几何题的三角证法

<正>用三角法证几何题可以不添辅助线或少添辅助线,降低证明难度,同时又能开拓思路,从而提高证题能力.在初中用三角法证几何题是以直角三角形为基础,以锐角三角函数为主要手段,通过运算或用运算代替推理进行证明,它的证题步骤是:(1)选择或构造直角三角形;(2)设某角为α,用一些线段和α的三角函数表示其他的线段,建立起边角关系等式.     

如何利用辅助线(求)解几何题

解几何题时,有时会碰到已知条件与问题看似毫不相关,不知从何处下手的情况,但是这时如果添加了合适的辅助线就会使人觉得豁然开朗,辅助线就是起了这样的作用.它相当于一个中继,把很难从已知条件到达问题的路等价成两条简单的路,一条是已知条件到达中继的路,另一条是中继到达问题的路.     

模型计算机的简单介绍

数学中的计算过程很显然地分为两大类--机械性小的和机械性大的.前者例如几何定理的证明.要证明一条几何定理,我们很难说第一步应该怎样做,第二步又应该怎样做;如果要添辅助线,我们更难说要添加怎样的辅助线,可以说,下手的方法很难预先确定,只能就题论题.至于三角学及代数学的习题则不然,大体上(当然并非完全如此)是有一定准则的,有了问题到手,各人的计算步骤大致是差不多的.因此,对初学者说来,都觉得三角代数容易些,     

一道几何竞赛题的多角度分析与证明

<正>最近探究了一道非常耐人寻味的几何竞赛题,答案只给出了一种比较麻烦的几何证法,辅助线有9条之多,而且需要多次构造相似三角形,多次运用梅涅劳斯等定理,难度比较大．通过分析,我们会发现几何元素之间有着非常清晰而且丰富的位置与数量关系,所以可以尝试从多种角度探究它的证明．本文提供了解析法,向量法和另外两种几何证法(等差幂线法与根轴法),并进行了一点图形的拓展．通过对比,也可以发现各种方法的优缺点,为解决类似问题积累一定的经验．     

2018年北京中考第27题的思路与解法

<正>随着教育的发展与考试的改革,中考注重考查学生的数学核心素养,四基(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验)和四能(发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力),特点是算得少一点,想的多一点.2018年北京中考第27题是一道平面几何的好题,考查的知识较多,解题时需要学生充分借助几何直观,深刻领会题意,巧妙添加辅助线,由浅入     

让辅助线添得自然

近日翻阅一本初中几何教材，教材中把勾定理放在相似形中，用相似三角形证明勾定理，所派的辅助线是直角三角形斜边上的高线．怎样想到添这条辅助线的?编者没有写出，教参也没有说明，我觉得有点象“从帽子里跑出一支兔子”．为解决这个问题，我作了一些探索，结果是得到勾股定理的两种新证法．已知：在Rt△ACB中，＜＝90°，求证：BC2＋AC2＝AB2．分析1要利用相似三角形证明BC2＋AC2＝AB2，就要把这个非等积式，转化为等积式，BC2＝AB2－AC2,BC2＝（AB＋AC）（AB－AC），进一步把等积式转化为等比式，由等比式去找对应的相似…     

用几何变换解几何题几例

<正>在初中证明几何题时,有时添加辅助线是关键.当我们看到证完的几何题所添加的辅助线时,会觉得很奇妙,会问那巧妙的辅助线是怎么想出来的呢?几何变换(本文涉及的是平移、旋转和轴对称)的思想有时可能会给我们指明方向,因为变换的最大性质是虽然变换前后图形的位置发生了改变,但是图形全等(图形大小不变).这样,通过几何变换,有时分散的条件就集中了,有时集中的条件分散了,不     

tmfc找辅助线的位置——一道平几题的多种证法

在证明几何题时,经常要添加辅助线,怎样找到辅助线的位置,对有些题目是一件比较困难的事情.本文从全等变换和构造基本图形的角度,结合一道习题,谈一下采用平移、旋转、翻折、补形的办法,先找出辅助线的位置,再恰当地作出辅助线,最后使问题得     

猜想几何图形中的数量关系——抓住问题中的不变量

<正>中考几何压轴题往往是在图形变换过程中,借助几何直观去分析图形中的“不变量及不变关系”,从而找到解决问题的突破口．我们要从复杂的图形中找出并分离出几何基本模型,或通过添加辅助线补全几何基本模型,或利用图形变换的思想构造几何基本模型,从而根据图形特征对未知结论进行大胆猜想并推理证明．本文以一道几何综合题为例,具体谈一谈．     

研究几何综合题的四个维度——剖析2023年海淀区九年级上期末第27题

<正>近年来,北京市中考第27题通常都是一道难度相对较大的几何综合题,该类题涉及知识面较广,通常需要作辅助线,且解题方法不唯一,是学生们学习的难点之一.本文将从四个维度对几何综合题深入探究,为解决这类题型提供参考.现以2023年海淀区九年上期末第27题为例具体阐述,如有不当之处,欢迎批评指正.     

例谈几何辅助线添加方法

几何证题中,许多时候,没有辅助线是不能或者说难以证明出来的,单单的一条辅助线,尤如一座桥梁,可让我们跨越思维的障碍,     

如何添加辅助线证明ab=cd±ef型几何题

形如 ab=cd±ef 的几何题是证比例线段变型题的一种,难度较大,而且其中有许多题,是需要添加辅助线的。作辅助线的方法多种多样,多数很不易想到,这正是证这类题的难点。本文想对证这类题的方法,特别是添加辅助线的规律谈几点粗浅的意见。     

巧构全等图形 探析解题方法——一道课后习题的思考

<正>三角形和四边形作为最基本的几何图形,是初中几何知识的核心内容,也是近几年重庆中考重点考查内容.重庆中考对于几何知识的考查具有一定的难度,除了考查基础知识之外,还突出了对知识的迁移和拓展,常常考查的知识包括:全等三角形、特殊三角形、(特殊)平行四边形性质和判定、线段的中垂线及角平分线的性质和判定等.多数题目需要添加辅助线才能解决,掌握几何中常见的基本图形和基本结论是添加辅助线的前提,根据题目的条件和需要证明的结论去捕捉添加辅助线信号是关键.     

“两边一角作垂线”——2010年上海中考几何综合题探寻

所谓几何综合题就是以几何图形为基本框架,综合运用函数、方程、锐角三角函数等知识,构建集计算与证明于一体的压轴题．2010年的上海市几何综合题没有了进一步的探究题,试题设计保留较多的解题途径,使分析问题、解决问题的基本功和灵活性都得到较充分的考查．其共同特征是以三角形为基架,构建了一个与特殊直角三角形,直角三角形、全等三角形、相似三角形、     

变形移位系数 探求添线蹊径

一些几何题目的结论中常常含有不等于1的系数，就是这个系数往往给证明带来一些难度，尤其是当这个系数出现在比例式与等积式中时，其辅助线添法的难度还会加大．然而，依据比例的基本性质变换结论，随之将系数移位变形，使其成为新求证式各项的系数，则这个系数就成了探索辅助线的一把钥匙；不仅打开了添加辅助线的思路；而且思路广阔，有律可循．本文举出四例；以期抛砖引玉。例且换形ABCD中，AB一。，BC—b，M是BC的中点，DE上AM，E是垂H．下面就从变移的系数所在的项入手探索辅助线的添法．思路1由Za，想到延长AB至F，使BF＝A…     

补形法在平面几何解题中的应用

所谓补形法,就是在平面几何证题中,如果题目给出的几何图形是我们熟悉图形的一部分,这时可以在图形上添加辅助线,使之成为一个完整的特殊的几何图形(如等腰三角形、直角三角形、正方形、圆等),这样有助于从整体出发,揭示图形的内在联系,容易找到证题途     

构造平行四边形证题几例

<正>平行四边形是一种特殊的四边形,它具有对边平行、相等,对角线互相平分等诸多性质.在证明几何题时,如果能根据题目的特点,添加适当的辅助线,构造出平行四边形,常常为证题创造条件,使问题变得容易证明.请看以下几例.一、构造平行四边形搬动线段证两线段相等或不等或求和     

构造圆 巧解题

<正>我们在做几何题目时,往往要作辅助线.作什么样的辅助线,要根据具体的条件.比如直角三角形中,出现了斜边的中点,我们会想到作斜边的中线;三角形中出现了两边的中点,我们会想到作中位线;出现30°、45°、60°的角,我们会想到作垂直构造直角三角形;出现圆的切线,我们会想到把圆心和切点连接起来,得到垂直……那什么条件下,应该作圆呢?来看看下面几种情况.一、遇到旋转构造圆例1如图1,正方形ABCD的边长为4cm,正方形AEFG的边长为1cm.如果正方形AEFG绕点A旋转一周,设C、F两点之间     

一道中考数学旋转问题的几种解法

<正>“旋转问题”是初中数学图形与几何模块的重要内容,是各地中考命题的热点,它考查同学们的几何直观与逻辑推理能力,解决这类问题的突破口是在旋转图形中找到对应关系.下面以2021年江苏省南京市中考数学题第16题为例,通过添加辅助线构造直角三角形、相似三角形、平行四边形等探寻旋转问题的几种解法.     

辅助线在平面几何解题中的应用

<正>在几何解题中,添加辅助线的方法很重要,本文将从如何添加辅助线入手,向大家介绍一些添加辅助线的方法,来开拓应用辅助线解决几何题目的思路.一般来说,辅助线决定着解答几何题目的方法,添加的辅助线不一样,证明的办法也基本不一样.平面几何中添加辅助线的情况,主要是按照定义添加辅助线,或者是按照基本图形来添加^([1]).下面我们按照初中几何学习的基本图形,即三角形、四边形、圆形,来看看相关的几何问题如何解决.