欧拉是怎样解决七桥问题的

关于“七座桥的故事”现在差不多连小学生都已经知道,对于一个图能不能一笔画出, 更是几乎成为“常识”了.但你知道当初欧拉是如何解决七桥问题的吗? 普鲁士的哥尼斯堡镇有一个岛叫奈发夫, 普雷格尔河的两支绕流其旁(如图所示),七座桥横跨这两条支流,问能不能设计一条散步的路线,使得每座桥恰好走过一次.这就是著名的“哥尼斯堡七桥问题”.     

哥尼斯堡七桥问题的启示

<正>18世纪,在北欧的哥尼斯堡城(现俄罗斯的加里宁格勒),市区内有一条河,河中有两个小岛,河的两岸与两个小岛用七座桥连接起来(如图1),形成一座风景优美的公园.当时,市民们都喜欢到这个优美的公园游玩,而且还热衷于一个有趣的游戏:一个游人怎样才能一次走遍这七座桥,且每座桥只能过一次?这就是历史上有名的"七桥问题"."七桥问题"难倒了成千上万的人,其中包括很多数学爱好者与数学家.大数学家欧拉通过深入分析与思考,发现:问题与桥的长短无     

欧拉究竟是怎样解决"七桥问题"的

1 引言 所谓"七桥问题"指的是18世纪的哥尼斯堡城(Konigsberg)中出现的一个问题,那里有七座桥(图1),当时的居民热衷于一个难题:一个散步者怎样能够一次不重复地走遍七座桥?这里所说满足要求的走法必须具备两个条件,第一是"不重复",就是一座桥只能走一次:第二是"走遍",即每座桥都要走到.     

图论初步

先看一个著名的数学问题—哥尼斯堡七桥问的点和代表终点外,每点相连的线均应有偶数条.这是题. 例i如图l,帕瑞格尔河从哥尼斯堡城市穿过,河中有两个岛A与D,河上有七座桥架在河上连结两个岛及河的两岸B、C.问:一个旅行者能否经过每座桥恰好一次,既无重复也无遗漏?因为在旅行路线中有进入该点的一条线,必相应的有一条引出的线.现与点A、B、C、D相连的线都是奇数条.这一事实说明一个旅行者无重复无遗漏地走过七座桥是不可能的. 图论研究的对象是图.什图2图l 伟大的数学家欧拉采用了这样的解决方法:将两个岛和两岸用点表示,再在相应的两个点…     

五点共球问题的研究

我们知道在空间任何不共面的四点必存在唯一的外接球 .那么对于空间五点共球问题又如何判定呢 ?笔者通过研究得出如下具体结论 ,与各位同行商榷 .1　五点共球的充要条件先看如下引理 :引理　如图 1 :Ａ ,Ｂ ,Ｃ是空间不共线的三点 ,以 △ＡＢＣ的外接圆为大圆的球为球Ｏ ,点Ｄ为平面ＡＢＣ外任一点 ,设二面角Ｄ-ＡＢ-Ｃ的大小为θ ,则图 1( 1 )当ＡＢ为球的直径或θ =π2 时 ,点Ｄ在球Ｏ上的充要条件是 :∠ＡＤＢ=π2 ;( 2 )当ＡＢ不是球的直径且θ≠ π2 时 ,点Ｄ在球Ｏ上的充要条件是 :ｃｏｔ∠ＡＤＢ=ｃｏｔ∠ＡＣＤ·ｃｏｓθ图 2 - 1证…     

平面映射的周期解分支

本文运用一些技巧对Taylor映射在4相似文献   

尝试“构造”

几何题很有趣,是因为在研究和解决难题的过程中,我们能感受到创造的快乐.难题,难就难在如何从已知架起通向未知的“桥”,如何构造这座“桥”呢?我的初步经验是结合基本公理、定理和基本图形来“构造”.题目如图1,已知∠B=25°,∠BCD=45°,∠CDE=30°,∠E=10°.求证:AB∥EF.     

祖■原理辅助体新构

利用祖晅原理求球体积时,要设计辅助体。课本《立体几何》中,设计的是一个底面半径与高相等的圆柱,中间挖去一个倒置圆锥所得的几何体。除此辅助体外,还能不能设计出别的辅助体?关键是按祖晅定理的条件构成图形。下面我们来介绍两个新的比课本上更简单的辅助体。设计一:如图1,乙为一躺放着的四棱锥P-ABCD,底ABCD为矩形,BC=2π~(1/2)R,CD=R,PD底ABCD,PD=π~(1/2)R.     

桥梁里的"小心思"

你知道吗,在最新的"世界十大最高桥梁榜"中,中国的桥梁占了九座,几乎霸榜.我们的祖国越来越强大了! 但是这些上榜的桥大多为悬索桥、斜拉桥,那我们平时常见的拱桥都去哪儿了?而且老师教过我们,三角形是最稳定的结构,可是为什么没有三角形的桥呢?那样建出来的桥不是更稳固吗?别着急,今天就由我来带大家了解一下桥梁里的"小心思"吧...     

智慧窗

1大桥多长一列长250米的火车以30千米每小时的速度,4.5分钟通过了一座大桥,这桥有多长? 山东省滨州市第六中学(256651)李新民     

从06年高考试题谈数形结合能力的培养

2006年高考数学湖南文、理卷都特别注重考查学生的数形结合能力,本文通过分析这两套数学试题,浅谈平时教学中如何培养学生的数形结合能力.图11.培养学生作出简图的能力例1(文4)过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面,若OA与该截面所成的角是60°,则该截面的面积是A.πB.2πC.3πD.23π分析:要能作出如图1所示的简图,就能很快由已知条件求得截面圆半径为1,故选A.当然,也可不画图,直接在脑中想象出图形,那要很强的空间想象能力.图2例2(文13、理12)已知x≥1,x-y 1≤02x-y-2≤0,,则x2 y2的最小值是.分析:学生必须熟练作出可行域(如图2中的阴…     

由tanψ=b/a确定ψ行吗?

解题中我们常用到asinx +bcosx =a2 +b2 sin(x +ψ) ,但若只知其中tanψ =ba,就会出现问题 ,下面通过实例进行探讨 .例 1　已知x∈ [0 ,π2 ] ,求函数y =3sinx -cosx的值域 .分析　函数 y =3sinx -cosx可变为y =2sin(x +ψ) ,其中tanψ =-13 .若取 ψ =-π6,则 y =2sin(x -π6) ,x -π6∈ [-π6,π3 ] ,　∴　y∈ [-1,3 ] .若取 ψ =-5π6,则 y =2sin(x -5π6) ,x -5π6∈ [5π6,4π3 ] ,　∴　y∈ [-3 ,1] .得出了不同结果 ,哪一个对呢 ?难以确定 .这表明仅由tanψ =ba确定 ψ不行 !图 1那么如何确定 ψ呢 ?考虑asinx +bcosx =a2 +b2 sin(x…     

第五届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考解答

1.台子上放着一个奖杯 ,由北向南看如图 1,由西向东看如图 2 ,由上向下看如图 3.图中标出的长度单位是 cm ,求出这个奖杯的体积 (精确到 1.0 0 ,取π= 3.14 1) .图 1　　　　　　　　图 2解　这个奖杯是由四棱台、四棱柱和球各一个组成的 .设这三部分的体积分别为V棱台 、V棱柱 、V球 ,奖杯的体积为V,则V =V棱台 V棱柱 V球=316 6 .7 4 0 0 0 14 80 .5图 3=86 47(cm3 ) .2 .中国青年报 2 0 0 1年 3月 19日报道 :中国移动通信将于 3月 2 1日开始在所属 18个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”,这个“套餐”…     

证明球体积公式的又一参照体

众所周知 ,证明球的体积公式时 ,首先是构造一个可求体积的几何体 ,即从一个底面半径和高都等于Ｒ的圆柱中 ,挖去一个以圆柱的上底面为底面 ,下底面圆心为顶点的圆锥后剩下部分所形成的几何体 ,然后证明该几何体与半径为Ｒ的半球符合祖日桓原理的条件 .在证明过程中有个关键的式子 :πＲ2 -πｌ2 (ｌ为任一截面截两个几何体时 ,截面到底面的距离 ) ,若将其变形为 (πＲ2 ) - (πｌ) 2 ,就可以看成是以πＲπｌ为边长的两个正方形的面积差 ,这样我们就能构造出一个参照体———从底面是边长为πＲ的正方形、高为Ｒ的直四棱柱中挖去一个以直四…     

开曲面的凸性判别条件(三)

<正> 在本文的(一)、(二)两部份给出了开曲面成为凸曲面的两个判别方法,即定理1、2、它们给出的充分必要条件中除了要求曲面π在周界以外的点,即 intπ的点有对π的局部支持平面外,另一个要求的特点是在π的一部份点上存在着一个平面,这平面对π的另一部份点有某种关系.现在我们试把另一个要求的特点改为讨论一条直线和π有多少交点而来建立另一判别方法.     

多面体和旋转体单元测试题

一、选择题（１）若正方体边长为３,则它的外接球的体积为（）．（Ａ）２７３π（Ｂ）２７３２π（Ｃ）２７３４π（Ｄ）２７３８π（２）圆锥轴截面的顶角θ满足π３＜θ＜π２,则其侧面展开图扇形的圆心角的取值范围是（）．（Ａ）（π,２π）（Ｂ）（π６,π４）（...     

这道题真的很难吗?

题目设函数f(x),g(x)对任意实数x,均存在-π/2sin(sinx),cos(sinx)>sin(cosx). 这是我校高一期中考试的压轴题,全年级24个班只有不足10人做对,这道题真的有这么难吗?我们真的一点思路都没有吗?真的     

争鸣

问题问题109已知函数f(x)满足:f(x y) f(x-y)=2f(x)·f(y),且f(0)≠f(π2)=0,求f(π)及f(2π)的值.解法1令x=y=0,得f(0)=1.令x=y=π2,得f(π)=-1.令x=y=π,得f(2π)=1.解法2令x=y=0,得f(0)=1.令x=32π,y=π2,得f(2π)=-f(π).再令x=y=π,得f(2π) 1=2f2(π),∴2f2(π) f(π)-1=0.∴f(π)=12或f(π)=-1,从而f(2π)=-12或f(2π)=1.问题出在哪里?问题110人教版高一数学(上)P8,有下面一段话:容易知道,对于集体A,B,C,如果A B,B C,那么A C.事实上,设x是集合A的任意一个元素,因为A B,所以x∈B,又因为B C,所以x∈C,从而A C.这个证明严格吗?…     

2006年高考数学福建卷

一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.1.设a、b、c、d∈R,则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是A.ad-bc=0B.ac-bd=0C.ac+bd=0D.ad+bc=02.在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于A.40B.42C.43D.453.已知α∈(π2,π),sinα=53,则tan(α+4π)等于A.71B.7C.-71D.-74.已知全集U=R,且A={x||x-1︱>2},B={x︱x2-6x+8<0},则(UA)∩B等于A.[-1,4]B.(2,3)C.(2,3]D.(-1,4)5.已知正方体外接球的体积是332π,那么正方体的棱长等于A.22B.232C.432D.4336.在一个口袋中装有5个白球和3个黑球,这些球除颜色外完全相同,从中摸出3个球…     

Reinhardt域上和复Hilbert空间单位球上推广的Roper-Suffridge算子

本文分别讨论Cn中某一Reinhardt域上以及复Hilbert空间单位球上推广的Roper-Suffridge算子保持α(-π/2<α<π/2)型螺形性和保持α(0<α<1)次星形性.所得结果包含了已知对应的结论.