Some numerical investigations on empirical strain energy functions in the large axi-symmetric extensions of rubber membranes

Zusammenfassung Ein numerisches Verfahren zur Behandlung von axial-symmetrischen Membranproblemen bei endlichen elastischen Formänderungen wird auf die Verwölbung einer kreisförmigen elastischen Membran angewendet. Die zur Lösung notwendige numerische Integration der Gleichgewichtsbedingungen erfolgt bei den gewählten Beispielen mit Hilfe einer für die Berechnung mit Handrechenmaschine gebräuchlichen Differenzmethode.Gestützt auf mehrere experimentelle und theoretische Arbeiten werden zur Untersuchung der Lösung des Membranproblems verschiedene Formen der FormänderungsenergieW bei grossen Deformationen betrachtet (10<I ₂<1000). Eine Verallgemeinerung der logarithmischen Form fürW vonGent undThomas erweist sich als ungeeignet für die betrachtete Ordnung der Deformation. Durch Anpassung der Parameter in der Drei-Parameter-Gestalt der Formänderungsenergie vonCarmichael undHoldaway wird eine gute Übereinstimmung mit dem Experiment erhalten. Für diese Lösungen besitzt W/I ₁ einen konstanten Wert bei der Deformation, was eine frühere Feststellung vonRivlin undSaunders für Werten vonI ₂ bis 1000 bestätigt. Das Versagen der logarithmischen Form vonW ist auf die starke Abnahme von W/I ₂ im Bereich grosser Dehnungen zurückzuführen.

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The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored by the National Science Foundation under Grant GP-991.     

Load-absorption by a filament in a fiber-reinforced material

Zusammenfassung Die Arbeit befasst sich mit der statischen Lastübertragung auf eine halbunendliche elastische Faser, die in einer unendlich ausgedehnten elastischen Matrix mit bestimmten mechanischen Eigenschaften eingebettet ist. Im Unendlichen wird für die Matrix ein einachsiger Spannungszustand parallel zur Faser angenommen. Mit Hilfe eines angereicherten Vorgehens lässt sich die gesuchte Faserkraft durch eine Fredholmsche Integralgleichung zweiter Art charakterisieren. Zur Erleichterung der numerischen Lösung der Integralgleichung wird das asymptotische Verhalten der von der Faser aufgenommenen Kraft herangezogen. Eine Reihe quantitativer Resultate zeigt die Vertiefung der Faserkraft und ihre Abhängigkeit von den physikalischen Parametern; ferner wird die Singularität am Faserende diskutiert.

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Dedicated to Professor Ziegler on his sixtieth birthday

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The results communicated in this paper were obtained in the course of an investigation conducted under Contract Nonr-220(58) with the Office of Naval Research in Washington, D.C.     

The influence of finite electrical conductivity on the development of magnetically driven shock in MGD-(β≪1)-approximation1)

Zusammenfassung Zur Lösung der infolge von Dissipationstermen parabolisch entarteten, ein-dimensionalen, instationären MGD Grundgleichungen wird eine numerische Lösungsmethode angegeben, die in engem Zusammenhang mit der Charakteristikentheorie entwickelt wurde und speziell im Falle schwacher Dissipation günstige Stabilitätseigenschaften hat. Mit dieser Methode wird die instationäre Ausbreitung eines magnetisch getriebenen Stosses und sein strukturelle Entwicklung numerisch untersucht. Als Grundlage für die Rechnung dienen die auf endliche magnetische Reynolds-Zahl erweiterten MGD Grundgleichungen in (1)-Approximation.

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The research described in this document was made possible by a research grant from the US government.     

Ein heuristisches Verfahren zum Entwurf nachfrageorientierter Linienführung im öffentlichen Personennahverkehr

Zusammenfassung Auf einem gegebenen Verkehrsnetz ist ein Linienplan in der Weise zu entwerfen, daß unter Einhaltung betrieblicher Bedingungen eine möglichst geringe mittlere Reisezeit pro Verkehrswunsch erreicht wird. Ein heuristisches Verfahren zur Erzeugung nachfrageorientierter Linien wird für dieses Reihenfolgeproblem vorgestellt. Auf Grundlage der Verkehrsstromgrößen werden die Netzelemente nach Prioritäts- und Austauschregeln zum Linienplan verknüpft.

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Summary On a given traffic network public transport routes must be designed in such a manner, that a low average travelling for the user will be achieved with regard to constraints of service. A heuristic procedure is represented to obtain demand oriented traffic routes. The elements of the network are connected according to rules of priority and exchange on the basis of traffic flow.

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Diese Arbeit wurde im Rahmen des von Prof. Dr. H.H. Weber betreuten Forschungsprojekts Entwicklung eines Programmablaufs zur Berechnung von nachfrageorientierten Netzen des öffentlichen Personennahverkehrs auf Grundlage eines Planungsinformationssystems We 372/5 durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft gefördert.     

On the wall effect correction of the Stokes drag formula for axially symmetric bodies moving inside a cylindrical tube

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird der Einfluss der Wand auf die Bewegung eines rotationssymmetrischen Körpers längs der Achse eines mit zäher Flüssigkeit gefüllten Rohres betrachtet. Der Widerstand des Körpers wird unter der Voraussetzung berechnet, dass die Dimensionen des Körpers gegenüber dem Radius des Rohres klein sind. Wir finden für den WiderstandD eines Körpers, der sich mit der GeschwindigkeitU längs der Achse einer zylindrischen Röhre mit dem inneren RadiusR bewegt, woD _o der Widerstand des Körpers in einer sonst den ganzen Raum füllenden Flüssigkeit, eine Konstante etwa gleich 2.203, und die Viskositätskonstante ist.

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Research done under U.S.Air Force Office of Scientific Research Contract Nr. AF 49 (638)-521.     

The optimum strategy for choosing the maximum ofN independent random variables

Summary In this paper the problem of choosing the maximum of a given number of Random Variables (R.V.'s) has been considered when they are presented sequentially and their distribution is known. Only one R.V. can be accepted and in each case when a R. V. is presented it is either accepted, or rejected never to be accepted later. The strategy which maximizes the probability of obtaining the largest R. V. is obtained and called the optimum strategy. When this optimum strategy is followed, the probability of choosing any particular order statistic is determined and shown to be independent of the distribution of the R. V.'s. The asymptotic distribution of the order statistic chosen is found and selected probabilities listed in the Tables. Also included is a table of the optimum strategy and a graph of the number of R. V.'s to be sampled if one wishes the R. V. chosen to be in the top fraction of the population with a given probability.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird das Problem der Wahl des Maximums einer gegebenen Anzahl von unabhängigen, identisch verteilten, Zufallsvariablen behandelt. Diese Zufallsvariablen sollen der Reihe nach vorgestellt werden. Ihre Verteilung ist bekannt. Jede Zufallsvariable kann entweder angenommen werden, oder sie ist für immer verloren. Hat man einmal eine bestimmte Zufallsvariable angenommen, so kann keine zweite mehr angenommen werden. Die Strategie, die die Wahrscheinlichkeit maximiert, daß man unter den gegebenen Zufallsvariablen die größte findet, wird entwickelt und optimale Strategie genannt. Es wird die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmt, daß man bei Vorgehen nach dieser optimalen Strategie eine bestimmte Ranggröße erhält, und dabei gezeigt, daß sie unabhängig ist von der Verteilung der Zufallsvariablen. Es wird die asymptotische Verteilung der gewählten Ranggrößen bestimmt und die Wahrscheinlichkeit auszugsweise tabelliert. Beigefügt ist eine Tabelle für die optimale Strategie und eine graphische Darstellung der Anzahl der Zufallsvariablen, die man höchstens prüfen muß, wenn man wünscht, daß bei gegebener Wahrscheinlichkeit die gewählte Zufallsvariable über einer -Fraktile liegt.

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Mitteilung aus dem Zentral-Laboratorium für Nachrichtentechnik der Siemens A.G., München.

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Vorgel. v.:J. Heinhold     

On the „bayesification“ of the minimax principle

Summary The term Bayesification is introduced as meaning the adoption of criteria, that keep the Bayes type of solution as far as the knowledge of the probability distribution over the states of nature extends. A general decision model in Wald's sense is developed, Bayes and minimax solution are defined and reasons are given for the Bayesification. Neither the Bayes nor the minimax criterion per se allow Bayesification. In order to get a Bayesification in the above sense the Bayes type of solution is extended to a certain combination of Bayes and minimax type of solution. This extension is generalized in order to provide a mechanism that allows the decision maker to incorporate into the decision criterion any a priori information available. It is shown that special cases of the generalized criterion are Bayes solution, minimax solution, and a solution analogous to that ofHodges andLehmann. Another special case of the generalized criterion is shown as a special case of a criterion proposed bySchneeweiss.

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Zusammenfassung Der Begriff Bayesifikation wird als eine bestimmte Verhaltensweise bei der Wahl von Kriterien eingeführt. Bayesifikation bedeutet das Verhalten, das den Bayes'schen Lösungstyp solange beibehält, wie die Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Zuständen der Realität reicht. Ein allgemeines Entscheidungsmodell im Sinne Walds wird entwickelt, die Bayes'sche und die Minimax-Lösung werden definiert, und es werden Gründe für die Bayesifikation angegeben. Weder das Bayes'sche noch das Minimax-Kriterium gestatten von sich aus die Bayesifikation. Um zur Bayesifikation im obigen Sinne zu gelangen, wird der Bayes'sche Lösungstyp zu einer bestimmten Kombination aus Bayestyp und Minimaxtyp erweitert. Diese Erweiterung wird verallgemeinert, um einen Mechanismus zu schaffen, der dem Entscheidenden erlaubt, jede verfügbare a-priori-Information dem Entscheidungskriterium zu inkorporieren. Es wird gezeigt, daß die Bayes'sche Lösung, die Minimax-Lösung und die Lösung vonHodges undLehmann Sonderfälle dieses verallgemeinerten Kriteriums sind. Ein anderer Sonderfall des verallgemeinerten Kriteriums wird als Sonderfall des vonSchneeweiss vorgeschlagenen Kriteriums dargelegt.

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Diese Studie ist im Rahmen eines Forschungsauftrags des Bundesministeriums der Verteidigung entstanden. Eine erste Fassung hat der Verfasser am 1. März 1965 als Gastvortrag an der University of Alberta, Edmonton (Alberta), die vorliegende Fassung am 5. April auf der Conference on Game Theory an der Princeton University, Princeton (New Jersey) vorgetragen.

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Vorgel. v.:W. Krelle.     

Optimal scheduling of unit-time tasks on two uniform processors under tree-like precedence constraints

An O(n ³/(b+1)) time algorithm to obtain a minimum finish time schedule subject to tree-like precedence constraints for unit-time tasks on two uniform processors is obtained. It is assumed that the slower processor takesb time units for each one taken by the speedier one, for some integerb. It is also noted that a slight modification of this schedule yields a minimum mean flow time schedule.

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Zusammenfassung Es wird ein Algorithmus der Ordnung O(n ³/(b+1)) zur Ermittlung der frühesten Fertigstellungszeit für Schedulingprobleme mit 2 Prozessoren und baumartigen Präzendenzbeziehungen angegeben. Dabei wird angenommen, daßt die Durchführung jeder einzlnen Aufgabe gleich lange dauert, der langsamere Prozessor jedochb Zeiteinheiten (b ganzzahlig) zur Durchführung einer Aufgabe benötigt. Ferner wird gezeigt, dafß eine leichte Modifikation der Lösung eine Reihenfolge mit minimaler mittlerer Durchlaufzeit ergibt.

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This research is supported in parts by NSERC Grant A4619 and the Manufacturing Research Corporation of Ontario.

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On leave from Department of Computer Science, Technical University of Gdansk.     

Direct numerical determination of the stress field in a thin elastic disk

Zusammenfassung Die gebräuchlichen Methoden der numerischen Spannungsbestimung in zwei- oder dreidimensionalen elastischen Kontinua haben indirekten und kinematischen Charakter. Das Verschiebungsfeld wird durch eine Linearkombination lokalisierter Verschiebungsfelder angenähert, deren Intensitäten nach dem Prinzip der minimalen potentiellen Energie bestimmt werden. Angenäherte Spannungen werden dann erhalten durch Anwendung des Hookeschen Gesetzes auf die Verformungen des angenäherten Verschiebungsfelds. Im Gegensatz zu diesem Vorgehen entwickelt die vorliegende Arbeit eine statische Methode zur unmittelbaren Bestimmung der Spannungen in einer dünnen elastischen Scheibe. Das Spannungsfeld wird durch eine Linearkombination von lokalisierten Feldern stückweise konstanter Spannung angenähert, in denen nur die zur Trennungslinie benachbarter Felder konstanter Spannung parallele Normalspannung unstetig ist. Die Intensitäten dieser lokalisierten Spannungsfelder werden nach dem Prinzip der minimalen Ergänzungsarbeit bestimmt. Die sich ergebenden linearen Gleichungen für diese Intensitäten werden besprochen und durch numerische Beispiele illustriert.

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This research was supported by the Advanced Research Projects Agency (Project DEFENDER) and was monitored by the U.S. Army Research Office-Durham under Contract DA-31-124-ARO-D-257     

A quasi-iterative method for computing interface temperature distributions

Zusammenfassung Es wird ein einfaches Modell für gleitenden Kontakt vorgeschlagen, zur Ermittlung der Verteilung des Verschleisses, die ihrerseits mit der Verteilung der Temperatur längs der Gleitfläche zusammenhängt. Dabei wird eine relativ einfache Methode entwickelt für die Berechnung der Verteilung der Gleitflächentemperatur. Die Methode ist im wesentlichen iterativ; im besondern verringert die hier entwickelte quasi-iterative Methode die Anzahl der Quasi-Iterationen beträchtlich—in den meisten Fällen auf nicht mehr als eine. Dieses Verhalten wird an einem Beispiel erläutert. Obwohl die dargestellte Methode iterativ ist, erfordert sie weniger Rechenarbeit, als für die numerische Lösung des Problems bei vorgeschriebener Genauigkeit notwendig wäre.Es wird auch gezeigt, dass das Modell als Analogon für die Inversion einer Klasse von singulären Integralgleichungen erster Art dienen kann.

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The research was supported by the United States Air Force Office of Scientific Research, Air Research and Development Command, under Contract No. AF 49(638)-67.     

An isoperimetric problem for sloshing in a shallow convex container

Zusammenfassung Es wird die Aufgabe der freien Flüssigkeitsschwingungen in Behältern geringer Tiefe untersucht, und zwar für ebene und axial-symmetrische Schwingungen. Insbesondere wird die Frage beantwortet, welchen Wert die zweite harmonische Schwingungsfrequenz höchstens annehmen kann, wenn zwar der Inhalt des Behälters vorgegeben ist, dagegen nicht seine Gestalt. Im Gegensatz zu einer früheren Untersuchung werden jedoch für dieses isoperimetrische Problem nur konvexe Behälter zugelassen. Mathematisch lässt sich das Ergebnis etwas weiter fassen: Es wird eine obere Schranke für den niedrigsten (nicht trivialen) Eigenwert einer Klasse von Sturm-Liouville Aufgaben ermittelt, wobei sich herausstellt, dass zur Abgrenzung dieser Klasse zwei feste Punkte im Integrationsintervall eine ausschlaggebende Rolle spielen.

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Dedicated to Professor H. Ziegler on his 60th birthday

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The work presented here was supported in part by the National Science Foundation under grant GP-7522.     

Theory of oscillation type viscometers III: A thin disk

The small amplitude oscillation of a thin disk of finite radius suspended in an infinite fluid is considered with a view toward its use as a viscometer. The fluid motion is analyzed under the assumption that the boundary layer thickness of the fluid is small compared with the radius of the disk but large compared with the thickness of the disk. Formulas are obtained relating the frequency and decrement of oscillation to the density and viscosity of the fluid.

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Zusammenfassung Es wird untersucht, inwieweit eine dünne aufgehängte Scheibe endlicher Abmessung, wenn sie mit kleiner Amplitude schwingt, sich zur Messung der Zähigkeit verwenden lässt. Die Bewegung der Flüssigkeit wird unter der Voraussetzung analysiert, dass die Grenzschichtdicke klein ist im Vergleich zum Radius der Scheibe, aber gross verglichen mit der Scheibendicke. Die Formeln zeigen die Abhängigkeit der Frequenz und des logarithmischen Dekrements der Schwingung von der Dichte und der Zähigkeit der Flüssigkeit.

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This research was supported by the United States Air Force through the Air Force Office of Scientific Research of the Air Research and Development Command, under contract No. AF 18 (600) 1548. Reproduction in whole or in part is permitted for any purpose of the United States Government. Part of the work was done while one of the authors (G. F. N.) was being supported by a grant from the Alfred P. Sloan Foundation.     

Approximate solution of boundary layer problems with injection or suction

Zusammenfassung Der grundlegende linearisierte Ansatz zur Näherungslösung von Grenzschichtproblemen wird auf neue Anwendungen erweitert, um die Behandlung von Problemen mit Massenaustausch durch die Oberfläche zu ermöglichen und die Beschränkung auf die Prandtl-Zahl 1 zu mildern. Das klassische Problem der konstanten, d. h. nicht ähnlichen Geschwindigkeitsverteilung an der Oberfläche wird behandelt, und die Ergebnisse werden mit der exakten numerischen Lösung verglichen. Es ergibt sich eine ausgezeichnete Übereinstimmung. Sodann wird eine Lösung des schwierigen und praktisch wichtigen Problems einer Stufenfunktion für die Oberflächengeschwindigkeit gegeben. Die freie Konvektion über einer vertikalen Platte mit konstanter Temperatur und Oberflächengeschwindigkeit wird erstmalig gelöst. Schliesslich wird das der Schlitzeinspritzung entsprechende Anfangswertproblem unter Milderung der bisherigen AnnahmeP _r =1 behandelt.

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This work was supported by the National Science Foundation, Grant No. GK-310,     

A Saint-Venant principle for a class of second-order elliptic boundary value problems

Zusammenfassung Ein Saint-Venantsches Prinzip für eine gewisse Art von Randwertproblemen elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung wird bewiesen. Der Beweis erfordert die Abschätzung verschiedener energie-artiger Funktionale, die zur Herleitung von lokalen Schranken für die Lösung erforderlich sind. Zur Veranschaulichung wird das Prinzip auf die Berechnung der Kanalströmung einer zähigkeitslosen Flüssigkeit angewendet.

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This research was supported in part by the United States Office of Naval Research under Contract Nonr 220(56). Reproduction in whole or in part is permitted for any purpose of the United States Government.     

On the use of variational methods in steady magneto-gas dynamics

Zusammenfassung Nachdem gezeigt wurde, unter welchen Bedingungen die Ableitung einer Potentialgleichung in der Magnetogasdynamik möglich ist, wird diese diskutiert. Da sie beim Übergang vom unterkritischen in den überkritischen Bereich den Typ ändert, ist das Variationsverfahren die einzige Möglichkeit, eine geschlossene Lösung für beide Bereiche zu erhalten. Es wird das zur Potentialgleichung gehörige Variationsproblem abgeleitet und für die Umströmung eines Zylinders mitk=1,5 gelöst. Die beiden Figuren (Figur 1 im Maßstab 133 und Figur 2 im Maßstab 116,6) stellen die Strömungslinien und die Linien gleicher Mach-Zahl für einen Zylinder mit dem RadiusR=1m bei einem MagnetfeldH=10000 und einer AnströmgeschwindigkeitU=500 m/sec dar.

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The research reported in this paper has been made possible by the support of the United States Government.     

The laminar boundary layer on a blunted wedge

Zusammenfassung Es wird die Grenzschicht an einem abgestumpften Keil mit Hilfe der Görtlerschen Reihe berechnet. Man findet, von der Staupunkt-Grenzschicht ausgehend, eine asymptotische Annäherung an die Grenzschichten von Falkner und Skan; die asymptotische Lösung wird mit Hilfe der Reihe sehr befriedigend dargestellt, besonders nach Anwendung von verschiedenen Methoden zur Verbesserung der Konvergenz. Zudem wird die Annäherung an die Lösung im Unendlichen analytisch untersucht, wobei sogenannte asymptotische Eigenfunktionen auftreten.Die rechnerisch ausgewertete Lösung für einen Keil mit rechteckigem Öffnungswinkel kann als Vergleichsfall zur Beurteilung von numerischen Methoden benützt werden.

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To ProfessorHenry Görtler on his sixtieth birthday

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The research carried out at UCSD was supported by the Advanced Research Projects Agency (Project DEFENDER) under Contract No. DA-31-124-ARO-D-257, monitored by the U.S. Army Research Office-Durham.

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The research carried out at Stanford was supported by the Air Force Office of Scientific Research under Contract No. AF49(638)-1274.     

Symmetriegerechte Polynome von Punktgruppen

Zusammenfassung Algorithmische Bestimmung von symmetriegerechten Polynomen (Kugelfunktionen) in kartesischen Koordinaten bezüglich einer beliebigen endlichen PunktgruppeGO _h . Dabei erfolgt die Berechnung der zugehörigen Koeffizienten, im Gegensatz zur bisherigen Literatur,exakt.Als Anwendung des Algorithmus wird in einem ersten Beispiel für die volle Tetraedergruppe eine Tabelle symmetriegerechter Polynome bis zum Gradn=9 erstellt.In einem weiteren Beispiel erfolgt die Berechnung aller irreduziblen Darstellungen der eigentlichen Ikosaedergruppe aus ihrer Charakterentabelle.

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The algorithmic determination of symmetry-adapted polynomials (spherical harmonics) in Cartesian coordinates is described.In contrast with the literature, all coefficients of these polynomials can be calculated exactly.A table of symmetry-adapted polynomials (degree up to 9) of the tetrahedral group is given as an application of the algorithm.In another example all the irreducible representations of the icosahedral group are calculated by using its character table.

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Unserem verehrten Lehrer Professor E. Stiefel gewidmet     

Load-absorption by a discontinuous filament in a fiber-reinforced composite

Zusammenfassung Diese Arbeit befasst sich analytisch mit der statischen Kraftübertragung auf eine einzelne unendliche, elastische Faser, die an einem Querschnitt unterbroche ist. Die Faser ist vollständig in einem unendlich ausgedehnten Körper von anderen elastischen Eigenschaften eingebettet. Der Körper selbst ist im Unendlichen einer einachsigen Zugspannung parallel zur Faser ausgesetzt. Die Charakterisierung der gesuchten Faserkraft wird durch eine schon früher erprobte Annäherungsmethode auf eine Fredholmsche Integralgleichung zweiter Art zurückgeführt und die letztere wird auf numerischem Wege gelöst. Die Verteilung der Faserkraft ist für verschiedene Werte des Verhältnisses der beiden Elastizitätsmodulen dargestellt.

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The results communicated in this paper were obtained in the course of an investigation conducted under Contract N00014-67-A-0094-0020 with the Office of Naval Research in Washington, D.C.     

Mathematische Programmierung in der Zementindustrie

Zusammenfassung Mit Hilfe der Methoden der Mathematischen Programmierung wird für eine Zementfabrik ein Modell gebildet, das gestattet, die optimale Größe der Klinkerhalle, Mahlanlage und Siloanlage zu berechnen. Vorgegeben ist eine jährliche Klinkerproduktion von 500 000 Tonnen; in Abhängigkeit vom saisonalen Absatzverlauf, dem Tarif für die elektrische Energie und Leistung, dem Baukostenverlauf für variable Größe der betrachteten Anlageteile, der technischen Lebensdauer dieser Anlageteile und dem langfristigen Zinssatz werden die gesuchten optimalen Größen berechnet. Der Absatzverlauf, der dieser Berechnung zugrunde liegt, wird zuerst durch eine Erweiterung der dualen Aufgabe des primären linearen Programms hergeleitet; dieser Absatzverlauf muß so gewählt werden, daß die Lösung des linearen Programms eine fat solution im Sinne der linearen Programmierung unter Unsicherheit ergibt; dies führt auf eine quadratische Programmierungsaufgabe. Abschließend werden einige numerische Resultate diskutiert.

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Summary A model for a cement factory is developed by using the methods of mathematical programming, which allows to calculate the optimum capacity of the clinker hall, grinding works and silo plant. An annual clinker output of 500 000 tons is given; the desired optimum capacities are calculated in dependence on the seasonal sales trend, electrical power rates, the trend of building costs of the variable plant capacities taken into consideration, the technical life-span of the plant and the long-term rate of interest. The sales trend taken as a basis for these calculations is first derived from an extension of the dual problem of the primary linear program. This sales trend is thus chosen that the solution of the linear program results in a fat solution in the sense of the linear programming under uncertainty. In order to find out this underlying sales trend a quadratic programming problem has to be solved. In conclusion some numerical results are discussed.

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Bezeichnungen: In den folgenden Ausführungen sind Matrizen mit großen Buchstaben bezeichnet, Zeilenvektoren mit kleinen Buchstaben mit waagrechtem Pfeil; Koeffizienten und Konstante sind durchwegs mit kleinen Buchstaben bezeichnet.

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Dissertation, angenommen von der Rechts- und Staatswissenschaftlichen Fakultät der Universität Zürich. Ich möchte dem Referenten, Herrn ProfessorH. P. Künzi, hier meinen Dank aussprechen. Der Zementfabrik Holderbank AG bin ich für die großzügige Unterstützung zu Dank verpflichtet; ebenfalls möchte ich der Firma IBM danken für die Zurverfügungstellung einer IBM 7090-Rechenanlage.

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Vorgel. v.:H. P. Künzi     

Optimierung von Funktionalen unter nichtholonomen Nebenbedingungen

Zusammenfassung Es wird die Minimierung gewisser stetiger Funktionale unter Nebenbedingungen in der Form eines Differentialgleichungssystems betrachtet. In Teil I dieser Arbeit untersuchen wir die Existenz von Lösungen unserer Aufgabenstellung und leiten für eine Klasse von Funktionalen, die neben den bestimmten Integralen noch andere für die Praxis wichtige Funktionale umfaßt, eine Funktionalgleichung ab. Diese bildet die Grundlage eines in Teil II (veröffentlicht im nächsten Heft dieser Zeitschrift) angegebenen Verfahrens zur Berechnung von Minimalfolgen unseres Problems, das eine Verallgemeinerung der Methode der dynamischen Optimierung darstellt. Zum Schluß wird die Frage der Konvergenz einer Minimalfolge gegen eine Lösung diskutiert.

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Summary This study contains the minimization of certain continuous functionals under constraints in the manner of a system of differential equations. In part I of this paper we examine the existence of solutions of our problem and derive a functional equation for a class of functionals which includes the determined integrals and other for the practice important functionals. This functional equation is the foundation of a method for calculating minimal sequences of our problem presenting a generalization of the method of dynamic programming, stated in part II (published in the following number of this journal). Finally the question of convergence of a minimal sequence towards a solution is discussed.

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Von der Fakultät für Allgemeine Wissenschaften der Technischen Hochschule München angenommene Habilitationsschrift. 1. Referat: Prof. Dr.J. Heinhold, 2. Referat: Prof. Dr.E. Lammel.

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Vorgel. v.:J. Heinhold.