Randbemerkungen zur historischen Entwicklung des Tangentenbegriffs

Zusammenfassung Die griechische Tangentendefinition verlangte, da? die Kurve ganz auf einer Seite der berührenden Geraden liegt. Eine allgemeine Methode, die Tangenten an eine beliebige Kurve zu finden, gab es nicht. Es wurden spezielle Konstruktionen (erraten und) angegeben und nachtr?glich bewiesen, da? sie Tangenten lieferten. Roberval und Torricelli leiteten auf Grund der Erzeugung mancher Kurven durch zwei Bewegungen Tangentenkonstruktionen aus dem Parallelogramm der Geschwindigkeiten ab. Barrow bemerkte, da? man jede Kurve durch zwei Bewegungen erzeugen kann: die Koordinaten werden als Funktionen der Zeit aufgefa?t —x(t), y(t). Fermat und Descartes fanden eine neue Methode zur Berechnung der Tangenten an algebraische Kurven. Sie beruht darauf, da? eine Gerade zwei zusammenfallende Punkte mit der Kurve gemeinsam hat, und da? dies einen quadratischen Faktor [(y−y ₀)² odere ²] in der Gleichung für die Schnittpunkte verlangt. Diese Methode enth?lt eine neue Definition der Tangente, die auch in Wendepunkten gilt. Die Methode wurde auch — etwas leichtfertig — auf transzendente Kurven übertragen, und lieferte auch richtige Resultate. Die Rechtfertigung dafür erbrachte erst die Differentialrechnung, von der hier nicht mehr gesprochen wird.

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Herrn Professor Dr. Dr.h.c.mult. Otto Haupt mit den besten Wünschen zum 100. Geburtstag gewidmet     

Zur Entwicklung exakter Modelle in der psychologischen Lerntheorie

Zusammenfassung Die Entwicklung der psychologischen Lerntheorien wird dargestellt. Mathematische Formulierungen von der Art des "empirischen Kurvenanpassens" werden neuerdings abgelöst durch ein "rationales" Vorgehen: aus wenigen Grundpostulaten werden die funktionalen Beziehungen zwischen beobachtbaren Variablen abgeleitet. Ein stochastisches Modell dieser Art wird kurz dargestellt.

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Summary The development of psychological theories of learning is summarized. Mathematical formulations of the "empirical curve-fitting" type have recently been replaced by a "rational" procedure: from a small number of basic postulates the functional relationships between observable variables are deduced. A stochastic model of this kind is quoted.

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Résumé Le développement des théories psychologiques d'apprentisage est résumé. Les méthodes mathématiques du type de "l'ajustement empirique de courbes d'acquisition" ont été remplacées récemment par une procédure "rationnelle." On part d'un petit nombre de postulats fondamentaux pour déduire les relations fonctionelles entre les variables à observer. L'article cite un modèle stochastique qu'illustre cette méthode.

     

Kleine Bemerkung zur asymptotischen Entwicklung des Fehlerintegrals

Ohne Zusammenfassung     

Zur Bestimmung der Anzahl Primzahlen unter gegebenen Grenzen

Ohne Zusammenfassung     

Zur Theorie des Risikos

Ohne Zusammenfassung     

Zur Kinematik des Flaggenraumes

In the first part (1. -4.) of this paper general properties of motions in the flag space I ₃ ⁽¹⁾ are investigated. Orbits of points and remarkable points on orbits are regarded. In the second part (5.–6.) some special motions are regarded, which can be constructed by one-parameter groups in an easy way. At last (7.) special classes of motions such as motions with W-curve paths are characterized.     

Zur Beeinflussung des Hagelkornwachstums

Summary To decrease the accretion rate of a growing hailstone its deposit has to be made dry. Under such conditions a spherical form is prefered to an ellipsoidal one. The growth rate of the former is lower than that of the latter to a factor of two. The accretion rate can be slowed down further when the small cloud particles are partially frozen. In a solid state they will mostly be rejected from the surface of the (dry) hailstone and do not contribute to growth.In paragraph 4 calculations are made about the proportion of cloud particlesV which must be frozen to arrive at a dry deposit. The variables are air temperaturet _L , hailstone diameterd, free H₂O-contentw _f , and air pressurep. The results are shown in Figures 1, 2, and 3 and demonstrate the high ratio of cloud droplets which should be frozen to reduce the growth rate noticeably. Figure 4 is valuable for hailstones growing in a cloud model as postulated byLudlam.This decrease in accretion rate will normally lower the hail damage. But there exists another method which produces hailstones with a very high rate of liquid water. Such spongy particles burst as soon as they hit the ground. The conditions for such a procedure are not yet elaborated but are quite dissimilar to those described above.     

Zur Fredholmtheorie des Riemann-Hilbert-Operators

Ohne Zusammenfassung     

Zur Quadratur des Ellipsoides

Ohne Zusammenfassung     

Zur Konvergenz des Peaceman-Rachford-Verfahrens

Summary In this paper we prove some results concerning the convergence of the Peaceman-Rachford iterative method. The main result covers both the stationary and the instationary case. No use is made of the so called commutativity condition which often was used in the literature in the instationary case. In proving the results of this paper it is made use of the theory of regular splittings which was introduced by R.S. Varga. Finally it is demonstrated how the results can be applied to discrete versions of elliptic boundary value problems.     

Zur Berechnung des Fehlerintegrals

Zusammenfassung Ein neuer Algorithmus zur Berechnung des Fehlerintegrals auf der reellen Achse wird erläutert. Sein Vorteil liegt darin, daß die gleiche Berechnungsformel auf der gesamten reellen Achse eine gute relative und absolute Genauigkeit ergibt. Für komplexe Werte der Unabhängigen muß man sich teilweise auf eine Reihenentwicklung, teilweise auf einen Kettenbruch stützen, dessen Konvergenz bei richtiger Wahl des letzten Gliedes wesentlich verbessert werden kann.     

Zur Kinematik des Rollgleitens

Ohne Zusammenfassung     

Zur Theorie des Potentiales

Ohne Zusammenfassung     

Zur Konvergenz des Jacobi-Verfahrens

Ohne Zusammenfassung