对一类函数不等式的讨论

一、问题的来源例 :已知 :当 |x|≤ 1时 ,有 |ax2 +bx +c|≤ 1 .证明 :当 |x|≤ 1时 ,有 |2ax +b|≤ 4 .以上为一匈牙利奥数竞赛题 ,综观各类文献 ,其典型的证法有以下两种 :证法一 :记f(x) =ax2 +bx+c,g(x) =2ax+b.因函数 g(x)在 [- 1 ,1 ]上单调 ,故只要证明在已知条件下有 |g(1 ) |=|2a+b|≤4且|g(- 1 ) |=|- 2a+b|≤ 4即可 .易知2a+b=32 (a +b +c) +12 (a -b +c) - 2c=32 f(1 ) +12 f(- 1 ) - 2f(0 ) .于是由 |f(- 1 ) |≤ 1 ,|f(0 ) |≤ 1及|f(1 ) |≤ 1 ,知 |2a +b|≤ 32 |f(1 ) |+12 |f(- 1 ) |+2 |f(0 ) |≤32 +12 +2 =4,即 |2a +b|…     

考点3 映射与函数

1.(湖南卷,2)函数f(x)=1-2x的定义域是().(A)(-∞,0](B)[0,+∞)(C)(-∞,0)(D)(-∞,+∞)2.(浙江卷,3)设f(x)=x-1-2,11+x2,x≤1,x>1,则f[f(21)]=().(A)21(B)143(C)-59(D)42153.(山东卷,6)函数f(x)=sin(πx2),ex-1,x-≥1<0.x<0,若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为().(A)1(B)-22(C)1,-22(D)1,224.(广东卷,11)函数f(x)=11-ex的定义域是.5.(江苏卷,15)函数y=log0.5(4x2-3x)的定义域为.6.(江苏卷,17)已知a、b为常数,若f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则5a-b=.考点3映射与函数1.由1-2x≥0,得x≤0,选(A).2.∵f(12)=-23,∴f[f(21)]=f(-23)=143,故…     

含参二次绝对值函数题的解法探究

<正>一、试题呈现已知函数f(x)=x²+ax+b(a,b∈R).记函数g(x)=|f(x)|在区间[0,4]上的最大值为M(a,b).求证:当-8≤a≤0时,有M(a,b)≥1/8a2+ax+b(a,b∈R).记函数g(x)=|f(x)|在区间[0,4]上的最大值为M(a,b).求证:当-8≤a≤0时,有M(a,b)≥1/8a².二、解题探究解法一(1)当a=0时,f(x)=x2.二、解题探究解法一(1)当a=0时,f(x)=x²+b在区间[0,4]上为增函数,则M(a,b)=max{|f(0)|,|f(4)|}     

2001年第四期初中数学问题解答

一、设f(x)=|x-p|+|x-15|+x-p-15|,其中01,b是正有理数,ab+a-b=22,则ab-a-b的值是多少?解:由ab+a-b=22两边平方得     

赏析2012年高考湖北卷理科压轴题

2012年高考湖北卷理科第22题为:(Ⅰ)已知函数f(x)=rx-xr+(1-r)(x>0),其中r为有理数,且0相似文献   

用平面“可行域”解一种条件不等式

题目已知二次函数f(x)=ax2+bx,a≠0,且满足1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围. 在一次课堂上,教师让学生解这道题目, 出现了以下几种解决方案. 为简单,先作些必要的转化.因为f(-1) =a-b,f(1)=a+b,f(-2)=4a-2b,所以     

构造法解高考题二例

1.构造函数若问题条件中的数量关系有明显的函数模型,可通过构造函数,然后利用函数的图像或者性质来解决有关问题.例1(2004年全国高考理科Ⅱ22题)已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(Ⅰ)求函数f(x)的最大值;(Ⅱ)设0相似文献   

探寻均值不等式与2011年高考数学湖北卷21题之间的关系

2011年高考数学湖北卷21题(1)已知函数f(x)=lnx-x+1,x∈(0,+∞),求函数f(x)的最大值;(2)设ak,bk(k=1,2,…,n)均为正数,证明:①若a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn,则a1b1a2b1…anb1≤1;     

向量不等式a·b≤|a|·|b|的应用

对于任意两个向量 a,b,有不等式 a.b≤|a|. |b|当且仅当向量 a与 b同向时为等式 .此不等式结构简单 ,形式隽永 ,内涵丰富 .运用它处理某些与不等式相关的代数问题简捷明快 ,颇具特色 .1　求函数的最值例 1　求函数 f(x) =3x +2 +44- x2 的最大值 .解　令 a =(3,4 ) ,b =(x,4 - x2 ) ,则 f(x) =a . b +2 ,|a|=5 ,|b|=2 .故 f(x)≤ |a|. |b|+2 =12 ,当且仅当 a与 b同向 ,即 3x=44 - x2 >0时取等式 .解之　 x =65 .故当　 x =65 时 ,f(x) m ax =12 .例 2　求实数 x,y的值 ,使得 f(x,y) =(1- y) 2 +(x +y - 3) 2 +(2 x +y - 6 ) 2取得最小值 . (…     

上期课外练习解答

高一年级1.∵　f(2 ) =f(1)·f(1) =1,f(3 ) =f(1)·f(2 ) =1,f(4 ) =f(3 )·f(1) =1……由归纳得f(1) =f(2 ) =f(3 ) =… =f(2 0 0 3 ) =1.∴　原式 =1.2 .当x为非零实数 ,故　f(x + 1) =f(x)·f(1) 　f(x + 1)f(x) =f(1) =3 ,故　f(2 )f(1) + f(4 )f(3 ) +… + f(2n)f(2n -1) =3n .∴　n =667.3 .f(x) =a + 1-2ax + 2 欲使f(x)在 (-2 ,+∞ )上是增函数 ,只须使 1-2a <0 ,故a的取值范围是 (12 ,+∞ ) .高二年级1.记f(x) =x2 -2x +a ,g(x) =x2 -2bx + 5由函数图象易知A B f(1) =a -1≤ 0 ,f(3 ) =3 +a≤ 0 ,且 g(1) =6-2b≤ 0 ,g(3 ) =1…     

例说函数构造法解题

一、证明不等式.例1设a、b、c为绝对值小于1的实数,求证ab+bc+1>0.证明:构造函数f(a)=(b+c)a+(bc+1)(|a|>1).若b+c=0,则由|bc|<1,知f(a)>0;若b+c≠0则f(a)为单调函数,f(a)的值在f(1)与f(-1)之间,但f(1)=(1+b)(1+c)>0,f(-1)=(1-b)(1-c)>0,f(-1)与f(1)均大于0,∴f(a)>0.例2证明:(1+1)(1+31)(1+51)…(1+2n1-1)>2n+1(n=1,2,…)(98年高考)证明:构造函数f(x)=(1+1)(1+31)…(1+2x1-1)2x+1当x∈N*时,f(x+1)f(x)=(1+1)(1+13)…(1+2x1-1)(1+2x1+1)2(x+1)+1·2x+1(1+1)(1+31)…(1+2x1-1)=2x+2(2x+3)(2x+1)=(22xx++22)2-1>1·∴f(x)为增函数∴f(x)≥f(1…     

04,05两年高考压轴题与一个函数模型

04年的全国卷(Ⅱ)与05年全国卷(Ⅰ)的最后一题均是有关不等式证明的问题.遗憾的是命题组提供的答案均较复杂.其实这两道试题均与函数f(x)=xlogax的凸性有着密切的关系.引理:设f(x)是定义在D上的凸函数,则对任意的x1,x2,…,xn∈D有f(x1)+f(x2)+…+f(xn)n≥fx1+x2+…+xnn当且仅当x1=x2=…xn时取等号下面我们就利用上述这个引理来解决04、05两年的压轴题.04年的压轴题:(22)已知函数f(x)=ln(1+x)-x g(x)=xlnx(Ⅰ过原O作一条)求函数f(x)点的最大值(Ⅱ)设0相似文献   

剖析一道高考试题 提高解题教学效果

1题目呈现(2015浙江高考文-20)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R). (1)当b=a2/4+1时,求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式; (2)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b-2a≤1,求b的取值范围. 对于第(2)问,从题面上看,这是一道以函数和方程为载体、不等式为主线的典型问题,着重考查学生分析问题、解决问题的能力,能够检验学生对二次方程与二次函数之间关系的认知程度,对数形结合思想、转化思想、分类讨论思想的掌握情况.     

二次函数和抛物线不等式

考察二次函数 y =ax2 +bx +c(a≠ 0 ) .为了方便起见 ,记 f(x) =ax2 +bx +c,对它进行配平方 ,可以得到f(x) =a x + b2a2 + 4ac -b24a .由上式 ,我们容易得到以下诸结论 :1)若a >0 ,则当x≤ - b2a时 ,y是单调递减的 ;当x≥ - b2a时 ,y是单调递增的 .因此 ,y =f(x)在全实轴上没有最大值 ,只有x =- b2a是 y在全实轴上的最小值点 ,其最小值为ymin=f - b2a =4ac -b24a .从而有 f(x)≥4ac -b24a (1)2 )若a <0 ,则当x≤ - b2a时 ,y是单调递增的 ;当x≥ - b2a时 ,y是单调递减的 .因此 ,y =f(x)在全实轴上没有最小值 ,只有x =- b2a是 y在全实轴上的最…     

一个非等价转化问题的探究

某资料上有这样一个问题:问题|2x-a|+2/x≥1对任意x>0都成立,求a的取值范围.给出的解法是:原不等式等价于a≤2x+2/x-1或a≥2x-2/x+1,令f(x)=2x+2/x-1,g(x)=2x-2/x+1,则原不等式对任意的x>0都成立,等价于:对任意的x>0都有a≤f(x)或a≥g(x).由f′(x)=2-2/x~2,g′(x)=2+2/x~2可得:在(0,+∞)上,[f(x)]_(min)=f(1)=3,g(x)是增函数,值域为R,所以a≤f(x)对任意x>0都成立     

三点共线条件在解题中的应用

由解析几何知 ,三点P1(x1,y1) ,P2 (x2 ,y2 ) ,P3(x3,y3)共线的充分必要条件是 :(x3-x1) (y2 - y1) - (x2 -x1) (y3- y1) =0 .这一结论除用于判定或求解有关解析几何的共线问题外 ,也可用于求解一些三角以及代数中的问题 ,其解法具有一定的启发性 ,下面举几例说明 .例 1　已知一次函数 f(x) =ax +b ,且 - 1≤f(- 1) ≤ 2 ,- 2≤f(2 )≤ 3,求 f(3)的取值范围 .解　由已知 f(- 1) =-a +b ,f(2 ) =2a +b ,f(3) =3a +b ,整理即-a - f(- 1) +b =0 ,2a - f(2 ) +b =0 ,3a - f(3) +b =0 ,上式表明点P1(- 1,f(- 1) ) ,P2 (2 ,f(2 ) ) ,P3(3,f(3) …     

观察 猜想 验证 反思——从一道课本习题说起

题　设f(x) =x2 - 1x2 +1,求1) f ba ;　2 ) f ab .解　1) f ba =b2a2 - 1b2a2 +1=b2 -a2a2 +b2 ;2 ) f ab =a2b2 - 1a2b2 +1=a2 -b2a2 +b2 .对1) ,2 )的计算结果进行观察,不难发现:f ab +f ba =b2 -a2a2 +b2 +a2 -b2a2 +b2 =0 .由f ab ,f ba 的特点,容易让人联想到f(x) +f 1x 的值有可能为定值,于是进行验证:f(x) +f(1x) =x2 - 1x2 +1+1x2 - 11x2 +1=x2 - 1+1-x2x2 +1=0 (x≠0 ) .通过验证,说明猜想成立,这样就得到了一般性的结论.用此方法可以解决一些高考和竞赛题,下面举例说明.例1　(2 0 0 2年全国高考)己知f(x) =x21+x2 ,求f(1) +f(12 …     

2011年高考教学湖北卷理科第21题赏析

2011年高考数学湖北卷理科第21题为:(Ⅰ)已知函数f(x)= lnx-x+1,x∈(0,+∞),求函数f(x)的最大值;(Ⅱ)设ak,bk(k=1,2,…,n)均为正数,证明:(1)若a1b1 +a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn,则a1b1·a2b2·…·anbn≤1;(2)若b1+b2+…+bn＝1,则1/n≤b1b1·b2b2·…·bnbn≤b12+b22+…+bn2.1 背景分析本题第一问体现了导数作为工具用于研究函数最值等方面的应用,设问的函数也是理科考生所熟知的类型.因而,有利于稳定考生情绪,便于考生逐步进入后面的问题情境.第2问是以“若P则q”的命题形式设计两道证明题,旨在向考生暗示:结论要成立,需要具备一定的条件,这样引导考生注重对条件和结论在结构上的差异性分析,从而a1b1·a3b2·…·anbn≤1需要转化为b1lna1+b2lna2+…+bnlnan≤0成立即可,进而想到利用(Ⅰ)的结论所包含的不等式lnak≤ak-1去掉对数符号,转化为条件的结构形式即得(1)的证明.这体现了化归与转化的思想方法在突破解题困境时的重要作用.     

反思通解&#183;引出简解&#183;创造巧解

在解题教学中,有些教师总是演示“成功”,教师的解题思路方法一想就正确、巧妙;教师从不展示“失败”,从不展示在解题思路和方法碰壁时怎么办.长此以往,学生的独立解题能力得不到提高,而且对巧解有一种神秘感.其实,许多问题的巧解可以在反思通解的过程中产生,教师若能引导学生对通解进行反思,使学生在反思中看到转变思维的方向、方式、方法和策略,缩小探索范围,尽快获得发现的成功,这不仅使学生感到巧妙思路的得来是顺其自然的,而且在发展学生思维、培养创新能力上无疑是一种很好的体验和进步.题目　二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),是否存在常数a、b、c使不等式x≤f(x)≤12(x2+1)对一切实数x都成立?若存在,求出a、b、c;若不存在,说明理由.学生思考后,容易想到如下的常规解法:解法1　f(x)≤12(x2+1)　即(1-2a)x2-2bx+1-2c≥0,(1)f(x)≥x即ax2+(b-1)x+c≥0.(2)∵　(1)、(2)两式对于一切实数x都成立,而且f(x)的图象经过点(-1,0),∴　a、b、c应满足条件1-2a&gt;0a&gt;04b2-4(1-2a)(1-2c)≤0(b-1)2-4ac≤0a-b...     

对一道期中联考压轴题的思路分析

试题已知函数f(x)=-x2+ln(1+2x).(1)求f(x)的最大值;(2)若b>a>0,证明:lna+1b+1>(a-b)(a+b+1).这是2011年春季湖北省部分重点中学期中联考高二数学(理科)试卷的一道压轴题,每个班只有三、五名学生能动手解答第(2)问:双参数不等