无须极限新微分法

本文摆脱传统的除法 ,以括代除 ,无须极限也能求出切线 ,作出定理 A.由此微积分完全改观 .这是依靠实数有序“无漏”,建立强无穷小ω(Δx) ,取代ε-δ,实质又相互等价 ,作出定理 B.由ω(Δx)定义无穷小与连续 ,由连续再作极限更为自然 .聚点是极限的初步 ,大可发挥 .     

基于微分中值定理证明微积分基本公式和积分中值定理

我们都知道证明微积分基本公式 (牛顿—莱布尼兹公式 )和证明积分中值定理的通常的方法 ,也就是先利用积分中值定理推出积分上限的函数的导数公式 ,然后由此再借助原函数的概念证明微积分基本公式 ,以及利用定积分的性质 (即估值定理 )和闭区间上连续函数的介值定理证明积分中值定理 ,其中积分中值定理的中间点 ξ的范围是 a≤ ξ≤ b[1] .本文将根据微分中值定理和定积分定义直接证明微积分基本公式 ,并直接揭示微分学和积分学的密切联系 ;进一步 ,根据微分中值定理和原函数存在定理简洁地证明积分中值定理 ,并阐明它的中间点 ξ的范围是 a…     

微积分教学:从冰冷的美丽到火热的思考(续)

三、微积分教育形态的表现形式在微积分教学中,人们面对的是教科书中书写的学术形态,比较形式化的表达.那么如何用各种手段使它呈现为人们易于接受的教育形态呢?以下是一些具体的建议.1·平易近人重视人的原始观念切线,瞬时速度,都是人们具有的原始观念.我们应该把它作为微积分的出发点,而不是导数的几何解释和力学解释.切线,人人都懂.于是,我们可以启发学生用切线的斜率变化来研究函数y=x的性质,这和中学里采用的方法完全不同,立即能使得学生关注微积分的奥妙.瞬时速度,其实也是人们的原始概念.当后面的快车赶上慢车的那一刹那,快车的速度…     

无须极限新微分法

本文摆脱传统的除法，以括代除．无须极限也能求出切线，作出定理Ａ。由此微积分完全改观。这是依靠实数有序”无漏”，建立强无穷小ω（△ｘ），取代ε－δ，实质又相互等价，作出定理Ｂ，由ω（△ｘ）定义无穷小与连续，由连续再作极限更为自然。聚点是极限的初步，大可发挥。     

无须极限新微分法

本文摆脱传统的除法，以括代除，无须极限也能求出切线，作出定理Ａ。由此微积分完全改观。这是依靠实数有序“无漏”，建立强无穷小ω（Δｘ），取代ε—δ，实质又相互等价，作出定理Ｂ。由ω（Δｘ）定义无穷小与连续，由连续再作极限更为自然。聚点是极限的初步，大可发挥。     

浅谈数学中的构造性证明

<正> 1 引言在微积分中,微分中值定理、多元函数泰勒公式、绝对收敛级数必收敛、线性微分方程的求解公式等的证明都是通过构造一个辅助函数来完成的,我们把这种证明方法称为构造性证明.实际上,数学中有不少命题的证明都属于构造性证明.无疑,构造性证明是初学者最难理解的问题之一.     

关于“ε-δ”定义的一道习题

数学分析是大学数学专业的一门重要基础课,几乎是所有后继课程的基石.探讨了关于"ε-δ"定义的一道习题的证明.     

合成展开法应用于球壳对称弯曲的边界层问题

本文推广钱伟长在[5]中提出的合成展开法分析双参数边界层问题. 对于受均布荷载作用的球壳对称变形问题,其非线性平衡方程可以写成(2.3a),(2.3b):式中ε与δ是待定参数.当δ=1,ε是小参数时,这是第一边界层问题:当δ与ε都县小参数时.这是第二边界层问题. 对于上述问题,我们假定ε,δ和p满足ε3pδ=1-ε在这个条件下,应用推广的合成展开法,求出上述问题具有固定边界条件情况的渐近解.     

基于Coq的第三代微积分机器证明系统

本文基于证明辅助工具Coq,完整实现林群院士和张景中院士等倡导的第三代微积分|没有极限的微积分|理论构架的形式化验证,包括对张景中等发表的题为\微积分基础的新视角"论文中全部定义和定理的Coq描述.进而,对定理无例外地给出Coq的机器证明代码,所有形式化过程已被Coq验证,并在计算机上运行通过,体现了基于Coq的数学定理机器证明具有可读性和交互性的特点,其证明过程规范、严谨、可靠.本文是实践研究人员利用计算机学习、理解、构建乃至教育现代数学理论的一个尝试.     

双重导子的连续性

双重导子是导子的一种推广形式.令δ和ε为复线性代数A到自身内的两个映射,称A到自身内的线性映射d是一个(δ,ε)-双重导子,如果对任意a,b∈A,有d(ab)=d(a)b+ad(b)+δ(a)ε(b)+ε(a)δ(b)成立.本文研究Banach代数上双重导子的自动连续性问题,证明如果δ和ε为含单位元C~*-代数上的两个在0点连续的映射,则该C~*-代数上的每个(δ,ε)-双重导子都是自动连续的.     

微积分在不等式中的应用

<正> 在高等数学中常常要证明一些不等式,而不等式的证明方法很多,在以往多采用代数或几何方法,现在可借助于微积分的知识,这是普遍应用的一种方法。本文着重介绍用微积分知识来证明不等式的几种常用方法。1 利用微分中值定理     

林群提出在微积分中普及0.9取代ε-δ

<正>微积分是无限的算术,比如8(1/3+1/5×7+1/9×11+…)=π但无限加下去得出有限的答案,有点模糊.如何澄清或定义,19世纪法国曾出现多种方案,最终才认可了柯西的ε-δ版本,经历了长期与漫长的过程.但     

向量丛动力系统研究注记(Ⅱ)──部份2

在这部份2中.我们先证明部份1中叙述的定理3.1[15].这证明是通过换变数的办法,把原方程组化成微分动力系统理论中.有关典范方程组的一种形式来完成的.然后用定理3.1[15]加上预备定理2.1来证明部份1中宣布的本文主要定理.有关可容许扰动的定义包含在这部份2的附录中.这主要定理的意义描述在部份1引言中.     

用定义证明极限对x限制时应注意的问题

按极限的“ε－δ”或“ε－M”定义来证明timf（x）=A或limf（x）=A，关键是要证明定义中的δ或M的存在。即对具体的f（X），就是要找出相应的δ或M来。而寻找δ或M最基本的方法就是求解不等式：|f（x）-A|＜ε。一般常采用“适当放大”的方法，将|f（X）-A|适当放大为（X），即有|f（X）-A|＜（X），由（X）＜ε。比较容易求解出|X—X0|或|x|，从而求出相应的δ或M。但是在将|f（X）-A|放大的过程中，为了得到适当（X），（适当体现在（X）＜ε。易求出），往往需要对自变量X做一些限制。要特别注意：这样的限制必须适当，有意…     

用定义验证多项式函数的极限

用ε-δ语言证明函数的极限,关键在于对任意给定的正数ε,如何找出相应的正数δ,多项式函数极限的证明也是如此。本文采用配方的方法找出了这样的δ,从而使多项式函数极限的证明问题得到规范化、公式化的解决。     

次线性数学期望的极小元及其相关性质

证明对于一个定义在L^2（Ω,F,P）上的次线性数学期望ε｜·｜,下列断言是等价的：（i）ε是定义在L^2（Ω,F,P）上由所有次线性数学期望构成的集合的一个极小元;（ii）ε是线性的;（iii）基于ε的二元Jensen不等式成立.并且还证明了一个关于次可加数学期望和超可加数学期望的Sandwich定理.     

关于向量优化问题的Δ函数标量化刻画的某些注记

近期,夏远梅等(重庆师范大学（自然科学版）,2015,32(1):12-15)利用Δ函数通过非线性标量化方法研究了向量优化问题的?-真有效解并举例说明了主要结果.笔者指出:其定理1是Gao等(Journal of Industrial and Management Optimization,2011,7（2）: 483-496)建立的定理4.6(i)的特例;其定理2的证明存在不足.通过研究一般的(C,ε)-真有效解的Δ函数非线性标量化,给出了定理2的严谨证明.最后,在?-真有效解存在的情况下举例说明了主要结果.     

n阶行列式—n维向量的n重反对称线性函数——高等数学教学内容与体系改革系列谈（之三）

这个专题谈谈为什么我们不把行列式安排为线性代数的第一章而要放在线性空间、线性变换和矩阵之后?为什么我们不采用递归法或表达式法定义行列式而采用公理化的定义?用公理化定义后如何简化行列的重要性质和定理的证明?     

数学的心脏

引论:数学究竟是由什么组成的?公理(如平行公理)吗?定理(如代数的基本定理)吗?证明(如Gdel的不可判定性的证明)吗?概念(如集与类)?定义(如Menger的维数定义)?理论(如范畴理论)?公式(如Canchy的积分公式)?方法(如逐次逼近法)? 诚然,没有这些组成部分,数学就不存在;这些都是数学的必要组成部分。但是,它们中的任何一个     

关于“拉特马吼级数表示的函数”一文中一个定理的简单证明和推广

王斯雷在[1]中建立了下述定理1。但是他的证明似乎太长,本文指出,这个定理只需用初等微积分的方法就可以很简单地证明出来。用新证明的类似方法我们还可以得到定理2及定理3。定理2将原定理中F(x)连续的条件减弱为近似连续,定理3又在定理2的基础上把定理1进一步推广。定理1.设F(x)是[0,1]上的连续函数,级数