数理结合题欣赏

各种学科互相渗透 ,知识之间的联系越来越紧密 ,尤其以数学、物理之间的联系最紧密 .下面我们来欣赏几道数学、物理知识相结合的题 .题 1　如图 1,Ａ ,Ｂ两人相距 2ｄ米 .平行地站在一堵高墙前 ,离墙均为 3ｄ米 ,Ａ发一枪 ,Ｂ在ｔ秒后听到第一次枪声 ,问听到第二次枪声距发枪多长时间 ?图 1　题 1情形 1图　　　　图 2　题 1情形 2图解　Ｂ听到第一次枪声为声音直接传到Ｂ处(图 1) ,而第二次“枪声”应是从Ａ发出的枪声经高墙反射后传到Ｂ处 ,且所经过的路线应为最短 (图2 ) .在图 2中 ,作Ａ点关于墙的对称点Ａ′,连结Ａ′Ｂ交墙于点Ｐ ,Ａ…     

勾股定理的考场遭遇

1 勾股定理是什么 勾股定理是什么?有的高中生听到这个问题感到好笑,以为这是一个不值一提的问题,去问问初中生还可以,若去问高中生,确实有点乏味.     

函数零点存在问题探究

<正>函数的零点体现了函数方程思想,利用函数零点解决函数问题、方程问题已成为高考命题的一个热点,探索快捷的或一般性解决策略是非常必要的.问题已知函数f(x)=(x-2)e~x+a(x-1)~2.讨论a>0时,f(x)零点个数.     

数形结合变视角 合理分类定乾坤——2022年全国高考乙卷导数压轴题解法研究

<正>1试题呈现(2022年全国高考乙卷第21题)已知函数f(x)=ln(1+x)+axe^-x.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围．本题第(1)问考查函数在某点处的切线问题,利用导数的几何意义就可以解决．第(2)问考查的是函数在两个区间上的零点问题,解决函数零点问题的一种方法就是通过研究函数的单调性观察图象与x轴交点的个数,另一种是通过分离参数后探究两个函数图象交点的个数．     

函数与方程思想解决一元三次函数零点问题

<正>一元三次函数y=ax³+bx3+bx²+cx+d(a≠0)零点问题一直是高考考察的热点.同学们常用导数法解决一元三次函数零点问题,用函数与方程思想解决一元二次函数零点问题.可是我们知道这两者都是一元多项式函数中的特殊情况,那我们能不能采用函数与方程的思想来研究解决一元三次函数零点问题呢?     

用递推数列研究一例

题目 1　在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物 (如图 1 ) ,要求同一块中种植同一种植物 ,相邻的两块种不同的植物 ,现有 4种不同的植物可供选择 ,问有多少种栽种方案 ?这是 2 0 0 1年全国高中数学联赛最后一个填空题 ,作为一个基本类型的排列组合问题 ,参考答案采用分类讨论的方法求解 ,也是常规方法 .现已有人分别从不同的途径进行了探讨与推广 ,并利用递推数列结合不同的知识对问题作了研究 .本文认为可以直接揭示相邻两项的关系 ,构造递推数列解决上述问题 .先看更一般的问题 .题目 2　把一个圆分为ｎ个扇形 (不一定相同 ) ,并且用ｍ…     

钟表上时针、分针、秒针所夹的角度

图 1所示的是常见的钟表表盘 .ＯＡ ,ＯＢ ,ＯＣ分别表示时针 ,分针 ,秒针 ,它们都是绕点Ｏ顺时针匀速旋转的 .时针ＯＡ每1 2小时旋转 1周 ,即每小时旋转 30°;分针每 6 0分钟旋转 1周 ,即每分钟旋转 6°;秒针每 6 0秒旋转 1周 ,即每秒钟旋转 6°.某一时刻可以表示成ａ时ｂ分ｃ秒 (ａ =0 ,1 ,2 ,… ,1 1 ;ｂ =0 ,1 ,2 ,… ,5 9;ｃ∈Ｒ ,0≤ｃ<6 0 ) ,也可以表示成ｔ时 (ｔ∈Ｒ ,0≤ｔ <1 2 ) ,下文中的字母ａ ,ｂ ,ｃ ,ｔ均有此限定 .它们之间有以下换算关系 .定理 1　若ａ时ｂ分ｃ秒就是ｔ时 ,则1 )ｔ=ａ 16 0 ｂ 136 0 0 ｃ;2 )ａ =[…     

一类函数零点存在问题解法探究

<正>函数的零点体现了函数方程思想,利用函数零点解决函数问题、方程问题已成为高考命题的一个热点,探索快捷的或一般性解决策略是非常必要的.问题(自2016全国课标卷Ⅰ,21(文、理))已知函数f(x)=(x-2)e~x+a(x-1)~2.讨论a>0时,f(x)零点个数.     

综合题新编选登

题 1 0 3　质点A位于数轴x =0处 ,质点B位于x =2处 .这两个质点每隔 1秒就向左或向右移动 1个单位 ,设向左移动的概率为 13.向右移动的概率为 23.(Ⅰ )求 3秒后 ,质点A在点x =1处的概率 .(Ⅱ )求 2秒后 ,质点A ,B同时在点x =2处的概率 .(Ⅲ )假若质点C在x =0 ,x =1两处之间移动 ,并满足 :当质点C在x =0处时 ,1秒后必移到x=1处 ;当质点C在x =1处 ,1秒后分别以 12 的概率停留在x =1处或移动到x =0处 ,今质点C在x=1处 ,求 8秒后质点C在x =1处的概率 .解　 (Ⅰ ) 3秒后 ,质点A到x =1处 ,必须经过两次向右 ,一次向左移动 .∴ p =C23 ·(23) …     

由平方差公式想到的

表明:一数为完全平方数当且仅当它可以表为相差2的两自然数(其一或为零)之积与1的和. 此结论用来解决有关问题,巧妙简洁,颇具新意.常能使问题化难为易,变繁为简. 例1(数学通报1991年10期736问     

从机器人为背景引入数学问题

机器人是现代科技的产物 ,以机器人为背景设计数学问题 ,有利于调动学生的学习兴趣 .下面提供几个这样的案例 .案例 1　设一个机器人只能做两种运动 :1)绕原地旋转 ;2 )向面对的方向直行 .这样 ,控制机器人行走的命令是“旋转、移动”的形式 .而发射到机器人的天线的信号是有序对 (r ,θ) .其中r(正的或零 )是移动的距离 ,θ(正的、负的或零 )是旋转的角度 ,由此可引入任意角、极坐标系等问题 .案例 2　假定机器人从距一个 12 0m高的电视塔底 30m的地方起飞 ,并从 2分钟一圈的速度绕塔飞行 ,同时以 10m 分的速度上升 ,七分钟后机器人在什么…     

常微分方程中的反问题

研究某函数或函数组是什么常微分方程的通解或特解,这可以称为常微分方程中的反问题.这类问题,可以用"微分法"来解决.研究这类问题的意义在于通过利用"微分法"及"逆向思维方法"解决反问题的过程来加强对常微分方程理论内涵的深刻理解.     

新编应用题选登

题 70　 在某军事演习中 ,舰艇Ａ以每小时30海里速度向正北方向航行 ,发现在该舰艇正东方向 4 0海里的上空 10千米Ｃ处有一敌机 ,测得其速度为 2 4 0千米 /小时 ,方向是北偏西 6 0°,飞行轨道是与海平面平行的直线 .1)问敌机与舰艇间的最短距离为多少 ?2 )舰艇发现敌机后 ,立即向其发射炮弹 ,30秒后击中目标 ,问炮弹发射的速度、方位角、仰角各是多少 ?(空气阻力及舰艇速度对发射炮弹的影响均忽略不计 .取 1海里 =1.8ｋｍ ,结果精确到 0 .1)图 1　题 70图解　如图 1,平面α表示海平面 ,飞行轨道直线ｌ在α内的射影为ｌ′ ,Ｋ为ｌ′与舰艇Ａ…     

蠕虫爬橡皮绳问题

近日 ,笔者才在 1 986年第 6期《教学与研究(中学数学 )》的第 2 4页读到了下面一段《蠕虫爬橡皮绳》的译文 :“一个蠕虫从一千米长的橡皮绳一端以每秒一厘米的匀速向另一端爬行 ,而橡皮绳却每秒伸长一千米 ,如此下去 ,蠕虫会不会爬到橡皮绳的另一端点 ?多数人会直觉地认为蠕虫永远不能到达终点 ,而这种直觉是错误的 .这是由橡皮绳均匀伸长 ,蠕虫也随之向前了 ;第一秒末爬了橡皮绳全长1 /1 0 0 0 0 0 ,在第二秒爬 1 /2 0 0 0 0 0 ,类推得11 0 0 0 0 0 1 +12 +13 +… +1ｎ +…只要ｎ充分大 ,发散的调和级数的部分和可以等于或超过 1 0 0 0 0 …     

课例点评:数的开方的小结与复习

教学目标 (略 ) .　　教学重点、难点 (略 ) .　　教学手段 :多媒体教学 .　　教学过程 :1　复习提问( 1 )什么叫开平方 ?( 2 )什么叫平方根 ?算术平方根 ?立方根 ?( 3)负数为什么不能开平方 ?( 4 )如何对实数进行归类 ?　　这是本章的基本问题 ,从提问开始也是复习的基本方式 .请注意这里的逻辑思路 :由“开平方”问及“平方根”,再追问“为什么负数不能开平方”,这与新课的顺序是不同的 .2　典型题分析例 1　解答下列各题 (每个小组做一题 ) :( 1 ) 3- 8 1 6 532 ;( 2 ) - 4 0 .0 0 81 30 .34 3 2 50 .0 0 0 0 1 ;( 3)已知 :2 =1 .4…     

两道2001年数学竞赛试题的关联

题目 A　将周长为 2 4的圆周等分为 2 4段 ,从 2 4个分点中选取 8个分点 ,使其中任何两点间所夹的弧长不等于 3和 8.问满足要求的 8点组的不同取法共有多少种 ?说明理由( 2 0 0 1年 CMO试题第 5题 ) .题目 B　将一个正六边形等分为六个全等的正三角形区域 A,B,C,D,E,F.在这六个区域内栽种观赏植物 ,要求同一块中种同一种植物 ,相邻的两块种不同的植物 .现有 4种不同的植物可供选择 ,则有种栽种方案 ( 2 0 0 1年全国高中数学联合竞赛试题第 1 2题 ) .我们将给出下列更一般的结论 ,从而得到题目 A和 B之间的内在联系 ,其中定理 C是[1 ]…     

例说平均

不同问题求平均值的算式类型是不同的,如果不能根据问题所决定的数量关系把这些式子类型区别开来,则解答容易出错. 问题1 某地气象站测得某天四个时刻的气温分别为:早7点是零下2.5℃;中午12点是零上5.3℃;晚上7点是零下1℃;凌晨2点是零     

在探究活动中感受数学美

一、背景分析2010年江苏数学高考18题第(3)问:在平面直角坐标系中,已知椭圆9/x~2+5/y~2=1的左右顶点为A,B,右焦点为F,经过点T(9,m)的直线TA,TB与椭圆交于M,N两点,求证:直线MN必过.x轴上的一定点(其坐标与m无关).看到这道题,不由得联想起教材"选修2-1"第63页"思考与应用"中这样一题.设抛物线y~2=2px(p>0)的右焦点为F,经过F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC//X轴,证明:直线AC经过原点O.两题都是研究直线恒过定点问题,这两题之间有什么本质联系吗?题目的背景是不是有什么相似之处呢?     

利用公切线研究曲线的位置关系

<正>1问题发现近期本人在同学们的作业中发现了这样一个问题:判断函数f(x)=e^x-xx-x²的零点个数.该问题在同学们之中引起了广泛讨论,争议点就是当x>0时,函数f(x)是否存在零点.许多同学选择了对函数f(x)求两次导数的方法解决了上述问题,这不失为一种较为理想的方法,但我们的研究不能止步于此,有没有更好的可以解决该问题的方法呢?     

圆的一个性质的探求

一、问题的提出在高级中学课本《平面解析几何》(必修 )第 68页上有这样一道例题 :已知一曲线是与两个定点Ｏ(0 ,0 )、Ａ(3 ,0 )距离的比为12 的点的轨迹 ,求这个曲线的方程 ,并画出曲线 .课本中给出本题的答案是 :所求的轨迹方程为 (ｘ+ 1) 2 +ｙ2 =4,它是以Ｃ(-1,0 )为圆心 ,ｒ =2为半径的圆 (如图 ) .一般地 ,我们还可以证明 :与两个定点Ｍ1 、Ｍ2 距离的比是一个常数ｍ(ｍ >0 ,ｍ≠ 1)的动点轨迹是一个圆 (证明从略 ) .现在我们要思考的问题是 ,这两个定点及定比与所得的圆是什么关系 ?对于一个圆 ,是否一定存在一对点 (唯一还是无穷多…