函数零点问题的求解路径分析

含参的函数零点讨论问题,是近些年来函数压轴的常见题型,本文中借此题型分享了几个含参函数零点问题的解题感悟,找到了使得函数值异号的点大致的三种路径.路径一,分离出代数式中已经能判定符号的式子,将剩余部分视作“零”,通过解方程找到所需定号的“点”;路径二,利用自变量取值范围将某些超越式放缩为常数;路径三,利用y=e^x在x=0处的切线进行放缩,也即利用e^x≥x+1及其变形式进行放缩.     

从函数的零点研究引发对双函数零点的思考

<正>在初、高中数学中,函数具有举足轻重的作用,对函数的零点的研究就显得格外重要.一般地,对于函数y=f(x)(x∈R),我们把方程f(x)=0的实数根x叫作函数y=f(x)(x∈R)的零点.即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值.初中接触到的是一次函数、二次函数的零点,更难一点的是含参二次函数的零点的研究,涉及到的一类题型是已知二次函数的零点个数,求参数的取值范围.那么在高中阶段,接     

例说零点问题的解法

<正>含参数零点问题是历年高考考查的热点,难点之一.下面就2018年我校的第一次月考试题给出一类含参零点问题的两种策略与三种解法.一、考题呈现已知函数f(x)=alnx+3/2x~2-(a+3)x恰有两个零点,则实数a的取值范围是().(A)(-3/2,+∞)(B)(-3,0)(C)(-3/2,0)(D)(-3/2,-1)试题分析本题以对数函数与二次函数为载体,用导数研究其单调性,极值,进而研究零点问题,考查学生的运算能力,逻辑推理能力,分析问题能力,体现了分类讨论,数形结合,函数与方程,转化与极限思想.     

含参函数不等式恒成立问题的破解之策

<正>高考压轴题常以导数为背景,往往涉及到含参数函数不等式恒成立、含参函数存在零点等问题形式,对考生的抽象思维和解决问题的能力要求非常高,不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能方法,还要求考生能根据不同题型恰当选择合适的解题策略.本文结合2020年全国卷Ⅰ理科数学第21题探讨两种破解之策.     

探析分段函数问题

<正>1问题提出分段函数指的是一种在定义域的不同部分有着不同的对应关系的函数,其本质是一个函数.最简单的问题莫过于分段函数的求值问题,解决此问题关键是弄清自变量属于分段函数的哪一段.更复杂的是以分段函数为载体,考查最值、单调性、零点、方程、不等式等问题,其中最为常见的是含参数的问题.在处理含参问题时往往会犯这样那样的错误,如分类讨论不完整、问题不能准确转化等.本文通过一系列的例子来专门探析分析函数常考查的主要问题.     

中考微专题课型研究——以含参函数复习为例

含参函数问题是近年来各地中考的热点题型,多安排在中考试卷的最后三道大题进行考查,也成为中考复习备考的热点专题.但含参函数问题考查的知识点、函数性质很多,如何搞好这类专题复习成为很多教师研讨的重点.本文整理笔者最近开设的一节含参函数专题复习课例,希望给同行提供一些课例研讨的素材,丰富和深化含参函数问题的复习与研讨.     

牛顿-莱布尼兹公式与泰勒公式的拓展与应用

探讨牛顿—莱布尼兹公式和泰勒公式对含参数函数的拓展形式,并用来研究含参数函数的零点的个数和微分方程周期解的个数的判定问题.     

例谈一类含参问题的解决策略

<正>在求解含参一元二次方程实根分布问题时,同学们首先想到是转化为函数零点来求解,也就是通过观察函数的图象,分析出应满足的条件,然后列出不等式(或不等式组)求解,很多问题还需要进行分类讨论,较为复杂.如果能充分挖掘实根的特性,用韦达定理探索根与系数的关系求解时会较为方便.     

对2021年新高考全国Ⅰ卷22题的解法赏析与拓展

<正>函数的零点是高中数学的重要内容,也是高考考查的热点,此类问题蕴含了动静结合的辩证思维,也能很好地考查同学们的数学核心素养[1].本文以2021年全国Ⅰ卷函数零点个数问题为例,利用直接讨论法、构造函数法、参变分离法和切线法来探究零点个数,并加以变式应用.     

三步法求解含参函数的零点个数

1．问题的提出 函数的零点是高中新课标教材中新增的重点内容,因为函数的零点能让函数统领方程与不等式成为现实．自2007年新课标高考以来,函数的零点成了高考的热点．仅2013年高考,有江苏、陕西、天津、北京、山东和福建六省市直接以大题考察了含参变量的函数的零点个数问题．此类问题综合性强,对考生的重要数学思想的深刻理解和灵活应用要求较高,因此,考生对此类问题感到茫然,不知所措．     

三步法求解含参函数的零点个数

<正>1.问题的提出函数的零点是高中新课标教材中新增的重点内容,因为函数的零点能让函数统领方程与不等式成为现实.自2007年新课标高考以来,函数的零点成了高考的热点.仅2013年高考,有江苏、陕西、天津、北京、山东和福建六省市直接以大题考察了含参变量的函数的零点     

分离参数不成功问题的解法

<正>引言含参方程、含参不等式问题中,常用到分离参数的方法,将问题转换成已知函数的图像或最值问题,但是我们常会碰到直接分离参数不成功的情况,例如需要讨论或是分离后函数较复杂的情况,对于大部分同学来说不能分离也就意味着此题解不出来了.不分离参数难道问题真的就解不出来了吗?我们已经研究过含参数函数的最值问题,含参数函数的单调性等问题,为什么不能将问题转换成含参     

函数两个零点证明题的构造解法探究

如果问题的待证结论是关于某个函数两个零点的不等关系式,需要通过研究一个新函数的单调性,并利用不等式的性质进行变形转化解决,其解题核心是构造新函数.本文通过不同角度,探究了函数两个零点证明题的7种构造解法：利用极值前构造函数;利用对称点构造函数;等价变形后构造函数;利用消参构造函数;利用比值构函数;抓住导函数方程构造函数;根据解题需要及时构造函数.     

上半平面中含参变未知函数的Hilbert边值问题

给出了上半平面中的含参变未知函数的Hilbert边值问题的提法,利用函数的对称扩张,将其转化为无穷直线上含参变未知函数的Riemann边值问题,得到了该问题的一般解和可解性定理.     

含参函数问题的求解思路与方法

<正>在近几年高考小题中有一个热点:出现了不少含参函数(或不等式)的题,这些题涉及到函数的零点、单调区间、极值和不等式恒成立等多方面知识.这些题有一定难度,解题思路比较灵活,如果解题思路方法选择不恰当,解题容易出错.本文特将这方面试题的解题思路方法作一个归纳概括,供高考复习参考.1.分离函数法     

“做批展评补”一体化的教学探索——以含参一次函数教学为例

文章以一道八年级含参一次函数题为例,以“做批展评补”一体化模式为抓手,剖析解决含参一次函数问题的三种方法——代入消参法、化“静”为“动”法、函数性质法,希望能改变学生因参数多变、抽象而无从下手的困境,找到含参函数教学的一条路径.     

一类可积非Hamilton系统的Abel积分的零点估计

讨论了一类含参可积非Hamilton系统在一般二次多项式扰动下的Abel积分的零点,得出了不同参数范围下的Abel积分的零点数目的估计.     

例谈“零点设而不求”在解题中的应用

函数零点是函数的重要概念,特别地,导函数的零点在解决函数单调性、最值性、不等式证明等问题中地处＂咽喉＂,至关重要.但有些问题,函数或导函数是超越函数无法求出它的零点,实际上从问题目标来看也不需要求出零点,这时我们可对零点采取＂设而不求＂的方法进行处理,本文就此举例说明零点设而不求法在解题中的应用.     

例谈“零点设而不求”在解题中的应用

函数零点是函数的重要概念,特别地,导函数的零点在解决函数单调性、最值性、不等式证明等问题中地处"咽喉",至关重要.但有些问题,函数或导函数是超越函数无法求出它的零点,实际上从问题目标来看也不需要求出零点,这时我们可对零点采取"设而不求"的方法进行处理,本文就此举例说明零点设而不求法在解题中的应用.     

例谈零点设而不求法在解题中的应用

函数零点是函数的重要概念,特别地,导函数的零点在解决函数单调性、最值性、不等式证明等问题中地处"咽喉"至关重要.但有些问题,函数或导函数是超越函数,无法求出它的零点,实际上从问题目标来看也不需要求出零点,这时我们可对零点采取"设而不求"的方法进行处理,本文就此