谈圆锥曲线的焦点三角形

若Ｐ为圆锥曲线上任一点,Ｆ１,Ｆ２是焦点,则△Ｆ１ＰＦ２称为焦点三角形．求焦点三角形的周长、面积是一类重要题型,本文分类介绍此类题目的解法,供读者参考．１求焦点三角形的周长在求椭圆或双曲线的焦点三角形的周长时,经常要应用椭圆或双曲线的第一定义．例１Ｆ...     

赏析高考的一个热点——焦点三角形面积

椭圆和双曲线上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形．它是一个引人注目的三角形,其面积是一个非常重要的几何量,与其相关的问题是各类考试的重点和热点,且题型角度常变,多姿多彩,可谓考试中的常青树,值得我们深入探究．本文从不同角度对高考焦点三角形问题及其解法作了全方位的探究,供读者参考．     

双曲线焦点三角形的内切圆

<正>最近笔者遇到一道圆锥曲线焦点三角形的内切圆半径问题,学生处理此类问题存在一定的困难.笔者又从不同途径搜集了几道同类型的问题,揭示此类问题常用的思想方法,相信对能突破此类难题有一定的指导作用.例1点F1、F2分别是双曲线x²-y2-y²/3=1     

简议焦点三角形

所谓焦点三角形,系指有心圆锥曲线（椭圆、双曲线）上任一点与其两焦点连接构成的三角形．因为焦点三角形是具有特殊意义的三角形,所以它既具有一般三角形的性质,又有其特殊性质．因而解决焦点三角形问题,要紧紧抓住其本质特征（顶点为两焦点和圆锥曲线上的点）,挖掘其内涵、张扬其外延;     

例析与椭圆的焦点三角形相关的问题

在椭圆中,所谓“焦点三角形”就是指椭圆的两个焦点与椭圆上的任意一点组成的三角形．椭圆的焦点三角形中蕴涵着很多让人耳目一新的几何性质,它融正、余弦定理、平面几何和向量等知识于一体,让焦半径充分展示其魅力,给人新颖灵活之感,值得我们去探究与总结．在全国各地的高考模拟试卷及高考试题中,以“焦点三角形”为载体的问题更是层出不穷,精彩纷呈．本文结合具体问题,对椭圆的焦点三角形的性质加以归纳与剖析．     

解斜三角形的一种策略

解斜三角形是三角函数中的一个主要内容,也是求解立体几何和解析几何问题的一个重要一环．此类问题的求解在近几年的高考中屡有出现,虽然高考题中斜三角形求解问题属常规题,难度一般,但题图中三角形往往不是单独出现,有些同学面对单个三角形时正弦定理或余弦定理用得极为纯熟,但对较为复杂（即图中三角形不止一个）的斜三角形问题,往往不知如何下手．     

椭圆焦点三角形最大顶角问题解法归纳和应用

椭圆中焦点三角形由于综合了椭圆的第一定义、第二定义、焦半径公式、三角函数以及解三角形的常用知识,近几年的数学高考试题中出题比较多,对焦点三角形的处理我们一般有三个常见思路：余弦定理、正弦定理以及向量,本文对椭圆的焦点三角形最大顶角问题探讨思路进行挖掘,并得出一些有用的结论和它们的应用,希望读者能据此举一反三,得出更多的结论．     

找个对称点一蹴而就

如果三角形的三个角的度数都是10°的整数倍,三角形内一点与三角形的三个顶点分别连结后,得到的所有的角也都具有这个性质,我们称这样的点为三角形中的角格点,在具有角格点的三角形中,有时会存在三条线段a、b、m,满足a+b=m.有趣的是此类问题常常是找个对称点一蹴而就.     

椭圆中焦点三角形问题的求解策略

有关焦点三角形（过椭圆一个焦点作直线,交椭圆于A,B两点,与另一个焦点连成三角形）的性质的考查越来越普遍．题型涉及到填空题和解答题;解题方法涉及到椭圆的定义、直线和椭圆的位置关系,因与圆紧密相连而成为命题热点．下面结合具体实例就焦点三角形问题的求解策略作探索．     

焦点直角三角形——经久不衰的高考热点

定义 椭圆或双曲线上一点和两焦点组成的三角形叫做焦点三角形；有一个角为直角的焦点三角形叫做焦点直角三角形。     

圆锥曲线阿基米德焦点三角形的一个性质

圆锥曲线弦的两个端点和在这两端点处的切线的交点所构成的三角形叫做阿基米德三角形,这条弦叫做阿基米德三角形的底,两切线的交点叫做阿基米德三角形的顶点.特别地,我们把底边过焦点的阿基米德三角形称之为阿基米德焦点三角形.笔者借用几何画板研究发现圆锥曲线阿基米德焦点三角     

例谈高考试题中的"焦点四边形"的最值问题

如果圆锥曲线的内接四边形的对角线经过圆锥曲线的焦点,我们把这样的四边形叫做焦点四边形.圆锥曲线的焦点四边形与焦点三角形有许多相似的性质,焦点四边形中的最值问题在近几年的高考试题及全国各地的模拟试题中频频亮相,值得关注,这类问题往往把考查圆锥曲线的性质与求最值问题结合起来,形成一个知识与能力的交汇点,是考查学生综合应用知识能力的良好载体,倍受命题者所推崇,成为一道新的亮点.……     

椭圆中焦点三角形的边角关系探究

在椭圆中,以椭圆两个焦点F1、F2和椭圆上某一点(除长轴的两个顶点)P(x,y)构成的三角形称为焦点三角形,笔者对这个三角形的一些边角关系做一些归纳与探讨,总结出一些通用并且常用的性质作为命题,同时对这些命题进行了证明,这样再遇到比较复杂问题的时候,想起这些命题往往可以迎刃而解,达到快速解题的目的.     

全等的应用——与线段和相关的问题的证明

<正>在学习全等三角形时,同学们很熟悉全等三角形的对应边、对应角相等.一般情况下,在解决线段相等和角相等问题时,通常会很自然地想到运用全等的性质来解决.但是,在涉及线段的和差等结论时,有的同学就觉得有些困难,不知从哪里着手分析了.此类问题我们究竟该从哪里着手呢?能用全等三角形的性质吗?下面我们通过几个例题来感受并体会一下解决此类问题的方法.     

焦点三角形面积的计算方法再探

在圆锥曲线中,焦点三角形引人注目.对于椭圆焦点三角形的面积公式S=b~2 tanα/2和双曲线焦点三角形的面积公式S=b~2 cotα/2是大家都十分熟悉的,文[1]、[2]在其基础上推出了另四类公     

“爪形”三角形的常用解法

<正>三角形中的一个顶点与对边上一点连线得到的图形通常叫做“爪形”三角形．近两年,2021年新高考卷Ⅰ,2022年全国甲卷考查了“爪形”三角形,2023年在新高考卷Ⅰ、新高考卷Ⅱ、全国甲卷理科和全国乙卷理科都考查了“爪形”三角形,这种题型已成为全国高考数学卷中的热点．从单一的三角形到“爪形”三角形,解三角形的题目也随之从单一到复合,突出对正弦定理、余弦定理、三角形面积公式以及三角恒等变换等基础内容的考查;与平面几何内容的综合,增强了考查的综合性．虽然考查难度虽仍属中等,但综合性变强,求解方法更加灵活多样．下面介绍求解此类问题的常见思路与方法．     

向量的模与焦点三角形

<正>在圆锥曲线中,焦点三角形引人注目,是一个非常重要的几何量,值得我们深入研究,为此。本刊2008年7月(上)期介绍了向量的数量积与焦点三角形的一些关系式,本文再介绍向量的模与焦点三角形的一些关系式,供读者参考.     

椭圆与双曲线焦点三角形角平分线的一组性质

本文借助于椭圆焦点三角形角平分线的方程,通过探究得到了椭圆焦点三角形角平分线的一组性质,并将此性质推广到双曲线中.     

焦点三角形面积的另类公式

在圆锥曲线中,焦点三角形是一个引人注目的三角形,它的面积是一个非常重要的几何量,值得我们深入探究.对于S=b2tanα2和S=b2cotα2形式是大家都比较熟悉的,在它的启示下,笔者从焦点三角形内切圆、外接圆和旁切圆半径的角度作了探究,得到了两类不同形式,现论述如下,与读者共赏.定理1 P是椭圆x2a2 2yb2=1(a>b>0)或双曲线x2a2-2yb2=1(a>0,b>0)上的一点,E(-c,0),F(c,0)是两焦点,若椭圆焦点三角形PEF的内切圆或双曲线焦点三角形PEF的旁切圆半径为r,则三角形PEF的面积S=r(a c).证对于椭圆,设三角形EPF内心为H,则由题意、椭圆定义及圆的切…     

双曲线焦点三角形的一个性质

文[1]、[2]给出了双曲线焦点三角形的一些性质，受此启发，经过研究，本文得到双曲线焦点的三角形的一个有趣性质．