Kulkarni 问题

R.Kulkarni 曾提出下面问题:对于任意给定的一个正实数 A 和自然数 n,考虑形如下面的数:A-1/(m_1)-1/(m_2)-…-1/(m_n)>0,其中 m_1,m_2,…,m_n 是自然数.是否存在一个这样形式的最小数,如果存在,如何给出相应的 m_1,m_2,…,m_n.在本文中,我们讨论了这个问题的解的存在性和上界估计,给出了一个求解的算法,提出了一个与数论有关的猜想.最后讨论了推广的 Kulkarni 问题.     

具有超前和滞后的泛函微分方程的周期解

考虑具有超前和滞后的泛函微分方程的ω-周期解的存在性问题,其中L_i,R_j,φ_k,ψ_k:R→R(i=1,…,m_1,j=1,…1,…,m_2,k=1,…,m_3)是连续的ω周期函数,D_i:R~2→R~(n×n)连续,关于t以ω为周期;f:R×R~n×…×R~n→R~n连续,关于t以ω为周期;m_1,m_2,m_3为正整数,ω为正常数。 近些年来,人们利用Liapunov第二方法研究常微分方程和具有有限滞后或无限滞     

整数平方的一个特性

我们用整数的二进制表示及穷举法证明了整数平方的一个特性。这个特性使我们可以看出一些古老命题的直观性。一、特性的推导设m为任意正整数,并表示成二进制数: m=m_nm_(n-1)……m_(?)……m_3m_2m_1m_0 (1) 式中任一项m_1为1或0。无论正整数m有多大,它的最低四位二进制数m_3m_2m_1m_0却只有16种可能的情况,即0000、0001、0010、0011、0100、0101、0110、0111、1000、1001、1010、1011、1100、11011110和1111。下面我们在证明这个特性时,虽然只讨论了最低四位的16种情况,但实际适合于所有的正整数。这就是穷举法的思想。现求m~2,以最低四位m_3m_2m_1m_0=1101为例,列竖式:     

n次对称群S_n的元素的阶的集合

<正> 我们试图给出 S_n 的元素的阶所构成的集合,为此,要用到下列的基本事实:1°任一个 n 个文字的置换可以分解为不相连的(即彼此无公共文字)循环置换的乘积.2°两个不相连的循环置换可交换.3°k 个文字的循环置换(a_1,a_2,…a_k)的阶为 k.4°群 G 的元素 g_1,g_2,…,g_s 的阶分别为 m_1,m_2,…,m_s,这些元素两两可换,这些阶数两两互质,则积 g_1g_2…g_s 真的阶为 m_1m_2…m_s.5°群 G 的元素 g_1,g_2…,g_s 的阶分别为 t_1,t_2,…,t_s,这些元素两两可换,则积g_1g_2…g_s 真的阶为 t_1,t_2,…t_s 的最小公倍数的因数.     

n维空间中方体表面的最短路

1983年在TYCMJ杂志上有人提示了3维空间中方体表面最短路的计数问题。1985年李慰萱和王子侠解决了这一问题。本文将这一问题推广到n维空间(n≥1)。设m_1,m_2,…,m_n为正整数,n维空间中的点集Ω={(x_1,x_2,…,x_n)|0≤x_i≤m_i,i=1,2,…,n}称为是一个m_1×m_2×…×m_n方体。先约定n≥2。     

关于乘法分拆的计数函数

本文讨论了乘法分拆的计数函数 g(n)并对 g(n)的均值作了下界的估值。一 引言考虑集合 T(n)={(m_1,m_2,…,m_s);n=m_1m_2…m_s,m_i>1,1≤i≤s},此处不计m_1,m_2,…,m_s 的次序。我们定义 g(n)=|T(n)|并且 g(1)=1。例如 g(24)=7,因为24=3·8=3·4·2=3·2·2·2=6·4=6·2·2=12·2.在1983年,John F.Hughes 和 J.O.Shallit 证明了 g(n)≤2n 2~(1/2)     

离散几何的两个铺砌问题

利用图论和代数的方法研究离散几何中的两个铺砌问题:1)给出1×2长方形铺砌多米诺骨牌的充分必要条件;2)对高维空间盒子的情形,给出m_1×m_2×…×m_n砖能够铺砌a_1×a_2×…×a_n盒子的一些必要条件和充要条件.     

直径为4的树的IC-着色和IC-指数

根据Salehi等人在Discrete Mathematics上提出的图的IC-指数及极大IC-着色的相关概念,研究了直径为4的树T=T(m_1,m_2,…,m_s)的IC=着色问题·得到了当2≤<_1,m_2,…,m_s-1≤m_s,s≥2时,树T的IC-指数为Π_j=1~s(2~mj+1)+(2m,+1),其极大IC-着色有|π|种,其中|π|为m_1,同_2,…m_…s-1的全排列数.这为确定图的IC-指数提供了一般方法.     

Frattini子群是无限循环群的有限生成幂零群

完整地确定了Frattini子群是无限循环群的有限生成幂零群的结构,证明了下面的定理.设G是有限生成幂零群,则G的Frattini子群是无限循环群当且仅当G可以分解为G=S×F×T,其中F是秩为s的自由Abel群,T=Z_m_1⊕Zm_2⊕…⊕Z_m_u,m_1,m_2,…,m_u都是大于1的没有平方因子的自然数,m_1|m_2|…|m_u,■式中d_1,d_2,…,d_r都是正整数,d_1|d_2|…|d_r.进一步,(d_1,d2,…,d_r;s;m_1…,m_2,…,m_u)是群G的同构不变量,即若群H也是Frattini子群是无限循环群的有限生成幂零群,那么G同构于H的充要条件是它们有相同的不变量.     

一个递推公式及其应用

本文介绍一个递推公式及其在解题中的广泛应用。1 递推公式设F(n)=a_1x_1~n+a_2x_2~n+…+a_kx_k~n(n≥0,n∈Z),构造以x_1,x_2,…,x_k为根的方程: x~k+m_1x~(k-1)+m_2x~(k-2)+…+m_k=0 我们称这个方程为F(n)的特征方程,则F(n)=a_1x_1~n+a_2x_2~n+…+a_kx_k~n(n≥k,x∈Z)满足下列递推公式:     

已知一条渐近线与一个焦点能唯一确定双曲线吗？

笔者在高考复习中发现江苏省 1 997年普通高等学校单独招生考试数学试题的最后一题 ,即第 2 5题是一道病题 .原题是这样的 :已知圆 C:x2 y2 - 1 0 x =0 ,过原点的直线l被圆 C所截得的弦长为 8,求以圆 C的圆心为一个焦点 ,以 l为渐进线的双曲线方程 .根据题意 ,过原点的直线 l被圆 C所截得的弦长为 8,这样的直线 l有两条 y =34x与 y =- 34x,到底以哪一条为渐近线呢 ,还是以这两条为渐近线呢 ?这里原题只说求以圆 C的圆心为一个焦点 ,以 l为渐近线的双曲线方程 .依题意 ,渐近线 l的选择可以任取一条 .这里就有这样一个问题 ;以一个点为焦点…     

关于三种规格的配套下料问题

<正> 文献[1]中指出,“对于n=2时有配套要求的条材下料问题,我们可以在平面坐标图上很快地加以解决。然而,在n≥3时,要用坐标作图法来解决这类问题,就不那么好办了。”“本文对n=3的情形——这是实践中最常遇到的——给出一个坐标作图解法定理。该解法简单易行,有在实践中推广的价值。     

无限板圆孔边四不等长裂纹问题

利用有限截项法研究了无限远处受任意角度单向均拉、无限大板圆孔边四不等长裂纹的应力强度因子和裂纹面张开位移问题,结果表明,当裂纹长与半径的比值大于2时,有限截项法和复变函数法所得应力强度因子的结果逼近程度较好.将圆孔边四条裂纹退化为两条裂纹时,应力强度因子的结果在裂纹长与半径的比值大于1.5时与复变函数解吻合较好;裂纹面张开位移的值仅在裂纹起始处与文献已有结果有差异,与已有的有限截项法结果均一致,即还原了两条裂纹的结果.     

六类Oberwolfach问题OP(4~a,s~b)的解

完全图K_n(n为奇数)或K_n-I(n为偶数,I为K_n的1-因子)是否有2-因子分解称Oberwolfach问题.每个2-因子恰包含α_i个长为m_i的圈(i=1,2,…,t)的Oberwolfach问题记为OP(m_1~(α_1),m_2~(α_2),…,m_t~(α_t)).证明了对任意的a≥0,b=2,3和s=3,5,6,且(a,s,b)≠(0,3,2),都存在OP(4~a,s~b)的解.     

重心坐标公式在不等式证明中的应用

本文介绍用重心坐标公式在平均值不等式证明中的应用,以供有趣的读者参考。一、预备知识 1.重心坐标公式设在同一平面上有质量分别为m_1、m_2、…几个质点A_1(x_1,y_1)、A_2(x_2,y_2)、…、     

线段和、差、倍、分的几种证明方式

线段的和、差、倍、分在几何证明中比较灵活 ,在解决问题中常用到的方法有 :截长法、补短法、加倍法、折半法等等 .1 .所谓截长法是指在较长的线段上截取一段等于其它两条线段中的一段 ,然后再证明截后所余线段等于两线段中的另一段 .所谓补短法即延长两线段中较短的一条 ,使其等于较短线段中的另一条 ,然后证明延长后所得的线段等于较长的线段 .以上两种方法常常用来解决两条线段的和、差等于另一条线段的问题 .例 1　如图 ,已知△ABC中 ,∠A =2∠B ,CD平分∠ACB .求证 :BC =AC +AD .证明 :(截长法 )在CB上截取CE =CA .∵CD平分…     

一个作N~(1/2)的几何法

我们现在要讨论的问题是用几何法(又叫尺规作图法)在实数轴上作出诸如2~(1/2),3~(1/2),4~(1/2)…,82~(1/2)…,N~(1/2)…,(N为自然数)各点,为叙述方便,我们约定: (1)N~(1/2)x＆y意为N~(1/2)可表示分别以x及y为两条直角边所作成的直角三角形之斜边。     

尼姆博奕的推广

[1]中给出了所谓尼姆博奕(三堆物博奕),也即下述问题中n=3之情形: 给定n堆物体,每堆物体之个数分别为m_1,m_2,…,m_n。两个局中人可以轮流从某一堆(每次可以随意选择一堆)一次取任意个数的物体(但不得不取),谁能最后一次拿走剩下的所有物体,就算优胜。我们知道,任何自然数都可以唯一地表示为2的不同方幂之和。例如: 17=2~4 2~0 29=2~4 2~3 2~2 2~0; 83=2~6 2~4 2~1 2~0. 而且,由于2~0 2~1 2~2 … 2~(n-1)<2~n。如果p是从2~0,2~1,2~2,…。2~(n-1)中选取若干个相加而成的,则P<2。     

截长补短证“和差”

<正>平面几何的证明问题中,有一类题目是关于线段的和差问题即证明两条线段的和(差)等于另一条线段.在证明过程中,一般需要添加辅助线,而最常见的添加方法为延长法(补短)或截取法(截长).若要证的线段和差形如线段a=b+c.延长法(补短):根据图形,适当作出线段d=b+c,然后证:d=a;截取法(截长):根据图形,适当作出线段e=a-b,然后证:e=c.     

复合Poisson模型中“双界限”分红问题

引入了复合Poisson模型中的"双界限"分红模型,在这种模型中,当盈余超过上限时分红以不超过保费率的速率付出,低于下限后保费率增大.文中利用Gerber- Shiu函数来分析这种模型,先导出了Gerber-Shiu函数m_1,m_2,m_3满足的积分-微分方程,再给出m_1,m_2,m_3的解析表示,最后通过几步把Gerber-Shiu函数m(u;b_1,b)的解析式表示出来.