On the supports of solutions of linear partial differential equations with analytic coefficients

Sunto In questo lavoro vengono dimostrati, con un metodo basato sui funzionali analitici, il teorema di Holmgren e varie sue estensioni. Il punto essenziale è che nelle dimostrazioni sono usate soltanto transformazioni lineari. Così è messo in luce che la variabile ? tempo ? ha un ruolo completamente diverso dal ruolo delle variabili ? spaziali ? per l'unicità del problema lineare di Cauchy. Viene anche studiato il problema globale di Cauchy in un semispazio.

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Entrato in Redazione il 1° aprile 1971.     

Ein Problem des selbsterregten uusymmetrischen Kreisels

Sunto Si tratta di un problema della teoria del giroscopio asimmetrico soggetto a momenti interni, cioè la questione, quali momenti interni muovono il vettore della velocità angolare sempre in uno dei due piani separanti delle polodie del moto allaPoinsot, e come questo vettore allora si muove nel solido. Vi sono due moti asintotici, se i momenti sono costanti, fissi nel solido e giacenti in un piano definito e differente dei piani separanti. Si può risolvere il problema anche per momenti dipendenti dal tempo o dipendenti della velocità angolare.

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Antonio Signorini zu seinem 70. Geburtstag gewidmet.     

Alcuni risultati nella dinamica dei solidi elastici inestensibili

Riassunto In questa nota gli Autori dapprima formulano un problema ai limiti di tipo misto molto generale per la dinamica dei solidi elastici inestensibili in una data direzione e stabiliscono per tale problema un teorema di unicità della soluzione relativamente a domini sia limitati che illimitati. In secondo luogo prendono in considerazione il problema ai limiti relativo al solo spostamento ed anche per esso ottengono un teorema di unicità della soluzione. Infine stabiliscono un teorema di reciprocità valido per domini limitati e illimitati.

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Summary In this paper the Authors first formulate a very general mixed boundary-value problem for dynamics of inextensible elastic solids and they establish for this problem a theorem of uniqueness of solution in bounded and unbounded domains. Then they consider displacement boundary-value problem for which they obtain another theorem of uniqueness of solution. At last the Authors establish a reciprocal theorem for bounded and unbounded domains.

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Il lavoro è stato eseguito mentre il secondo Autore usufruiva di una Borsa di Studio C.N.R.     

Su un caso di non esistenza e su uno di esistenza e unicità della soluzione di un problema della magnetoidrodinamica stazionaria

Riassunto In questa nota si affrontano alcune questioni di esistenza e unicità della soluzione classica del problema del moto stazionario di un fluido omogeneo, incomprimibile, perfetto, elettricamente condutore attorno ad un ostacolo dielettrico e scarico in un punto del quale è situato un dipolo magnetico. Precisamente, si dimostra dapprima che, nel caso in cui il fluido abbia conduttività finita, il problema suddetto non ammette soluzione se al campo cinetico e al campo magnetico sono imposte condizioni all'infinito alquanto restrittive. Si dimostra poi che opportune ipotesi all'infinito assicurano l'esistenza e l'unicità della soluzione del medesimo problema nel caso in cui il fluido sia un conduttore perfetto.

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Summary This paper deals with some questions of classical solution existence and uniqueness for the problem of the steady flow of an homogeneous, incompressible, perfect, electrically conducting fluid past a dielectric and discharged obstacle in which a magnetic dipole is situated. More precisely, in the first place the non-existence of solutions of the above mentioned problem is proved for fluids of finite conductivity, if rather restrictive conditions are placed on behavior of the kinetic and magnetic fields at infinity. In the next place an existence and uniqueness theorem is established for perfectly conducting fluids.

     

Su un problema di frontiera libera connesso a questioni di idraulica

Sunto Si dimostra esistenza e unicità della soluzione di un problema di frontiera libera che traduce il moto di filtrazione di liquidi attraverso mezzi porosi. Il problema è ricondotto alla minimizzazione di un funzionale quadratico su un convesso chiuso di uno spazio di Hilbert, il che fornisce anche dei procedimenti per l'approssimazione numerica del problema stesso. Entrata in Redazione il 16 dicembre 1971. Indirizzo dell'autore:C. Baiocchi, Istituto di Matematica, Università, Pavia. Questo lavoro è stato eseguito nell'ambito delle attività del Laboratorio di Analisi Numerica del C.N.R. di Pavia; i risultati qui ottenuti sono stati annunciati in una nota preventiva sui C. R. Acad. Sc. Paris, t. 273, pp. 1215–1217.     

Soluzioni generalizzate e disuguaglianze variazionali per alcuni sistemi differenziali non lineari della fisica matematica

Sunto. Si ricercano le condizioni di correttezza per sistemi differenziali del primo ordine di tipo iperbolico. Tali condizioni risultano legate a restrizioni fisiche, in particolare termodinamiche. Pertanto dopo uno studio della termodinamica dei processi retti dalle equazioni considerate si perviene ad una definizione di soluzione generalizzata, esprimibile mediante una disuguaglianza variazionale. In tale nuova formulazione è contenuto sia il sistema delle equazioni differenziali che descrivono il processo fisico e sia una limitazione di natura termodinamica. Per il problema di Cauchy relativo ai sistemi in esame si stabilisce poi nel campo delle soluzioni generalizzate una disuguaglianza integrale sulla energia interna e quindi sotto opportune ipotesi un teorema di unicità. Lavoro eseguito nell'ambito dei gruppi di ricerca per la Matematica del C.N.R. Entrato in Redazione il 31 dicembre 1971.     

Stability and bifurcations of symmetric periodic orbits

Se un problema Hamiltoniano integrabile non degenere, come si può ottenere dal problema dei due corpi in coordinate rotanti, è perturbato con una funzione potenziale simmetrica rispetto ad un asse, le proprietà di simmetria delle soluzioni consentono di semplificare la ricerca, di orbite periodiche. In tal modo si ottiene un teorema di continuazione delle orbite periodiche che fornisce più informazioni di quello classico. La funzione che descrive la simmetria delle orbite è genericamente una funzione di Morse, e le biforcazioni di orbite periodiche simmetriche possono essere descritte in termini di punti singolari e di valori critici di tale funzione. II problema ristretto dei tre corpi ed il problema del satellite in un potenziale non axisimmetrico sono trattati come esempi. Le stesse biforcazioni possono anche essere descritte come singolarità degeneri della funzione generatrice della trasformazione canonica associata all'applicazione di Poincaré, cioè al trascorrere di un periodo sinodico. In tal modo le proprietà di stabilità lineare delle orbite periodiche, la segnatura dei punti singolari della funzione generatrice e l'andamento qualitativo della funzione di simmetria appaiono correlate tra loro. Ne risulta la possibilità di predire, prima di qualsiasi esperimento numerico, non solo la struttura generica delle biforcazioni delle orbite periodiche simmetriche, ma anche la stabilità di tutte le orbite periodiche coinvolte.     

Teoremi di unicità della magnetoidrodinamica in domini illimitati

Riassunto In questa nota si stabiliscono due teoremi di unicità della soluzione per il problema del moto di un fluido omogenco, incomprimibile, perfetto, elettricamente conduttore attorno ad un ostacolo fisso, anch'esso elettricamente conduttore. Nelprimo teorema viene trascurata la corrente di spostamento, mentre nel secondo si tiene conto anche di quest'ultima. Per la dimostrazione si utilizza il “metodo della funzione peso” usato da G. P. Galdi e S. Rionero in un analogo teorema di unicità per magnetofluidi viscosi.

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Summary The Author establishes two solution uniqueness theorems for the problem of homogeneous, incompressible, perfect, electrically conducting fluid motion around a fixed, electrically conducting solid body. In the first theorem displacemt current is disregarded, in the other one this current is considered. The proof is obtained by using the “weight function method” adopted by G. P. Galdi and S. Rionero in an analogous uniqueness theorem for viscous magnetofluids.

     

An initial-boundary value problem with mixed lateral conditions for heat equation

Sunto Viene studiato un problema con condizioni laterali miste per l'equazione del calore, nel caso in cui la ? superficie di separazione ? abbia un punto caratteristico. Viene dato un teorema di esistenza e di unicità in spazi con peso a regolarità variabile.

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Entrata in Redazione l'8 marzo 1978.

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Partially supported by Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, Sezione di Bologna, Bologna, Italy.     

Geometria proiettiva di elementi differenziali

Sunto. Preliminare allo studio differenziale delle varietà rispetto al gruppo topologico (nel senso indicato nel testo) è quello della totalità delle calotte, di ordine e dimensione fissati, rispetto al gruppo delle collineazioni. La rappresentazione analitica di tali calotte introduce elementi arbitrar? (sia nel riferimento rispetto all' ambiente, sia nella scelta dei parametri sulla calotta). Un'adeguata rappresentazione iperspaziale di quelle calotte nasce dalla considerazione delle calotte eccezionali, e porta a varietà razionali di semplice definizione rispetto alle quali quelle calotte sono rappresentate da spaz? lineari; il gruppo delle collineazioni con un punto fisso nello spazio dato si rappresenta nel gruppo delle collineazioni per cui una di quelle varietà è trasformata in sè. Poichè la rappresentazione geometrica elimina le accidentalità della rappresentazione analitica si ha un modo di riconoscere senz' altro l'esistenza di invarianti relativi a configurazioni di elementi differenziali (anche di dimensioni differenti).     

Sul problema di Cauchy per le equazioni a derivate parziali

Sunto Si considerano equazioni alle derivate parziali in più variabili indipendenti, lineari e non lineari, di ordine qualsiasi; si dimostrano teoremi di esistenza e unicità per il problema di Cauchy non caratteristico. Il metodo di questo lavoro consiste nel ricondurre il problema di Cauchy allo studio di una trasformazione in sé di uno spazio funzionale, strettamente connesso alle classi di Gevrey.

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Summary We consider linear and non linear partial differential equations of any order, in several independént variables. We prove some existence and uniqueness theorems for the non-characteristic Cauchy problem. Our method consist in the reduction of the Cauchy problem to a study of a mapping of a function space into itself; this function space is closely related to Gevrey classes.

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Questo lavoro fa parte dell'attività del gruppo di ricerca n. 23 del C.N.R.     

Sulla magnetizzazione di un cilindro di lunghezza finita in presenza di un campo magnetico qualsiasi

Sunto. Si studia il problema del magnetismo indotto in un cilindro circolare di lunghezza finita, per influenza di un campo magnetico qualsiasi, riducendo la questione alla risoluzione di equazioni integrali e si deduce la risoluzione esplicita nel caso del cilindro di lunghezza infinita, già considerato daKirchhoff. Si risolve anche esplicitamente il caso in cui il cilindro di lunghezza finita diventi di sezione tanto piccola da poterlo considerare un filo.     

Hilbert polynomials and powers of an ideal

Sunto Nel n1. viene definito il complesso generalizzato di Koszul K(A; E; t) di R-moduli associato ad una matrice A sopra un anello R e un R-modulo E. Si studia poi K(A; E; t) nel caso particolare in cui A sia una matrice della forma B(m, s) data nel n.3. Si dimostra infine che, sotto certe condizioni di finitezza, la lunghezza di ogni modulo d'omologia à una funzione polinomiale in m per m grande, e che per ogni m ≥1 la caratteristica di Euler-Poincaré è il prodotto di un coefficiente binomiale per la caratteristica del complesso di Koszul K(B(1, s); E;0).

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Entrata in Redazione il 18 novemb e 1972.     

Système d'équations d'un gaz visqueux modélisant l'atmosphère avec la force de Coriolis et la stabilité de l'état d'équilibre

Sunto Per un fluido isotermo, compressibile, soggetto a forze gravitazionali in un riferimento ruotante, è provata esistenza ed unicità di soluzioni locali nel tempo. Inoltre, per piccoli dati iniziali tale soluzione esiste globalmente nel tempo e converge verso uno stato di equilibrio. Questo problema simula il problema del moto dell'atmosfera terrestre.

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For a compressible, isothermal fluid subject to gravitational force, in a rotating reference frame, it is proved existence and uniqueness of local in time solutions. Furthermore, for small initial data such solution exists globally in time and converges toward an equilibrium state. The problem modelizes the heart atmosphere.

     

Un metodo numerico per la determinazione del carico critico nelle strutture lineari

Sunto L'impostazione energetica del problema dell'instabilità dell'equilibrio porta ad un problema variazionale: di determinare cicè una funzione η (configurazione) che renda minimo un rapportoK (carico critico). Tale problema conduce a sua volta ad un'equazione differenziale del 2^o ordine difficilmente risolubile nei casi pratici. Oppure si può ricorrere a due metodi approssimati: il metodo diRitz e il metodo delle successive approssimazioni. Questi metodi, che pure comportano notevoli difficoltà se condotti per via analitica, trovano un'efficace applicazione se le configurazioni η vengono rappresentate numericamente, nel modo illustrato nel testo. L'errore inerente alla rappresentazione numerica, per sua natura discontinua (divisione della struttura in intervalli finiti) viene pressochè eliminato con l'introduzione di un termine correttivo. Nel corso della Nota viene anche illustrata la seconda espressione del carico critico nel caso di aste compresse in sommità, e viene dimostrato perchè tale espressione porti a risultati più approssimati.     

Su un caso particolare di stabilità in media della magnetoidrodinamica

Sunto Si considera un particolare fenomeno magnetoidrodinamico, che è una generalizzazione del problema di Couette per un liquido elettricamente conduttore in presenza di un opportuno campo magnetico e si dimostra che qualunque soluzione del problema dotata di una certa regolarità e stabile in media, ossia la somma delle energie cinetica e magnetica di una generica perturbazione è una funzione decrescente del tempo. A Bruno Finzi nel suo 70^mo compleanno. Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei Raggruppamenti di ricerea matematica del C.N.R. Entrata in Redazione il 9 dicembre 1969.     

On existence, uniquenss and the maximum modulus theorem in plane linear elastostatics for exterior domains

Existence and uniqueness results, as well as a maximum modulus theorem, are obtained for solutions to the displacement and traction problems of plane linear elastostatics in exterior domains.

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Sunto Viene affrontato il problema di esistenza e unicità per le soluzioni del problema di spostamento e di trazione dell'elastostatica lineare in domini esterni piani. In particolare, è dimostrata l'esistenza di una soluzione classica in corrispondenza di dato al bordo continuo e sono ottenute delle stime sul massimo modulo.

     

Barriers on cones for uniformly elliptic operators

Summary On every right circular cone and for every uniformly elliptic operator in nondivergence form there exists a barrier, that is, a supersolution which is zero at the vertex and positive elsewhere on the closed cone. These barriers are applied to the Dirichlet problem. Other applications are deferred to a later paper on ? extremal barriers ?

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Sommario Si considerano operatori uniformemente ellittici del secondo ordine, ma in forma di nondivergenza, a coefficienti misurabili in un cono circolare retto; si prova che esiste una funzione barriera, vale a dire una supersoluzione positiva nel cono chiuso eccettuato il vertice ove si annulla. Queste barriere sono impiegate per lo studio del problema di Dirichlet. Altre applicazioni sono rinviate ad una successiva pubblicazione su le ? barriere estremali ?.

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This work was supported by the Air Force Office of Scientific Research and the National Academy of Sciences through a Postdoctoral Research Fellowship for 1964–1965 at the University of Genova and also in the writeup stage by AFOSR grant number 553–64.     

Frontiere minimali con ostacoli

Riassunto Recentemente diversi autori (v. [15], [16], [17], [18], [19], [20]) si sono interessati di problemi di esistenza e di regolarità di soluzioni di problemi variazionali verificanti diseguaglianze. In questo articolo considereremo il caso delle ipersuperfici minimali (di area minima), più precisamente delle frontiere minimali nel senso diDe Giorgi (v. [2] o [3]). Il risultato di regolarità, che è quello che ci pare più interessante, è grosso modo il seguente:frontiere minimali rispetto ad un ostacolo di classe C ¹ sono di classe C¹ in un intorno dell'ostacolo stesso. Il Teorema 2 del § 3 contiene l'enunciato preciso di tale risultato. Nel § 2 si fanno alcune considerazioni sulla validità del teorema di Bernstein per le frontiere minimali, in esso si prova (v. il Teorema 1) che un insieme avente frontiera non vuota minimale inR ⁿ e contenente un semispazio è esso stesso un semispazio. Tale risultato serve per la dimostrazione del teorema 2. Nel § 1 sono contenuti alcuni complementi alla teoria delle frontiere minimali.

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Résumé On considère le problème des hypersurfaces minimales en présence d'obstacles. On prouve le résultat de regularité suivant: ?les hypersurfaces minimales en présence d'obstacles de classeC ¹ sont de classeC ¹ dans un environ de l'obstacle?.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei gruppi di ricerca del C.N.R. nell'anno 1970.     

Regularity results for the porous media equation

Sunto In questo lavoro si considera il problema di Cauchy per l'equazione di filtrazione ∂u/∂t=∂ ² ϕ(u)/∂x ² nella regioneR×(0,T],0<T<∞. Sotto opportune ipotesi sulla funzione ϕ(u) si determina una stima dell'incremento temporale della soluzione u(x, t) (intesa nel senso debole). Nel caso politropico (ϕ(u)=u^m), quando m>2 si trova in particolare un comportamento h?lderiano di u(x, t) rispetto a t con l'esponente1/(m−1); viene anche dimostrato che questo esponete è effettivamente assunto da una particolare soluzione, per cui la stima ottenuta è la migliore possibile.

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Entrata in Redazione il 18 luglio 1978.