要重视角的范围的讨论

三角题常常涉及到角的范围问题,稍不留意,就会失误,因此在三角学习中,要重视对角的范围的讨论。一、挖掘隐含条件,明确角的范围有时已知条件没有直接告诉角的范围,需要认真分析已知条件,进行综合推理,得出角的范围。例1 如果θ是第二象限角,且 cos(θ/2)-sin(θ/2)=(1-sinθ)~(1/2),那么θ/2是第几象限的角? 解∵2kπ π/2<θ<π 2kπ(k∈Z), ∴kπ π/4<θ/2<π/2 kπ。即2nπ π/4<π/2 2 2nπ(n∈Z) 或2nπ 5π/4<θ/2<3π/2 2nπ (1) 又cos(θ/2)-sin(θ/2)=(1-sinθ)(1/2)即cos(θ/2)-sin(θ/2)=|cos(θ/2)-sin(θ/2)|,     

在不定积分计算中不能忽视"区间I"

有这么一道求不定积分的题目 :例 ∫ 1 -sin2θdθ在以往的教学乃至某些考研资料中发现有这样做的 :解 ∫ 1 -sin2θdθ=∫ (sinθ-cosθ) 2 dθ=∫ |sinθ-cosθ|dθ=± (cosθ+sinθ) +C初看似乎没错 ,但仔细推敲就会发现有问题。实际上只有当θ∈ [2kπ -3π4,2kπ + π4]时 (k是整数 ) ,cosθ-sinθ 0 ,才有(cosθ+sinθ)′=cosθ -sinθ=｜sinθ-cosθ｜从而cosθ+sinθ在这些区间上才是 |sinθ-cosθ|的一个的原函数。而当θ∈ [2kπ + π4,2kπ + 5π4]时 ,sinθ-cosθ 0 ,(-cosθ-sinθ)′=sinθ -cosθ=｜sinθ-cosθ｜从而与上面…     

最值问题的六种解法

<正>题目(2014年浙江省高中数学竞赛试题)设实数x,y满足方程(x+2)²+y2+y²=1,则y/x的最大值为.解法1令x=-2+cosθ,y=sinθ,θ∈[0,2π),y/x=k.则y/x=sinθ/-2+cosθ=k,即kcosθ-sinθ=2k,     

和差角公式(5题)

1.若sinθ=4/5,则tgθ/2的值为 (A)1/2,2 (B)-1/2,-2 (C)2,-2 (D)1/2,-1/2 2.sin42° sin54°-sin78°的值为 (A)-1/2 (B)0 (C)1/2 (D)1 3.若x y=π/3,则sinx siny与1的大小关系为 (A)sinx siny>1 (B)sinx siny=1 (C)sinx siny<1 (D)不能确定     

让“冰冷美丽”绽放出“火热思考”

荷兰著名数学家弗兰登塔尔曾说:“从来没有一种数学的思想会像当初被发现时那样付诸文字,一旦问题解决了,思考的程序便颠倒过来,把火热的思考变成冰冷的美丽”.纵观2009年上海春季高考数学试题,我们从中可以体会到强烈的新课程理念,既让人感到试题的“美丽和谐”,又富有新颖与创新.尤其是最后一道押轴题,它既考查了函数的单调性、最值、三角恒等变换等传统的基础知识,又很好地考查了新课程中学习研究能力和推理论证能力.本文试图通过对2009年上海春季高考试题最后一题的思考,谈谈个人的感悟和想法.原题设函数fn(θ)=sinnθ+(-1)ncosnθ,0≤θ≤π4,其中n为正整数.(1)判断函数f1(θ)、f3(θ)的单调性,并就f1(θ)的情形证明你的结论;(2)证明:2f6(θ)-f4(θ)=(cos4θ-sin4θ)(cos2θ-sin2θ);(3)对于任意给定的正整数n,求函数fn(θ)的最大值和最小值.1审视设问,确定思维方向原题的前两问都不难解决,在解决第三问遇到的第一道障碍就是(-1)n,其应对的方法应是对n进行奇偶分析,从而使得将复杂的问题简单化.再观察题目的问题设置,可以看到第一问n是奇数时的特殊情形,第二问n...     

利用二直线重合的条件解三角题

二直线重合的条件在解几中已有广泛的应用,下面举几个三角方面的例子: 例1 消去θ acosθ+bsinθ=c, acos3θ+bsin3θ=c. 解:设直线ax+by-c=0 ①显然,点(cosθ,sinθ)、(coc3θ,sin3θ)在此直线上,又过这二点的直线方程可写成 (y-sinθ)/(x-cosθ)=(sinθ-sin3θ)/(cosθ-cos3θ),即cos2θ·x+sin2θ·y-cosθ=0 ②由于①、②为同一直线故可得a/cos2θ=b/sin2θ=c/cosθ,∴a~2/cos~22θ=b~/sin~22θ=c~2/cos~2θ,∴(a~2+b~2-2c~2)~2=a~2(a~2+b~2).     

理清概念防微杜渐--纠正一个广为流传的典型错解

理清概念是解题的第一步 ,概念不清往往是解题失误之源 ,下面看一个流传很广的典型错解案例 .案例　已知两个复数集合M =z｜z=cosθ+ ( 4 -m2 )i,m ∈R ,θ∈R ,N =z｜z=m + (λ+sinθ)i,m ∈R ,θ∈R ,且M ∩N≠ ,求实数λ的取值范围 .分析　这是 2 0 0 0年北京海淀区六月份高考模拟试题 ,也是许多复习资料上广为流传的题目 .常见的解法就是模拟试题参考答案 ,由已知 ,集合M、N中至少有一相等元素 ,于是cosθ + ( 4 +m2 )i =m+ (λ+sinθ)i,由复数相等的定义得cosθ=m4-m2 =λ +sinθ消去m得λ =4-cos2 θ -sinθ=sin2 θ-sinθ+ 3=(s…     

辅助函数法应用举例

本文给出用辅助函数法解题的若干例子。由此可以看出辅助函数法应用的一斑。例1 已知acosθ bsinθ=c,acosφ bsinφ=c((θ-φ)/2≠kπ,k为整数)。求证a/cos(θ φ)/2=b/sin(θ φ)/2=c/cos(θ-φ)/2 证明作辅助函数f=(x,y)=ax by-c,则点P(cosθ,sinθ),Q(cosφ,sinφ)在直线f(x,y)=0上,此时直线方程为ax by=c,由两点式可得 (y-sinθ)/(x-cosθ) =(sinθ-sinφ)/(cosθ-cosφ) ∴xcos[(θ φ)/2] ysin[(θ φ)/2] =cos[(θ-φ)/2],     

从一道参数方程的习题的错解中得到的启示——直线上的定点问题

原题 已知直线l的参数方程为 ｛x=-1+√2/2 y=√2/2t(t为参数),曲线C的极坐标方程是ρ=sinθ/1-sinθ以极点为原点,极轴为z轴,正方向建立直角坐标系,点M(1,2),直线l与曲线C交于A、B两点. (1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程; (2)线段MA,MB长度分别记为|MA |,|MB|,求｜MA|·|MB|的值.     

图解三角题一例

例1 设a,b,θ满足方程组sinθ+cosθ=a ①sinθ-cosθ=b ②sin~2θ-cos~2θ-sinθ=-b~2 ③求a,b的值。     

求三角函数的周期

“问题:确定下列函数的周期: 1) f_1(x)=cos 3x/2-sin x/3 2) f_2(x)=cos 2x-tgx。解:用P表示函数f_1(x)的周期,那末根据周期函数的定义有: cos 3x/2-sin x/3==cos 3/2(x+P)-sin 1/3(x+P)……(1)等式(1)对任何x值都成立。当x=0,就得到: 1-0=cos 3/2P-sin P/3……(2)可知当P=12π时,适合等式(2)。所以函数f_1(x)的周期为12π。类似地可求出f_2(x)的周期。”对于这样的解答,不能使我们满意。第一。“猜测”方程(2)的最小正数解和求出函数f_1(x)最小正周期是同样困难的(或容易的)。因此求出方程(2)来,不能使解答容易。     

一道竞赛试题解法探究

例 1　 ( 1995年数学冬令营第五题 )设xi >0 ,∑ni =1xi=1(i =1,2 ,… ,n) ,求证 :∑ni =1xi1+ (x1+x2 +… +xi- 1)xi+xi+ 1+… +xn≤ π2 .证　令sinθi=∑ik =1xk ,θ0 =0 (i =1,2 ,… ,n) ( 0<θi≤ π2 ) ,则∑ni=1xi1+ (x1+x2 +… +xi - 1)xi+xi + 1+… +xn=∑ni =1sinθi-sinθi- 11+sinθi - 11-sinθi- 1=∑ni =12sin θi-θi - 12 cosθi+θi- 12cosθi - 1≤∑ni =12sinθi-θi - 12<∑ni =1(θi-θi - 1)=θn -θ0 =π2 .例 1的命制及解法均含有高等数学中的思想方法 ,为了说明问题 ,我们给出如下两个结论 .定理 1　设 f(x) 是区…     

用函数值的符号判定角所在象限

八六年上海市高考数学试卷中有这样一道选择题: 若sinθ/2=3/5,cosθ/2=-4/5则角θ的终边在(A)第一象限;(B)第二象限;(C)第三象限;(D)第四象限。一般的解法是: 由sinθ/2=3/5>0,知θ/2在第一或第二象限,cosθ/2=-4/5<0知θ/2在第二或第四象限。综合而得,θ/2在第二象限,得2kπ+π/2<θ/2<2kπ+π(k∈z)。进一步,siθ/2=3/5<(2~(1/2))/2,     

从一道典型习题的证明看三角变换的基本技巧

题目 求证:1+sin2θ-cos2θ/1+sin2θ-cos2θ=tanθ(人民教育出版社,数学第一册(下)P47第3大题第8小题)技巧1 化函数 运用万能公式,化弦为切。     

三角代换在解题中的应用

三角代换是数学中的一种重要代换,下面就几个典型例题说一下三角代换在解题中的应用.一、利用三角代换求函数值域或最值例1求函数的y=x+1-x2的值域分析:此题首先观察到函数定义域[-1,1]与正弦函数值域一致,因此可考虑用三角代换.解:令x=sinθθ∈-2π,2π则y=sinθ+1-sin2θ=sinθ+cosθ=2sinθ+4π由-2π≤θ≤2π有-4π≤θ+4π≤34π所以-22≤sinθ+4π≤2函数值域:[-1,2]例2求函数y=1+2cos2x-1+2sin2x的最值分析:不难发现(1+2cos2x)2+(1+2sin2x)2=4因此可联想是否可用平方三角代换呢?解:由(1+2cos2x)2+(1+2sin2x)2=4可设1+2cos2x=2sinθ…     

三角函数选择题

1.M={第一象限角},N={小于90°的角}则M∩N等于 (A){第一象限角}。(B){锐角}。 (C){小于90°的角}。(D)以上都不对。 2.θ为锐角,(secθ)|logcosθ~2|的值为 (A)1/2;(B)-1/2;(C)2;(D)-2; 3.在△ABC中,下列各式中始终表示常数的是     

参数几何意义的选择题

1 直线l的参数方程为{x=-1+1/2t,y=2-3(1/2)/2t}。 M_0(-1,2)和M(x,y)分别为l上的定点和动点,则t的意义是 (A)M_0m,(B)MM_0,(C)|M_0M|。 2 设点M(4cosθ,3sinθ)是椭圆x~2/16+y~2/9=1在第一象限的点。∠MOX=a、且a、θ为锐角,则有     

关于积的三个三角恒等式的推广

一易证下列三个恒等式成立: (1)sinθsin(θ+π/ 3)sin(θ+2π/ 3) =sin3θ/4; (2)cosθcos(θ+π/3)cos(θ+2π/3) =-1/4cos3θ; (3)tgθtg(θ+π/3)tg(θ+2π/3) =-tg3θ。本文把上述三个恒等式予以推广,其一般形式为: (Ⅰ) multiply form j=1 to n sin(θ+(j-1)/nπ)=sinnθ/2~(n-1); (Ⅱ) multiply form j=1 to n cos(θ+(j-1)/nπ) =(-1)~(n-2) sinnθ/2~(n/1) (n为偶数), (-1)~(n-1)~2 cosnθ/2~(n-1)(n为奇数);     

2001年高考数学选择题的解题策略

本文拟就理科选择题的解题策略做一些粗浅的探讨. (1)若sinθ·cosθ>0,则θ在( ). (A)第一,二象限 (B)第一,三象限 (C)第一,四象限 (D)第二,四象限 解法1(图示法)如图1,故选(B). 解法 2(转化法)由sinθcosθ=tanθcos2θ, ∵ cos2θ>0, ∴ tanθ>0,故选(B). (2)过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x y-2=0上的圆的方程是( ).     

第五章 两角和与差的三角函数

1 化简与求值一、选择题 1.若锐角α、β满足sinα-sinβ=-1/2,cosα-cosβ=1/2,那么tg(a-β)的值是( ) (A)7~(1/2)/3 (B)-7~(1/2)/3 (C)±7~(1/2)/3 (D)7~(1/2)/3 2.若T=其中270°相似文献