几何学之父——欧几里得

说出来也许会使你感到惊奇:原来,今天你所读的几何课本中的大部分内容,来自 2300多年前的《几何原本》．这本书的作者,便是被誉为“几何学之父”的古希腊著名数学家欧几里得(公元前330-公元前275)．《几何原本》13卷,是世界上最早的公理化数学著作, 将公元前7世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理在严密的逻辑系统之中,使几何成为一门独立的、演绎的科学．《几何原本》是古希腊科学的骄傲,它的基本原理和定理直到现在仍是教科书的一部分．欧几里得是第一个     

数学历史的启示（续完）

人类在很早的时候,就有各种计算面积与体积的公式或经验公式,也得到了不少几何的定理,例如：著名的Pythagoras(毕达哥拉斯,约公元前580年一前500年)定理等．但在古代作为几何的代表作,则是Euclid(欧几里得)的《原本》(Elements)．Euclid生平不详,只知他在公元前300年左右活跃于亚历山大城,《原本》共13卷,包括5条公理,5条公设,119个定义和465条命题,构成了历史上第一个数学公理体系,可以说其影响一直延续至今．现在中学里学习的“平面几何”与“立体几何”的内容,在《原本》中都已有了．《原本》不但包含了“平面几何”与“立体几何”的内容,而且还涉及到其它一些数学内容,如数论的一些内容等．所以《原本》不完全是一部纯几何的著作,这是历史上印数最多的著作之一(仅次于圣经),一部历史上应用时间长达一、二千年的书,而且其影响极大,如数学公理化的思想,不仅影响几千年来数学的发展,还影响到许多其他学科．     

非欧几何的发现

欧氏几何包括我们高中生学过的平面几何和立体几何 ,但欧氏几何并不是唯一能正确反映物质空间的几何学 .为了开阔同学们的视野、了解几何空间的多样性 ,这里介绍另一种几何———非欧几何 .欧几里得的《几何原本》是欧氏几何的经典著作 .许多人认为《几何原本》中的第五公设 (它等价于过直线外一点 ,只能作一条直线与已知直线平行 )是可以用其它的公理、公设证明出来的一个定理 .从欧几里得时代起 ,直到十九世纪初 ,都没有找到正确的证明 .俄罗斯数学教授罗巴切夫斯基在青年时代也曾企图找到“第五公设”的证明 ,但很快地他就发现是不能证明…     

欧氏几何的公理体系和我国平面几何课本的历史演变

1 几何原本与几何基础 我们都知道，两千多年前，古希腊的数学家欧几里得写了一本著名的书——《原本》，在古往今来的浩瀚书海中，《原本》用各国文字出版的印数仅次于《圣经》而居世界第二位．我国最早的中译本是在明朝末年由外国传教士利玛窦与我国科学家徐光启翻译的，1607年出版，书名定为《几何原本》．此后，我国出版的各种译本都沿袭这一名称。     

运用数学史的三角形内角和教学

在沪教版初中数学教材中,“三角形内角和”是七年级第二学期“三角形”一章第二节的内容.课标要求:经历操作、归纳和说理论证的过程,理解和掌握三角形的内角和性质,并会进行计算和实际应用.课堂上一般是将三角形纸片的三个角撕下来拼一拼.但这一操作方法与后面的说理方法的关联较弱,即所添辅助线是如何想到的?对照数学教学的三重境界——“知其然”、“知其所以然”、“何以知其所以然”,显然最后一重境界是缺失的.实际上,从教学的角度看,这也是欧几里得《几何原本》的缺点.18世纪法国数学家克莱罗在《几何基础》中为三角形内角和定理补足了第三重境界,创用了今天所说的“橡皮筋设计法”.     

基于几何变换视角的尺规作图题分析——以南京市2016年中考第24题为例

著名数学教育家波利亚在经典著作《数学的发现》开篇指出平面几何教学中的尺规作图因其“最适合帮助初学者去熟悉几何图形,也特别适合初学者摸到解题的思路”而应重点关注.并且利用《几何原本》的例子向我们展示了一个重要的解题模型——“双轨迹的模型”,     

HPM视角下“三角形一边的平行线性质定理及推论”教学

笔者以问题串的形式,带领学生探讨平面几何中“三角形一边的平行线性质定理及推论”能否用“出入相补原理”证明.师生发现,一方面,“出入相补原理”可以从特殊到一般证明该定理,另一方面,《几何原本》命题1.43和VI.14可以看作由“出入相补原理”推导出的“容直容横原理”的一般情况,欧氏几何是用“面积比”证明该定理,“容直容横原理”是用积来解决,理论上两者异曲同工,但在计算技巧上,中国传统数学更胜一筹.     

几何课程设计方式的比较分析——直观几何、实验几何与综合几何课程设计的国际比较

自《几何原本》[1]诞生的两千多年来,关于几何课程的研究一直持续不断,尤其是,近年来,国际教育界关于几何课程设计方式的研究有了突出进展,不同于《几何原本》的综合几何课程设计风格的新型设计方式(如,直观几何、实验几何)逐渐趋于完善.了解这些不同风格的几何课程设计,对于研究几何课程改革大有裨益.本文拟从课程设计的视角,试图诠释中外中小学几何课程改革的一些困惑,讨论义务教育阶段几何课程设计的特点和发展趋势.1直观几何、实验几何课程设计特点分析课程设计是新课程的关键环节之一.一般地,课程设计有学术理性主义取向、认知发展取向…     

HPM视角下的“全等三角形角边角判定定理”教学

笔者从HPM视角下设计“全等三角形角边角判定定理”的教学,以泰勒斯测量海难船船距的故事引入,利用叠合法进行解释,增加《几何原本》中的反证法对判定定理进行说理,使学生对判定定理的理解从感性上升到理性认识.课后反馈显示,学生对所融人的数学史很感兴趣,基本理解了反证法,并且了解了数学的实践价值.     

“几何”一词及其他

“几何”,在我国文言文中原是“多少”的意思。 意大利教士利玛窦(Matteo Ricci,1552—1610)和我国明末科学家徐光启(1562—1633)在1607年合译的《几何原本》中,首先把它作为一个数学专有名词的译名,并被沿同下来,成为现在数学分支的名称。甚至被日本等国所接受。 利玛窦和徐光启为什么采用“几何”这个译名,     

数学与数学教育(二)

三、一本教科书的影响如果要在教科书中评选世界之最 ,那么有一本书毫无疑问会赢得最多的金牌 .这本书就是欧几里得的《几何原本》 .该书被用作教材的时间最长 (其基本内容从两千多年前沿用至今 ) ,被翻译成的各种文字版本最多 ,对人类文明的影响最大 ,两千年来 ,从这本书学会逻辑推理的人远远超过了从亚里士多德著作中获益的人 .后世的许多科学家和哲学家 ,例如牛顿、爱因斯坦和斯宾诺沙 ,都愿意以一种类似于这本书的方式推演和阐述自己的理论 .1 933年 ,爱因斯坦在英国牛津大学所作的《关于理论物理的方法》的演说中 ,曾这样讲道 :“我们…     

黄金分割与圆内接正五边形

欧几里德《几何原本》卷二11题,卷四10题,11题,卷六界说三和30题等,都是研究著名的黄金分割问题.我国清初著名数学家梅文鼎用了十余年时间在《几何通解》(1691年),《几何补编》(1692年)中,用我国古代传     

欧几里德推导等比数列求和公式

我们知道 ,古希腊数学家欧几里德二千多年前所写的《几何原本》是推理几何建立的标志 .同时 ,欧几里德在该著作中也解决了许多代数问题 ,巧妙地推导出等比数列求和公式就是其中之一 .在《几何原本》第七卷欧几里德证明了命题 1 2 :如果有任意多个数成连比例 ,则任一前项与后项之比 ,等于所有前项的和与所有后项的和之比 .即 :如　ａ1ｂ1 =ａ2ｂ2 =ａ3 ｂ3 =…… =ａｎｂｎ ,则　ａｉｂｉ=ａ1 +ａ2 +ａ3 +… +ａｎｂ1 +ｂ2 +ｂ3 +… +ｂｎ(ｉ=1 ,2 ,3 ,…… ,ｎ) .在《几何原本》第九卷欧几里德这样推导等比数列求和公式 :设ａ1 ,ａ2 ,ａ3 ,…     

几何论证的教育功能与课程改革——读《标准（征求意见稿）》的一点体会

本文着重谈谈对《标准 (征求意见稿 )》中的“几何论证”的看法 .1　几何论证的教育价值众所周知 ,以《九章算术》为标志的中国古代数学 ,注重寓理以算 ,注重经世致用 ,没有系统地使用数学符号 ,没有自觉的抽象思维 ,没有证明 ,没有创造出甚至没有想到作为理论体系的数学 ,因而没有得到很好的发展 .相反 ,古希腊数学对人类整个文明却发挥了非同凡响的影响 ,突出以欧几里得 (Ｅｕｃｌｉｄ)的《几何原本》为标志 ,它产生了一种理性的力量、思维的力量 ,提出了理性思维的模式 ,从而增加了人们利用思维推理获得成功的信念 .它从公元前 3世纪开始…     

欧几里得《原本》的中文译本的产生

本文回顾欧几里得《原本》这部经典数学著作的中文译本产生的三个阶段 ,并略论它的产生对传统中国数学的影响 .1　《原本》中译本的产生欧几里得 (Ｅｕｃｌｉｄ ,公元前约 330～前 2 75)是被后人尊为“几何学之父”的希腊数学家 .他编著的《原本》集当时希腊数学之大成 ,开公理化方法之先河 ,对后世数学以及其他科学产生了难以估量的影响 .为此 ,人们称《原本》为数学家的“圣经” .《原本》的手抄本流传了一千七百多年后 ,才有印刷本 ,长期印刷中 ,出现了一千多种版本 ,从希腊文先后译为阿拉伯文、拉丁文、英文等 .科学书籍中 ,在使用时间…     

谈谈“近世代数”这门课

笔者承担了姜伯驹院士主持的教育部高教司“面向 2 1世纪数学内容和课程体系改革”项目的一个子项目 ,编写了“近世代数基础”教材 ,作为“面向 2 1世纪课程教材”之一 ,由高等教育出版社于 1 999年 1 1月出版 .下面就近世代数这门课程谈一些认识和体会 .B. L . Van der Waerden的《近世代数》以及后来再版的《代数》是第一本也是影响最大的一本近世代数的教科书 ,写于抽象代数诞生的 2 0世纪 3 0年代 .它写得严谨 ,自成系统 ,强调公理体系的完美 ,没有太注意代数与其它分支的联系 .也许把它说成是代数中的几何原本型的教科书 ,是并不算过…     

学习数学史的心得体会

你知道毕达哥拉斯何许人？ 你能列举《几何原本》与《九章算术》的不同风格？     

关于数学中的公理化方法

公理化方法(以下简称公理法)的广泛使用,是现代数学的一大特点。 一、公理化方法的沿革 数学中的公理法起源于欧几里得的《几何原本》(或简称《原本》)。欧几里得基于当时所积累的丰富的几何事实,把一些基本概念(点、线、平面)加以定义,而后选择一些几何的基本命题叫做公理(欧氏     

利玛窦和徐光启翻译《几何原本》的过程

我国的《九章算术》和古希腊的《几何原本》是古代东西方两种数学体系的代表，它们截然不同。明朝末年《几何原本》被翻译到中国来，极大地影响了中国原有的数学学习和研究的习惯，是中国数学史上的一件大事，值得一书。现在不少的数学教师和学生不了解此段历史，对于利玛窦和     

几何不足Geo的譯音

有人以为几何是Geometry前三字母Geo的譯音,这是錯的。明徐光启(1562-1633)和利瑪竇(1552-1610)合譯几何原本前六卷(1607),几何之名首見于此。几何二字的意义在几何原本卷一前面說:“凡曆法、地理、乐律、算章、技艺、工巧諸事,有度有数,皆依赖十府中几何府属。”十府就是明李之藻(1565-1630)所譯古希腊哲学著作名理探中的十伦。西洋人艾儒略(1582-1649)所著的西学凡(1623)中也說:“十宗伦郎天地間万物十宗府。……依輯則分而为九:一为几何。”又說:“几何之学名曰馬特馬第加,譯言察几何之道。”馬特馬第加郎Mathematica。又名理探也說:“凡測量几何性情而不及于其所依賴者是之謂純,类属有二:一、測量并合之几何,是为量法,西云日阿默第亚。一、測量数目之几何,是为算法,西云亚利默第加。”其中日阿默第亚即Geometria,亚利默第加郎Arithmetica.由是知当时翻譯