非齐次动力学方程的一种精细积分单步方法

针对非齐次动力学方程■,结合精细积分法和微分求积法,利用同阶的显式龙格-库塔法对计算过程中待求的v_(k+i/s)(i=1,2,…,s)进行预估,提出了一种避免状态矩阵求逆的高效精细积分单步方法。该方法采用精细积分法计算e~(Ht),而Duhamel积分项采用s级s阶的时域微分求积法,计算格式统一且易于编程,可灵活实现变阶变步长。仿真结果表明,与其他单步法及预估校正-辛时间子域法进行数值比较,该方法具有高精度、高效率及良好的稳定性,在求解大规模动力系统时间响应问题中具有较大的优势。     

基于预估-校正的Generalized-α法及其在非线性结构动力学中的应用

直接积分法是求解动力学方程的一种有效方法。应用一种预估-校正的Generalized-α法对结构大变形动力学问题进行分析求解,并与Newmark法和Bathe法进行对比研究。首先预估当前计算步的解,然后以预估值作为起始值进行非线性迭代计算,并对解不断校正,直到满足收敛条件,进入下一时间步的计算。在保证Generalized-α法性能的基础上,简化了非线性迭代公式,便于编程实现。通过壳和实体的大变形动力学算例,证明了本文方法具有较高的稳定性和精度。     

轴对称压电圆板的非线性动力响应

基于Von Karman板理论和压电材料力学,考虑横向剪切变形,建立了轴对称压电圆板的非线性运动方程,提出了相应的力学与电学边界条件.求解时,首先应用Galerkin方法,将非线性偏微分运动方程转化为仅含时间变量的非线性常微分方程.然后,应用Newmark-β方法将时间函数离散,整个问题应用Newtoni迭代法求解.算例中,求得了压电圆板线性振动基频,验证了方程和求解方法的可靠性,讨论了压电效应、几何非线性、结构尺寸、力学和电学荷载等因素对板非线性动力响应的影响.     

动力弹塑性分析的无网格自然单元法

基于无网格自然单元法,提出了结构动力弹塑性响应分析的一条新途径．自然单元法是一种新兴的无网格数值计算方法,其实质是基于自然邻近插值的伽辽金法．自然单元法在本质边界条件的施加上较采用移动最小二乘法的无网格法具有明显的优势．在空间域上采用自然单元法离散,并运用加权余量法推导了动力弹塑性分析的离散控制方程．然后,采用预校正形式的Newmark法在时间域上进行求解．最后给出了数值算例,并验证了所提方法的有效性和正确性．     

结构非平稳随机响应分析的快速虚拟激励法

虚拟激励法能够方便地应用于结构非平稳随机响应分析,但在每个离散频点处都涉及到虚拟激励作用下动力方程的时程积分,对于大型复杂结构,其计算量是难以接受的。将结构动力方程写成状态方程形式,采用精细积分法对状态方程进行数值求解,导出了结构动力响应关于离散时刻处激励的显式线性表达式。利用这一显式表达式,只需要变换离散时刻处的激励数值,就可以方便快捷地求出新的激励作用下的结构动力响应。效率分析和数值算例表明,相对于传统虚拟激励法,本文提出的改进算法在求解非平稳激励下结构随机振动方面具有更高的计算效率。     

含高阶余项的非线性动力系统数值计算法

建立了一种求解非线性动力系统高精度数值计算的新方法,重构了等价的非线性动力系统方程,该方程考虑了非线性函数的任意高阶项,并给出了该方程的Duhamel积分表达式,在时间步长内用Newton-Raphson法进行数值迭代求解,该方法能连续满足微分方程而不只是在离散的步长端点满足方程,从而打破了传统的Euler型有限差分法。计算实例表明,该方法计算精度高于传统的Runge-Kutta,Newmark-β和Wilson-θ等方法。     

一维离散结构能带结构与表面态的辛分析方法

本文基于辛几何方法推导了一维离散周期结构、半无穷周期结构和含杂质半无穷周期结构的本征方程,力求建立一个完整的辛分析体系。通过辛分析,将一维离散半无限周期结构转化到一个元胞上求解,大大简化了计算量。对于含杂质半无穷周期结构,结合辛分析和W-W算法,给出求解含杂质半无穷周期结构本征值问题的精确、稳定和高效算法。数值算例说明了本文算法的有效性。     

Burgers方程的小波精细积分算法

求解偏微分方程的常用方法包括有限差分法、有限元法等。近年来,小波分析在偏微分方程数值求解中的应用已引起很多学者的关注,例如采用Daubechies小波或shannon小波构造的小波配置方法已经取得较好的结果。钟万勰院士提出的偏微分方程的子域精细积分方法是一种半解析方法,方法简单,精度高。将小波方法和精细积分方法相结合应用于偏微分方程的数值求解中将有利于提高算法的精度和稳定性,为此本文以Burgers方程为例,提出了一种求解一维非线性抛物型偏微分方程的小波精积分方法。该方法用拟小波配点法对空间域进行离散,建立起对时间的常微分方程组,然后采用精细时程积分方法对该方程组求解。数值计算结果表明,该方法同其它方法相比,具有计算格式简单,数值稳定性和精度较高的优点。     

基于同步交替法求解流体-弹性板耦合作用

基于预测-多步校正方法提出了流固耦合同步交替求解方法.采用ALE描述流固耦合问题.基于SUPG有限元对流体动量方程进行空间离散,以消除对流项引起的数值振荡.时间域上的积分采用预测-多步校正(predictor-multicorrector)方法.对流体和结构同时进行预测,在多步校正的过程中对流体和固体域动力学方程进行交替求解,从而在时间上达到同步推进.基于上述同步交替法,编程计算了流体-弹性板耦合作用问题,取得了良好的数值计算结果.     

一种求解振动方程的递推方法

提出了一种简便的求解结构振动方程的递推方法.该方法类似于有限元方法对空间进行离散处理的做法,把时间域离散成一系列小区间,在每一小区间对动力学方程进行简化处理以便求出其解析解,然后利用连续性条件导出递推关系式.与传统的数值积分法(如差分法、Wilson θ及Newmark β法等)只是从数学角度进行近似处理不同的是:该方法充分利用了原动力学方程的信息,具有明确的物理意义.就线性和非线性振动方程进行了数值模拟运算,结果表明了该方法在动力响应分析中的有效性.     

一种Birkhoff形式下结构动响应问题的保辛中点格式

结构动响应预测是结构设计的基础,是结构振动控制、载荷识别的前提。本文在辛体系下针对结构动响应问题,提出了一种Birkhoff形式下的保辛中点格式。首先引入状态变量,并基于摄动方法将结构动响应方程转化为线性自治Birkhoff方程的形式,进一步利用中心差分推导出线性自治Birkhoff方程的中点格式,其证明是保辛的。该格式不要求Birkhoff方程系数矩阵非奇异,因此适用于奇数维系统。两个不同数值算例的结果充分验证了本文方法的卓越性,也凸显了相对于传统算法在计算精确度和稳定性方面的明显优势。     

Symplectic multi-level method for solving nonlinear optimal control problem

By converting an optimal control problem for nonlinear systems to a Hamiltonian system,a symplecitc-preserving method is proposed.The state and costate variables are approximated by the Lagrange polynomial.The state variables at two ends of the time interval are taken as independent variables.Based on the dual variable principle,nonlinear optimal control problems are replaced with nonlinear equations.Furthermore,in the implementation of the symplectic algorithm,based on the 2N algorithm,a multilevel method is proposed.When the time grid is refined from low level to high level,the initial state and costate variables of the nonlinear equations can be obtained from the Lagrange interpolation at the low level grid to improve efficiency.Numerical simulations show the precision and the efficiency of the proposed algorithm in this paper.     

温度场下岛-桥结构屈曲薄膜的动力学分析

基于岛-桥结构的柔性电子器件已被用于健康监测和皮肤电子等领域。但是柔性电子器件在工作中极易受工作温度变化等激励产生振动,进而影响器件的灵敏度与可靠性。因此本文研究在温度场作用下岛-桥结构屈曲薄膜的动力学问题。首先,基于Euler-Bernoulli梁理论,建立温度场作用下岛-桥结构屈曲薄膜的动力学控制方程。其次,通过引入新变量,将原动力学方程引入Hamilton体系中,得到相应的Hamilton正则方程。随后,采用辛Runge-Kutta方法求解该Hamilton正则方程,并与经典Runge-Kutta方法对比,数值结果显示了辛算法在求解非线性动力学方程时高精度、高数值稳定性的优势,进一步讨论了温度变化量、预应变、阻尼系数等对屈曲薄膜动力学响应的影响。本文研究为柔性电子器件动力学设计提供了理论参考。     

基于黎曼几何的非线性振子动力学分析递推解析算法

基于黎曼几何和变分原理,推导了黎曼流形上非线性耗散动力系统的二阶微分动力学方程,并运用流形收缩的概念将动力学方程离散化,进而建立了相应的递推求解格式。选取3个自治非线性阻尼振子系统,分别采用递推解析算法和龙格库塔法求解微分动力学方程,并比较分析了不同的时间步长下两种算法的计算耗时。结果表明,与龙格库塔法相比,基于黎曼几何的递推算法不仅能得到每一时步的解析表达式,而且计算耗时短,计算效率高。基于黎曼流形的动力学方程递推算法为非线性动力学系统的解析求解提供了新思路。     

A structure-preserving algorithm for time-scale non-shifted Hamiltonian systems

The variational calculus of time-scale non-shifted systems includes both the traditional continuous and traditional significant discrete variational calculus. Not only can the combination of $\Delta$ and $?$ derivatives be beneficial to obtaining higher convergence order in numerical analysis, but also it prompts the time-scale numerical computational scheme to have good properties, for instance, structure-preserving. In this letter, a structure-preserving algorithm for time-scale non-shifted Hamiltonian systems is proposed. By using the time-scale discrete variational method and calculus theory, and taking a discrete time scale in the variational principle of non-shifted Hamiltonian systems, the corresponding discrete Hamiltonian principle can be obtained. Furthermore, the time-scale discrete Hamilton difference equations, Noether theorem, and the symplectic scheme of discrete Hamiltonian systems are obtained. Finally, taking the Kepler problem and damped oscillator for time-scale non-shifted Hamiltonian systems as examples, they show that the time-scale discrete variational method is a structure-preserving algorithm. The new algorithm not only provides a numerical method for solving time-scale non-shifted dynamic equations but can be calculated with variable step sizes to improve the computational speed.     

非线性Schrdinger方程的保辛数值求解

首先将非线性Schrdinger方程化为Hamilton正则方程形式,而后建立Hamilton体系下的变分原理。再用有限元法离散空间坐标,同时对时间坐标进行精细积分,最后运用混合能变分原理,提出非线性Schrdinger方程保辛数值解法。这种解法在保辛的同时,可以让能量和质量在积分格点上亦全部达到守恒。数值算例验证了该方法的有效性。     

计算最优控制辛数值方法

针对最优控制问题（OCP）的辛数值方法研究及应用进行综述。主要涉及内容包括,动力学系统为常微分方程描述的一般无约束、含不等式约束和状态时滞的最优控制问题,微分代数方程描述的一般无约束、含不等式约束和含切换系统的最优控制问题,以及闭环最优控制问题。从间接法和直接法两个求解框架出发,重点介绍本课题组在保辛算法方面的研究工作。在间接法框架下,首先基于生成函数和变分原理,将OCP保辛离散为非线性方程组,再数值求解方程组。在直接法框架下,将OCP保辛离散为有限维的非线性规划问题（NLP）,再数值求解。针对闭环最优控制问题,提出了保辛模型预测控制、滚动时域估计和瞬时最优控制算法。研究表明,保辛算法具有高精度和高效率的特点,在航空航天和机器人等领域有着广泛应用前景和价值。     

一种几何大变形下的非线性气动弹性求解方法

非线性气动弹性的时域求解中, 涉及到非线性的流体动力学(CFD)和非线性的结构动力学(CSD)耦合问题. 基于Co-rotational理论, 推导了三维壳单元几何非线性下的切线刚阵和内力公式, 针对推进过程中的能量守恒, 引入预估-校正推进格式, 发展了一种近似能量守恒的非线性动态响应算法; 基于1/2时间步的交错耦合格式, 结合带有几何守恒律的双时间推进求解雷诺平均N-S方程的求解器, 发展了非线性气动弹性求解的高精度耦合格式. 通过结构几何大变形下的静力和动力分析验证了所发展的结构非线性求解器, 并通过AGARD445.6机翼的非线性气动弹性响应分析, 说明了所发展耦合求解方法的实用性.      

非线性阻尼动力方程的复合积分法

非线性动力方程直接积分法的基础是构造$t$时刻与t+\Delta t时刻状态量间的关系, 由此形成基本量的非线性方程组, 再在每个时间步内采用 Newton-Raphson或BFGS等迭代方法求解. 该文基于Bathe复合积分法(composite implicit time integration), 提出了非线性阻尼系统基于速度变量的复合时间 积分迭代格式. 以非线性黏滞阻尼Sdof系统为例, 按上述方法以及基于BFGS迭代 的Newmark-\beta法编制Fortran程序, 结果与Adina软件对比, 验证了该文方法的有效性.     

动力学平衡方程的辛两步求解算法

基于线性多步方法的构造格式和辛变换,给出了动力学方程的两种辛两步法求解格式,它们分别具有四阶精度和二阶精度,但都只有二阶格式的计算量,因此四阶辛两步法具有较大的应用价值。对两种辛两步法和解析解进行了数值比较,证明了二阶精度辛两步格式在一定条件下就是欧拉中点保辛算法,或δ=0.5和α=0.25的Newmark辛格式。