关于方程x~2-1=y~5

我们已知方程x~2-1=y~3在xy≠0时只有一组整数解x=3,y=2.在本文中,我们将证明方程x~2-1=y~5设有xy≠0的整数解。     

方程x~2+y~2=dz~2的全部整数解

主要利用数论中的拉格朗日定理和高斯二平方和定理,决定了不定方程x2+y2=dz2的全部正整数解,并指出在一些特殊情形下,可以将上述结果推广到比整数环更大的二次域的整数环中.     

关于Diophantine方程y~2-k=x~3的算术级数整数解

讨论了由Monhanty提出的关于不定方程y~2-k=x~3的算术级数整数解,改进了一些结果,推翻了Monhanty提出的一些猜想.     

不定方程x~3+1=2019y~2的整数解

研究了不定方程x~3+1=2019y~2的整数解问题。利用简单同余法、分解因子法、Pell方程法以及分类讨论等初等方法,得出不定方程x~3+1=2019y~2有且仅有平凡整数解(x,y)=(-1,0)。     

关于不定方程x~3-1=55y~2整数解的讨论

利用递归序列、同余式、平方剩余以及Pell方程的解的性质证明了不定方程x~3-1=55y~2仅有整数解(x,y)=(1,0).     

关于不定方程x~3-1=301y~2整数解的讨论

利用递归序列,同余式、平方剩余以及Pell方程的解的性质证明了不定方程x3-1=301y2仅有整数解(x,y)=(1,0).     

Diophantine方程x~3+8=397y~2的整数解

利用递归序列、同余式、Maple小程序、Pell方程的解的性质证明了Diophantine方程x3+8=397y2仅有整数解(x,y)=(-2,0).     

关于不定方程x~3+1=1043y~2的整数解

主要利用递归序列、同余、平方剩余以及Pell方程的解的性质,证明了不定方程x~3+1=1043y~2仅有平凡整数解(-1,0)。     

关于Diophantine方程x~3-1=38y~2

运用初等方法及同余理论,研究丢番图方程正整数解。证明了Diophantine方程x3-1=38y2仅有两组正整数解(x,y)=(1,0)(7,3)。     

关于方程x~2-1=y~(11)

我们知道①方程02-1一∥”,P=5,7,13敲有2可幸0的憋数解,现在来靛明(1) 。z0--1=:yl‘亦被彳『平凡解彤=±l,Y=0和z一0,2,=一1. 如果(1)式有非币凡解z,Y存在,晁然可靛z>0。∥>0,牲(岔+1,x-1)一1时,得出 .x+l=2l¨,x-1=02¨, y.-=zl z2。 2l>22>0,其中。l。Z2郁是拯数。但是这将耠出矛盾黯朵 。 2=zl’’一g2’l口(2l-z2)(Zl’。+21’岩2_…··-FzI 22’+z2。o)≥=10,所以(x+l,x-1)一2,而由(1)式,藏氏能得出(9)z±l一2’。。～Yl¨,xGl=2Y2’1,Y≈2。YlY2,2}YtY2,其中Yl,Y2和t都是正整数 ,, 另一·方面,在 3)时得}}{(州.祭)一1∥{·1…     

不定方程x~2十y~2=m整数解的通解

本文利用Gauss整数环的性质,求出不定方程 x~2+y~2=m, (1)这里m为任意给定的正整数,整数解的通解,并由此求出不定方程(1)的解数r(m)的计算公式。r(m)的计算公式,即本文定理2,在华罗庚[1]第六章§7中已有结果,但证法不一样。     

关于Diophantine方程x~3-1=91y~2

利用初等方法证明了Diophantine方程x3-1=91y2仅有整数解(x,y)=(1,0)。     

丢番图方程x~3+64=3y~2的整数解

丢番图方程x~3+64=3y~2的整数解至今未解决,利用奇偶数的性质、同余的性质等证明了丢番图方程x~3+64=3y~2仅有整数解(x,y)=(-4,0).     

关于不定方程组{x~2-2y~2=1 2y~2-3z~2=4和{x~2-2y~2=1 2y~2-5z~2=7

对于不定方程组{x~2-2y~2=1 2y~2-3z~2=4和{x~2-2y~2=1 2y~2-5z~2=7证明了它们没有整数解.     

关于不定方程组y~2-2x~2=1,z~2-5x~2=4和y~2-5x~2=4,z~2-10x~2=9

本文证明了标题中所列的两个不定方程组均只有x=0的整解,从而证明了有且只有一个整数N=1使得1,2,5,N或1,5,10,N四数中任二数之积减去1后均为平方数.     

关于丢番图方程x~4±5x~2y~2 5y~4=z~2

利用初等方法及Fermat无穷递降法 ,获得了丢番图方程x4 ± 5x2 y2 5y4 =z2 与x4 ± 10x2 y2 5y4 =z2 的正整数解公式     

Pell方程x~2-2y~2=1和y~2-Dz~2=4的公解

本文证明了当D模12不同余-1且D为7或者8个不同奇素数之积时,Pell方程x2-2y2=1和y2-Dz2=4仅有平凡解z=0.     

关于Pell方程组x~2-8y~2=1与y~2-Dz~2=1的解

设D=2p_1…p_s(1≤s≤4),p_1,…,p_s(1≤s≤4)是互异的奇素数.利用奇偶分析、同余的性质、Pell方程的解的性质和递归序列等方法讨论了Pell方程组x~2-8y~2=1与y~2-Dz~2=1的解的情况.     

不定方程x~2+4~k=y~9的整数解

利用初等数论及代数数论的方法研究了不定方程x~2+4~k=y~9(k=3,4,5)在Gauss整环中的可解性,证明该方程当k=4时仅有整数解(x,y)=(±16,2),而当k=3,5时无整数解.     

不定方程x~2+1024=4y~9的整数解

在高斯整环中,利用代数数论理论和同余理论的方法研究不定方程x2+1024=4y9(x,y∈Z)的整数解问题,并证明了其仅有整数解(x,y)=(±32,2)。