方便,设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=CE=CF=r.事实上,只有在明确了△ABC是直角三角形时才有OE=OF=CE=CF=r.在由“S△ABC=AD·BD”证明“△ABC是直角三角形”时不能事先假设OE=OF=CE=CF=r.而应当设OE=OF=r,CE=CF=z.2、在由“S△ABC=AD.BD”证明“△ABC是直角三角形”时,作者由S△ABC=AD.BD得出12(x+r)(y+r)=xy图2再次事先假定了△ABC是直角三角形.事实上,只要设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=r,CE=CF=z.由S△ABC=AD.BD和海伦公式有(x+y+z)xyz=xy即(x+y+z)z=xy=S△ABC但S△ABC=21(a+b+c)r=(x+y+z)r,∴r=z.易...     

三角形等角共轭点的一个性质

本文将给出三角形等角共轭点的一个新性质.即 命题设P、Q是△ABC的等角共轭点(∠PAB=∠QAC,∠PBC=∠QBA,∠PCB=∠QCA),则在BC、CA、AB上分别存在点D、E、F,使得PD DQ=PE EQ=PF FQ,且AD、BE、CF三线共点.     

一道中考压轴题的求解途径及其拓展

题目 (2010年上海市中考数学第25题)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,半径为1的⊙A与边AB相交于点D,与边AC相交于点E,连接DE并延长,与线段BC的延长线交于点P.(1)当∠B=30°时,连接AP,若△AEP与△BDP相似,求CE的长;(2)若CE=2,BD=BC,求∠BPD的正切值;(3)若tan∠BPD=1/3,设CE=x,△ABC的周长为y,求y关于x的函数关系式.     

上期课外练习参考解答

1.令cosx=t,t∈[-1,1],则f(t)=t+3+1/(t+3)在[-1,1]内的值域为:f(-1)≤f(e)≤f(1),即5/2≤y≤17/4.2.把已知方程化为x2-4x+4=0(x>1),即x=2.由题意得B/A=2,sinC/sinA=2,于是有B=2A,sinC=2sinA,而A+B+C=π,∴C=π-3A,∴sinC=sin3A=2sinA,即3sinA-4sin3A=2sinA.     

勾股容圆问题

题:Rt△ABC中,斜边AB=10cm,内切圆半径r=2.5cm,求其周长。解法一:如图,设内切圆分别切三角形于D、E、F。∵AF=AD,BE=BD。∴AF+BE=AB=10,又CE=CF=2.5 ∴Rt△ABC的周长是25cm 解法二、如图,设AF=x,BE=y,则有 x+y=10 (x+2.5)~2+(y+2.5)~2=10~2 化简得,4x~2-40x÷125=0 由于△=(-40)~2-4.4.125<0 故本题无解。两种解法,其结果截然不同。问题在哪里?这是我国古代著名的勾股容圆问题。试看命题本身,如图,因AB=10,则BC=l0sinA,     

对一道竞赛试题解法的一点看法

20 0 2年全国高中数学联合竞赛有一道平面解析几何试题 ,试题及参考答案如下 :图 1题　如图 1 ,已知点A( 0 ,2 )和抛物线 y2 =x + 4上两点 B,C,使得 AB⊥ BC,求点 C的纵坐标的取值范围 .解　设 B点坐标为 ( y21- 4,y1) ,C点坐标为 ( y2 -4,y) ,　　显然 y21- 4≠ 0 ,故 k AB =y1- 2y21- 4=1y1+ 2 .由于 AB⊥ BC,所以 k BC =- ( y1+ 2 ) ,从而y - y1=- ( y1+ 2 ) [x - ( y21- 4) ],y2 =x + 4 .消去 x,注意到 y≠ y1得 :( 2 + y1) ( y + y1) + 1 =0 ,y21+ ( 2 + y) y1+ ( 2 y + 1 ) =0 .由Δ≥ 0解得　 y≤ 0或 y≥ 4 .当 y =0时 ,点 …     

一道预赛题的简解

<正>2013年湖北省高中数学联赛高一、高二预赛题中均有以下一道试题:求函数y=x2+x(x2-1)~(1/2)的值域.命题组提供的参考解法如下:易求得函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1}.(1)易知函数y=x2+x(x2-1)~(1/2)是[1,+∞)上的增函数,所以,当x≥1时,y≥1.(2)当x≤-1时,     

求解函数问题的首先考虑

定义域是函数的一个基本要素 ,研究函数的有关问题时 ,如果忽略定义域 ,往往会导致解题失误 .因此 ,必须优先考虑函数的定义域 .下面结合数例加以说明 .1　求函数的值域 (最值 )例 1　已知 3x2 +2 y2 =9x ,求u =x2 +y2 的最大值 .错解 :∵ 3x2 +2 y2 =9x ,∴ y2 =12 (9x - 3x2 ) ,∴u =x2 +y2 =x2 +12 (9x - 3x2 )=- 12 x - 922 +818,所以当x =92 时 ,u有最大值为818.剖析　由制约条件 3x2 +2 y2 =9x知y2 =12 (9x - 3x2 )≥ 0 ,解得 0≤x≤ 3,即u =- 12 x - 922 +818的定义域为 [0 ,3],而x =92 [0 ,3],所以u不可能取得818,故上述解法有误 …