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三角形某些“伴心“的性质 总被引:2,自引:2,他引:0
引理 设P为△ABC所在平面上一点,且直线AP、BP、CP分别交直线BC、CA、AB于点D、E、F,D′、E′、F′分别为D、E、F关于各自所在边的中点的对称点,则 AD′、BE′、CF′必交于一点Q. 由于BD′=CD,CE′=AE,AF′=BF,应用Ceva定理及其逆定理,即可证明. 这样,P和Q就成为△ABC的一对“伴心”.比如,若P为内心I,则Q就是伴内心I′;若P是△ABC的垂心H,则Q就是伴垂心H′等等.若将P叫做“本心”,Q就叫做伴心,相应的△DEF叫本心三角形,△D′E′F′则叫做伴… 相似文献
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关于伪垂心的极值特征 总被引:2,自引:0,他引:2
关于伪垂心的极值特征夏中全(重庆市武隆县中学校408500)设△ABC的三条高为AD,BE,CF,垂心为H,点D关于BC边中点的对称点为D′,E关于CA边中点的对称点为E′,F关于AB边中点的对称点为F′.则由Cave定理易知,三直线AD′,BE′,... 相似文献
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一个新发现的三角形特殊点 总被引:3,自引:0,他引:3
一个新发现的三角形特殊点方廷刚(四川攀枝花十九冶二中617062)设△ABC的三高为AD,BE,CF,垂心为H,点D关于BC边中点的对称点为D’,E关于CA边中点的对称点为E',F关于AB边中点的对称点为F',有引理三直线AD’,BE’,CF’共点.... 相似文献
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有关三角形内心性质命题的评注 总被引:1,自引:1,他引:0
文[1]介绍了有关三角形内心性质的如下一个命题:设△ABC的内角平分线AD、BE、CF相交于I,求证: AIDI+BIEI+CIFI≥6.①无独有偶,文[2]用三角形的有关心距公式对第32届IMO的一道试题给出了解答.题目为:设I为△ABC的内心,AI、BI、CI分别交对边于A′、B′、C′,则 AIAA′·BIBB′·CICC′≤827.②图1实际上,这两个问题都可以用共边比例定理简捷地解决.先证明①式.证明 如图1,设△BIC面积为S1,△AIC面积为S2,△AIB面积为S3,△A… 相似文献
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如图1,△ABC的三条高分别为AD、BE、CF,垂心为H,点D关于BC边的中点的对称点为D′,点E关于CA边中点的对称点为E′,点F关于AB边中点的对称点为F′,则由Ceva定理易知AD′,BE′,CF′三线共点,记为H′,称H′为△ABC的伴垂心[3],又叫伪垂心[1][2]. 相似文献
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设Fx为△ABC的三边a,b,c中除x边的另两边所在折线的中点,称Fx为相对于x边的折中点.对于△ABC的折中点,有如下 定理 如图 1,设Fx是△ABC的折中点,Ix是△ABC中x边对角的平分线与x边的交点,x∈{a,b,c},a≥b≥c,则FaIa、FbIb、FcIc三线共点的充要条件是a=b或b=c. 定理的证明需用到如下引理: 引理 1 条件同定理,则IaIb//FaFb且 证明 如图1,由内角平分线性质得 从而同理有于是,且有 引理 2 如图2,P,Q为△ABC边AB,AC上的点,PQ // BCJ… 相似文献
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关于几何恒等式有好多 ,不胜枚举 .今介绍如下一个几何恒等式 ,并给出它的应用 .定理 1 设△ABC的三边a、b、c上的高分别为ha、hb、hc,P为△ABC内部的任意一点 ,过P向三边作垂线段PD =ra,PE=rb,PF =rc,若设△ABC、△DEF的面积为△与△′ ,则有 4△△′ =rarbhahb rbrchbhc rcrahcha. ( 1)证明 如图 1,因为PD⊥BC ,PE ⊥CA ,PF ⊥AB ,故 ∠A ∠EPF =π ,∠B ∠FPD =π ,∠C ∠DPE =π .由三角形的面积公式可得 △′ =S△EPF S△FPD … 相似文献
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《数学通报》2002,(5)
20 0 2年 4月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 366 如图 ,⊙O1 和⊙O2 是△ABC的边AB、AC外的两个旁切圆 ,E、J、G和F、K、H是切点 ,直线EG、FH交于P点 ,直线EJ、FK交于I点 ,AD ⊥BC于D ,求证 :P、A、I、D四点共线 .(江苏省苏州市第十中学 沈建平 2 1 5 0 0 6)证明 设BC=a ,CA=b,AB =c ,R是△ABC外接圆半径 ,直线EG、AD交于P′ ,直线FH、AD交于P″,下面设法证明P、P′、P″是同一点 .因为c+AH=a+CF ,所以c + (b-CF) =a +CF ,CF =b+c-a2 .在Rt△… 相似文献
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如图 1,△ ABC的三条高分别为 AD、图 1BE、CF,垂心为 H ,点 D关于 BC边的中点的对称点为 D′,点 E关于 CA边中点的对称点为 E′,点 F关于 AB边中点的对称点为 F′,则由 Ceva定理易知AD′,BE′,CF′三线共点 ,记为 H′,称 H′为△ ABC的伴垂心 [3 ] ,又叫伪垂心 [1 ] [2 ] .约定 :伴垂心 H′到△ ABC三边 BC、CA、AB的距离分别为 r1 、r2 、r3 ,三边 BC、CA、AB的长分别为 a、b、c,其上的高分别为 ha、hb、hc,面积为△ ,外接圆半径为 R.△ D′ E′ F′的面积为△′.我们需要下述引理 :引理 1[3 ] 在△ ABC中 ,有A… 相似文献
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20 0 2年 1 0月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 96 ⊙O是△ABC的内切圆 .D、E、F是BC、CA、AB上的切点 ,DD′、EE′、FF′都是⊙O的直径 .求证 :直线AD′、BE′、CF′共点 .(安徽省怀宁江镇中学 黄金福 2 461 42 )证明 设直线AD′、BE′、CF′交BC、CA、AB于A′、B′、C′.过D′作⊙O切线交AB、AC于M、N显然MN ∥BC △AMD′∽△ABA′,△AD′N ∽△AA′C . MD′BA′ =AD′AA′ =D′NA′C BA′A′C =MD′D′N①连结OM、ON .记⊙O半径… 相似文献
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第一课 正弦和余弦(一)一、启发提问1.如图6-1,在△ABC中,∠C=90°.(1)如果∠A=30°,则ac=,bc=.(2)如果c=2a,则∠A=,∠B=.图6-1 图6-2 2.如图6-2,在△ABC中,∠C=90°.(1)如果∠A=45°,则ac=,bc=.(2)如果a=b,则∠A=,∠B=.3.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中:∠C=∠C′=90°.(1)如果∠A=∠A′,那么:BCAB=B′C′A′B′成立吗?(2)如果BCAB=B′C′A′B′,那么:∠A=∠A′… 相似文献
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1两道联赛题 例 1 给定一圆内接△ABC,设 A'B'和C'分别是连结A'C'A'B'分别交AB、AC于D、E.求证:DE//BC,且DE经过△ABC的内心. 这是全俄第五届(1965年)数学竞赛的一道试题[1],现给一简明的证法如下. 证明 连结 A'B、BC',设F是BC与A'C'的交点,如图1.A'B=A'I.同理 C'B=C'I, A'C是线段BI的中垂线. BI平分 B, BI是DF的垂直平分线, DBFI是菱形, DI//BF,即 DI//BC. 同理可证 IE//BC, 故 DE//BC,且DE过△ABC的内… 相似文献
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20 0 1年 1 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 4 1 锐角三角形ABC中有内接△DEF ,且FD⊥BC于D ,DE ⊥AC于E ,EF ⊥AB于F ,求证 :S△ABC ≥ 3S△DEF.(武汉华中理工大学西十四舍 5号 黄元兵 43 0 0 74)证 △ABC三边分别与△DEF三边垂直 ,又△ABC为锐角三角形 ,有∠A =∠DEF ,∠B =∠EFD ,∠C =∠FDE即有△ABC ∽△DEF .又公比q=BCDF =BDDF CDDF=cotB DEDFsinC=cotB sinBsinAsinC =cotB sin(A C)sinAsinC=… 相似文献
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一个定理的应用及推广226321江苏通州市二甲中学曹兵1定理若E、F分别为正方形ABCD的边CB、DC上的点,那么2证明如图1,将Rt△ABE绕点A逆时针旋转90°至Rt△ADE′,则点F、D、E′必共线,于是,证毕.3应用例1已知正方形ABCD的... 相似文献
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在平面几何中,一道常见题是:过△ABC的重心G任作一直线,分别交边AB、AC于K及L两点,则ABAK+ACAL=3.用内心与重心作类比,则有性质定理过△ABC内心I任作一直线,分别交边AB、AC于K及L两点,则ACABAK+ABACAL=AB+AC+... 相似文献