数e的无理性的一个证明

现行的高等数学教材中,都着重介绍了重要极限之一:并且在级数的内容中,又给出了重要的结论:e=sum from k=o to ∞(1/K1)虽然教材中都指出了e是一个无理数,但一般并未给出证明.我们现在就来证明数е的无理性:把级数(1)分成两部分:     

一类实代数整数的无理性的初等证明

假设复数ε是某个首1的整系数方程xn a1xn-1 a2xn-2 … an=0的根,那么称ε是一个代数整数.通过整数的整除性理论(算术基本定理),我们可以证明:若实代数整数ε不是一个有理整数,则ε必是一个无理数.在本文里,我们只需用到最基本的不等式技巧即可得到这个常用结论的证明.为了说明这个方法,我们从最简单的无理的代数整数√2谈起.     

初等证明不初等

文[1]用初等方法证明了不等式:若xi>0,i=1,2,3,且∑3i=1xi=1,则1 1x21 1 1x22 11 x32≤1207.证明的关键是先证明了对任意0相似文献   

初等证明不初等

文[1]用初等方法证明了不等式：若xi〉0,i=1,2,3,且^3∑i=1xi=1,则1/1＋x^21＋1/1＋x^22＋1/1＋x^23≤27/10.     

e的无理性的两个证法

ｅ的无理性的两个证法刘保泰（天津理工学院二分院）在所有的分析教程中都介绍了重要极限ｌｉｌｎｌｌ十爿一ｅ、ｌｉｍｌｌ十引一ｅ，以及ｅ一Ｘ六都指出了ｅ—２．７１８２８…为一个无理数。但对于ｅ的无理性一般都未予以证明。本文来证明ｅ为无理数。证明基于这样的思...     

某些常见数的无理性的证明

大家熟知,3~(1/5),log_23,cos π/4,…,等都是无理数,然而,其证明并不是为多数人所知道,本文将以初等方法证明这一些常见的数的无理性. 一、a~(1/n),(b/a)~(1/n),log_ab,log_c b/a的无理性     

利用级数证明一些数的无理性

数的无理性证法颇多,利用整除性质是众所周知的方法;利用有理根检验法、Eisenstein判别法来证明某些代数无理数最有效;Lindemann—Weierstrass定理解决了一类数的超越性(从而无理性)的判别问题。尽管如此,尚有许多数其无理性至今未知。本文试图通过以下几例来阐述利用级数证明数的无理性的方法。     

(√Δ)的无理性的一个证明

现在我们来证明下面的结论. 设(√Δ)是个正整数,若(√Δ)不是整数,则Δ是个无理数.     

一个不等式的初等证明

本刊文 [1]利用微分法证明如下不等式 :已知x ,y ,z∈R+,且x +y +z =1,则　　 (1x -x) (1y - y) (1z-z)≥ (83) 3 (1)该文刊出后 ,收到福州二十四中学杨学枝 ,武汉市第六中学刘大岱 ,江西广丰中学朱水龙 ,长沙电力学院数学与计算机系梅宏 ,湖北监利新沟中学杨美璋 ,重庆市武隆县中学李来敏、杨小林等人的初等证明 ,限于篇幅 ,下面选登一种初等证法     

一个定理的初等证明

一个定理的初等证明周永国（湖南沅陵六中４１９６０５）在文［１］，杜锡录先生给出了一个完善的勾股定理逆定理：设ａ，ｂ，ｃ为△ＡＢＣ的三边，且满足ｃｘ＝ａｘ＋ｂｘ，则最大角Ｃ的最小值为杜文中说，对一般的实数。定理的证明要用到高等数学知识；对于ｘ是整数的情...     

一个不等式的初等证明

文[1]介绍了这样一个不等式的证明:若xi>0,i=1,2,3,且∑3i=1xi=1,则1 1x21 1 1x22 1 1x23≤1207.该文作者给出了一个较为复杂的证明.本人现给出一个简单的初等证明.证明先证明:对任意0相似文献   

等周问题的一个初等证明

本文把欧氏平面,半球面和非欧面之中,不含给定边界,含有给定边界和含有边界而且在其上给定端点这样三种等周问题,给以初等、统一的证明.其要点在于把它们的存在性和唯一性简明扼要地归结到下述初等引理,即一个给定四边边长的四边形的面积以四顶共圆时为其唯一的极大.     

一个不等式的初等证明

文[1]证明了这样一个不等式：若xi〉0,i=1,2,3，且3↑∑↑i=1xi=1，则1/1＋x1^2＋1/1＋x2^2＋1/1＋x3^2≤27/10。本文现给出一个较为简单的证明．     

等周问题的一个初等证明

本文把欧氏平面，半球面和非欧面之中，不含给定边界，含有给定边界和含有边界而且在其上给定端点这样三种等周问题、给以初等、统一的证明。其要点在于把它们的存在性和唯一性简明扼要地归结到下述初等引理，即一个给定凹边边长的四边形的面积以四顶共圆时为其唯一的极大     

一个不等式的初等证明

文 [1]提出如下猜想 :设λ≥ 1,x,y,z >0 ,则xλx +y+yλy +z+zλz +x　≤ 3λ+1(1)文 [2 ]用导数证明了 (1)式 ,本文给出简明的初等证明 .证明　由已知得 xλx +y,yλy +z,zλz +x三式中必有两个同时不大于 (或不小于 ) 1λ +1,不妨设为 xλx +y 和yλy +z.于是有(xλx +y - 1λ +1) (yλy +z -1λ+1)≥ 0即 xλx +y+yλy +z≤(1+λ) xy(λx +y) (λy +z) +1λ +1(2 )由柯西不等式有(λx +y) (λy +z)≥ (λ xy +yz) 2 .代入 (2 )得　 xλx +y +yλy +z ≤(λ+1) xλ x +z +1λ+1(3)又　 (λz +x) (λ+1)≥ (λ z +x ) 2(4)于是 ,由 (3)、(…     

证明不等式的初等方法

证明不等式是中学数学的重要课题之一。但证法各异且技巧多变,灵活多样,涉及到的知识范围也较广,不少学生感到比较辣手。原因是没有一种普遍规律可循。本文试图结合一些实例,归纳一下使用的初等方法,供参考。 1.比较法 (1)差的比较:借助A-B的符号来判断A与B的大小。     

杨乐不等式的一个初等证明

杨乐不等式的一个初等证明１３００２３吉林大学数学系９３级教改班邓重阳我国著名数学家杨乐曾建立下列三角不等式设Ａ＞０，Ｂ＞０．Ａ＋Ｂ≤π０≤λ＜１．则有ＣＯＯＺＭ十ＣＯＳｕＢ一ＺＣＯＳＭＣＯＳ朋ＣＯＯ从）ＳｉｆｌＺＡＫ《中学数学）（苏州）９３年苇４期Ｐ...     

牛顿公式的一个初等证明

设x_1,x_2,…,x_n是一元n次方程x~n-σ_1x~(n-1)+σ_2x~(n-2)-…+(-1)~nσ_n=0的n个根,并设S_k=x_1~k+x_2~k+…+x_n~k(k=1,2,…),那么 当k相似文献