n~(n 1)与(n 1)~n谁大?

学生曾问我“20022003与20032002谁大?”,他钻研后认为n(n 1)与(n 1)n(n∈N)当n取较小的值时,有时前者比后者小,有时前者比后者大,当n取较大的值时,又不好证明,这引起了我们的研究兴趣。     

关于公式1+2+…+n=(n(n+1))/2

<正>九年义务教育三年制初中《代数》第一册(上)第38页,B组第二题为:正整数从1开始,逐个相加,一直加到n,它们的和记作s,即s=1+2+3+…+n(n表示一个正整数),写出计算s的公式.这道题目中含有字母且设问富有思考性,解题方法体现了数学方法,更重要的是结果能作公式用,而且应用分层次用.为帮助同学理解这些特点,现对这道题进行解读,供同学们参考.     

lim(1 1/n)~n(n→ ∞)存在性的一种证法

本文通过构造不等式 ,并利用极限存在准则证明重要极限 limn→ ∞ (1 1n) n 存在性 .引理 :单调有界数列必有极限 .下面证明数列 { (1 1n) n}的单调性及有界性 .设 a>b>0 ,则对任一自然数 n有an 1-bn 1=(a -b) (an an- 1b an- 2 b2 … abn- 1 bn) <(a -b) (n 1 ) an整理后得到不等式bn 1>an[(n 1 ) b -na](1 )　　第一步 ,令 b=1 1n 1 ,a=1 1n,则有(n 1 ) b -na =(n 1 ) (1 1n 1 ) -n(1 1n) =1将它们代入 (1 )中可得　 (1 1n 1 ) n 1>(1 1n) n.这说明数列 { (1 1n) n}是递增数列 .第二步 ,令 b=1…     

重要极限llim from (n→∞)(1+n1/2)~n=e的注记

利用平均值不等式对重要极限limn→∞ 1 +1nn=e给出一个较简捷的证明方法。利用证明过程中所得到的不等式还可求得e的任意精度的近似值。     

关于极限lim(1+1/n)~n(n→ ∞)存在的三种证明方法

本文给出了证明极限 limn→∞ 1 +1nn存在的三种新方法     

关于lim from n→+∞(1+1/n)~n的存在性的又一明证

<正> 一般教科书通常是利用二项式展开定理来证明(1+1/n)~n 的单调有界性.下面只用一个简单不等式.就可以证明.(1+1/n)~n 的单调有界性先证明不等式     

数列{(1+1/n)~n}极限存在性的一种证明

本文利用常用对数的单调性证明数列x_n=(1+1/n)~n极限的存在性。意在扩展教学的思路。     

数列{(1+1/n)~n}极限存在性的一种证明

本文利用一个不等式证明数开x_n=(1+1/n)~n极限的存在性。     

数列{(1+1/n)~n}单调性的证明

本文打算给出数列{(1+1/n)~n}单调性的两个证明,这两种证法都可为中学生掌握。证一:(利用算术——几何平均不等式) 对于(n+1)个正数1,1+1/n,……,1+1/n,易知不全相等,由重要的不等式(a_1+a_2+…+a_n)/n≥(a_1a_2……a_n)~(1/n)(当且仅且a_1=a_2=……=a_n时取等号)可得=n+2/n+1=1+1/n+1 两边(n+1)次方,得     

lim(1+1/n)~n from (x→+m)存在的几种证明方法

<正> 证明这个极限存在的方法很多,一般教科书中是通过二项式展开、放大,证明数列{(1+(1/n))~n}单调上升,并估计出上界到3.这种方法麻烦,但直接,并可进一步给出极限值的近似计算式及误差.本文对该极限的存在性给出两种简单的证明方法,其共同特点是通过一些不等式证明{(1+(1/n))~n}单调上升有界.以利扩大初学者的解题思路.     

数列{(1+1/n)~n}极限存在性的另一种证法

证明数列{(1+1/n)~n}的极限存在,只要证明数列{(1+1/n)~n}单调且有界.为此在一般的微积分教材中,是采用按牛顿二项公式将(1+1/n)~n展开的方法,这种方法思路自然且直观易懂,为拓宽思路下面给出另一种证法.     

Iteration xn+1=αn+1f(xn) + (1 - αn+1)Tn+1xn for an Infinite Family of Nonexpansive Maps {Tn}∞n=1

Under the framework of uniformly smooth Banach spaces, Chang[1] proved in 2006 that the sequence {xn} generated by the iteration xn+1 = αn+1f(xn) + (1 - αn+1)Tn+1xn converges strongly to a common fixed point of a finite family of nonexpansive maps {Tn}, where f : C → C is a contraction. However, in this paper, the author considers the iteration in more general case that {Tn} is an infinite family of nonexpansive maps, and proves that Chang's result holds still in the setting of reflexive Banach spaces with the weakly sequentially continuous duality mapping.     

数列a_n=n(n+1)前n项和公式的三种推导方法

<正>在《数列》教学过程中,很多学生对数列a_n=n(n+1)前n项和公式S_n=n(n+1)(n+2)/3比较陌生,为了让学生在了解课本知识的基础上有所拓展,本文特总结了3种证明方法,以期为学生解决疑惑,起到举一反三的效果.证法1∵a_n=n(n+1)=n~2+n,     

On the recursive sequencex n +1=α-(x n /x n −1)

We study the global asymptotic stability, global attractivity, boundedness character, and periodic nature of all positive solutions and all negative solutions of the difference equation $$x_{n + 1} = \alpha - \frac{{x_n }}{{x_{n - 1} }}, n = 0,1,...,$$ where α∈R is a real number, and the initial conditionsx?1,x ₀ are arbitrary real numbers.     

对数列{(1+1/n)~n}的单调性的再思考

1数列{(1+1/n)n}的单调性新证众所周知,在高等数学《数学分析》的极限论里有以下重要数列:命题1{(1+1/n)n}是N*上的严格递增数列.本文首先给出它的新颖证法:证明利用著名的贝努利(Bernulli)不等式(1     

几个基本超几何级数变换公式的U(n+1)拓广

应用Carlitz反演的U(n+1)形式以及级数重排技巧,建立了几个基本超几何级数变换公式的U(n+1)拓广.     

重要极限(?)(1+1/n)~n=e的另两种证法

在同济大学的高等教学教材中,叙列x_n=(1+1/n)~n的单调性是用牛顿二项公式来证的.笔者现介绍另两种证明方法.     

用余弦定理证公式C_(α+β)

高中《代数》第一册通过作辅助角-β,然后根据两个三角形全等和两点间距离公式证明了公式Cα+β,方法较繁,现给一种简捷法。证明建系如图5,作单位圆O,α、β角的始边为ox,交圆O于P,终边分别交圆O于P_1和P_2,其坐标是:P_1(cosα,sinα)P_2(cosβ,sinβ)。由余弦定理得     

关于 X_(n+1)=(x_n(x_n~2+3))/(3x_n~2+1)的通项公式

这是八六年高考数学第八题:已知x_1>0,x_1≠1 且x_n+1=x_n(x_n~2+3)/3x_n~2+1(n=1,2,…)。试证:数列{x_n}或者对任意自然数都满足x_nx_(n+1)。此题证法很多,先求通项公式是一个类型的方法,下面给出一种求通项公式的简便方法。由已知