图象视角下导数问题的解题思路与命题策略

函数的图象是函数的一种直观表达形式,很多试题的命题背景和解题思路都来源于函数的图象.本文以一道导数压轴题为“母题”,在函数的图象上进行变换,命制导数的常考题型,解释导数压轴题的命制以及解答方法,主要涉及到恒成立问题、端点效应、极值点偏题问题、数列不等式问题,并给出相应的解答与问题设计思路.     

例谈中考数学压轴题的命题趋势——函数图象上的动点构成特殊图形问题

从201 1年浙江省各地区的中考数学压轴题中不难发现压轴题都不约而同地趋向于对动态问题的研究,特别是以平面直角坐标系为背景的函数图象上的动点和其它定点构成特殊图形,求点的坐标或者是求某一变量的值(除了杭州市),更是备受命题者的青睐.函数图象上的动点和其它定点构成的特殊图形常见的有"等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、矩形、等腰梯形、直角梯形、相似三角形"等等.这类问题以平面坐标系为背景,以动点为载体,集几何、代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性.题目灵活、多变,动中有静,动静结合,其中包含着对不同阶段所学知识点的综合考查:如特殊三角形、特殊四边形以及全等、相似、方程、函数等知识.此类试题包含的数学思想和方法丰富,有数形结合思想,方程思想,函数思想,分类讨论思想,数学建模等思想方法.因此,此类问题已成为全国很多省、市在中考中考查学生的综合分析问题的能力,拉开学生考试成绩,成为中考压轴题命题的新趋势.     

重视几何直观 发展运算能力——对2021年合肥市中考模拟试题几何综合题的探究

<正>安徽省中考数学试题历来关注几何直观的考查,2021年合肥市中考模拟卷的几何压轴题涉及矩形、圆和三角形,以图形的翻折、全等、相似等知识为背景,考查几何计算能力.同学们在解答时要主动识别图中的基本图形,与学过做过的问题相联系,充分发挥几何直观能力.     

相似模型在平面直角坐标系中的应用

1问题提出 在学习三角形相似时,我们常常喜欢把一些类似的图形进行归类,形成相似三角形的一些“基本图形”,大家比较熟悉的有A型相似图形和X型相似图形．这些“基本图形”反应了一对相似三角形的基本“框架结构”,若能将这些“框架结构”牢记于心,当遇到较为复杂数学问题或图形时,就可以很快从中分离出某个“基本图形”,从而有效地解决问题．笔者在研究了近几年的中考试题时发现,很多试题都会用到形如图1的“基本图形”,部分中考压轴题也常常以函数图像为载体来设计问题,需要用到形如图1的“基本图形”来解决．     

在“折叠”中体会数学的奥妙

有关折叠问题在近几年各地中考中频频出现,有图形折叠后再剪裁并判断剪裁后图形形状的、有图形折叠后求折痕或其他线段长度的、有图形折叠后求边或角的大小关系的、有图形折叠若干次后寻找折叠前后变化规律的、还有坐标系下的图形折叠题等。由直接运用折叠相关性质的说理计算题,发展到基于折叠操作的综合题,甚至是压轴题。考查的着眼点日趋灵活,能力立意的意图日渐明显。     

线段长度“参数化”，方程函数助求值--2015年江苏连云港卷把关题的思路突破与解后反思

近年来,一类以“函数图像＋几何性质”为载体的中考压轴题较为流行,这类问题常常与动点问题、存在性问题、最值问题综合在一起,让不少学生感觉到困难,也成为中考二轮复习的重点。下面选取一道2015年中考题,帮助大家突破思路,并一起反思这类问题的解题关键：线段长度“参数化”,方程函数助求值。     

错,在哪里?

<正>在历年中考试题中,几何最值一直都是各省市的高频命题点,试题形式主要是结合动点考察相关线段和差、图形面积、点到线的距离等最值问题.这类试题的主要特点是几何关系复杂,计算难度大,而且基本上都放在选择填空题的压轴题或解答题的压轴题最后一小问,所以不少同学都选择了放弃.本文以一例几何最值为引,分析这类试题的易错点,以期与读者分享交流.     

借助“铅垂法”求面积最值问题

<正>纵观近年数学中考题,频繁出现结合函数求面积的综合题型.下面以一道中考题为例,与同学们探讨交流在二次函数压轴题中求图形面积最值的解题思路与方法,供同学们参考.1问题描述,探索方法函数背景下的图形面积问题,主要具备以下特点:(1)在直角坐标系中,量化了三角形顶点位置;(2)题目一般不会给出图形线段长度,     

分式求值问题

<正>分式求值问题综合性强,技巧性高,是中考和竞赛的常见题型.分式求值问题的本质是代入求解,一是依据条件求出字母的值,再代入计算;二是求出字母间的关系(无法求出字母的具体值),再代入约分计算.当然主要思想是方程思想,技巧见下提示.     

同一个问题不同的角度

越来越多的中考压轴题,在二次函数的图象抛物线上架构几何图形,学生感觉难度较大,主要原因是思维水平跟不上.本文就充分应用习题,最大限度发挥习题的效应,发展学生的思维作一抛砖引玉,以期待各位同仁的指导.     

如何求抛物线背景下的最短距离?

二次函数作为初中数学的重要内容,它始终是中考的一个重要考点,一直受到命题人的青睐,而且题型越来越新,综合性越来越强,还常常以压轴题的面貌出现.近几年的中考试题中出现了一类把动态的最短距离问题综合到抛物线图形中,综合性更强,难度就更大了.如     

从特殊情形入手 破解线段最值问题

图形运动问题是中考数学命题的热点和重点题型.对考生而言,由于这类题综合性强,类型多样,包含知识点多,考查学生计算、推理、猜想、探究归纳等诸方面的数学能力,是易失分的难点.其中,动点下线段长度最值问题作为压轴题,常出现在选择、填空、综合解答题中,是典型中考题.     

中考二次根式新题型

<正>近几年中考中,二次根式问题除了常见的确定字母的取值、计算和化简、比较大小、求值等问题外,还出现了一些值得大家注意的新题型.下面就此介绍,供参考.一、探索规律型     

插值细分曲线有理参数点的精确求值

本文提出了求值插值细分曲线上任意有理参数的算法.通过构造与细分格式相关的矩阵,m进制分解给定有理数以及特征分解循环节对应算子乘积,计算得到控制顶点权值,实现对称型静态均匀插值细分曲线的求值.本文给出了四点细分和四点Ternary细分曲线的求值实例.算法可以推广到求值其他非多项式细分格式中.     

一道初中几何压轴题的点评

几何问题是中考热点题型的重难点问题,涉及数学知识面宽,变量多,图形复杂.结合2021年孝感孝南区二模初中数学压轴题的点评,给出教学上的几点建议.     

让数与形最佳地结合

借助图形来处理数学问题是数形结合法解题的主要表现.借形解题时,由于图形的构作具有较大的选择性,所以同一问题可用不同的图形来处理.只有适当转化条件、选择最优图形(能使解最直观、最简捷的图形)才能最大限度地发挥数形结合法的解题功效.例1利用计算器,求方程x3-3x 1=0的近似解(精确到0.1).分析本题是二分法求方程的近似解的一个范例.二分法求方程的近似解,先要用函数图象判断根所在的区间,数与形结合的如何,直接影响到判断的繁简与成功与否.思路1:作出y=x3-3x 1的图象,考察它与x轴交点横坐标所在的区间.思路2:原方程化为x3=3x-1,作出y=x…     

数学软件在中学数学教育中的应用(2)

设计、制作科学教育动画，是数学软件最具魅力的功能之一．正如前文所述，数学软件具有非凡的精确计算和图形功能，引入帧变量不仅可使图形动起来，而且还可使图形的运动按照人们的意愿实现准确的适时控制，这样制作的动画特别适用于课堂教学．在科学教育动画中，通常一个动画文件表演一个有意义的片断，根据中学数学教材中所需表演的不同意义，扼要地将动画分以下几种情形：１　加深对函数的意义、性质的理解可用一个动画来表现函数图象制作中，描点、连线的具体过程．作一个动画，使点在给定函数的图象上运动，表现出函数ｙ依赖于自变量ｘ…     

三次函数图象对称性的探讨

1 .问题的提出一次函数 ｙ =ｋｘ +ｂ(ｋ≠ 0 )的有关性质早已被大家熟知 ,它的图象是一条直线 ,此图象既是中心对称图形又是轴对称图形 .图形上任意一点都是它的中心对称点 ,平面上与此直线垂直的任意一条直线都是它的对称轴 .而二次函数 ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )的图象是一条抛物线 ,图象关于直线ｘ =-ｂ2ａ对称 ,因此 ,二次函数图象是轴对称图形 ,但它不是中心对称图形 .这里 ,我们自然会想到三次函数 ｙ =ａｘ3+ｂｘ2 +ｃｘ +ｄ(ａ≠ 0 )的图形是否具有对称性 ,如果有的话 ,图形究竟是成中心对称还是成轴对称 ?2 .考察几个特殊情形…     

利用图象解题必须注意“四性”

在数学解题中,图象法以其直观、形象、简捷深受青睐,许多教师在教学中也十分重视培养学生的形象思维。的确,图象的直观为人们分析问题、简化解题开辟了一条重要的途径,但在具体问题的解决中图形的准确性、存在性、一般性、合理性,还有数学书写表达的规范与否,都给解题的正误产生巨大的影响。在教学中常发现学生在利用图象解题时,由于缺乏对图形     

“抛物线为背景的正方形”压轴题

用二次函数作压轴题长期受到中考命题者的青睐，只是抛物线背景中的对象时常改变．正方形是一种既简单又完美的几何图形，它有许多人们喜爱和广泛应用的性质，以抛物线为背景的正方形的中考压轴题应运而生，成为新课程实施后中考的一个新亮点．