Asymmetric stokes flows generated by the motion of a closed torus

Exact solutions of the Stokes equations are given for asymmetric flows produced by a closed torus which steadily translates along or rotates about a direction perpendicular to its axis of rotational symmetry in a quiescent viscous fluid. The force and couple acting on the body are calculated and the general motion of a closed torus is considered.

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Zusammenfassung Exakte Lösungen der Stokes'schen Gleichungen werden für eine asymmetrische Strömung angegeben, die von einem geschlossenen Torus in einer ruhenden zähen Flüssigkeit erzeugt wird. Dieser Torus bewegt sich entweder entlang einer Achse oder rotiert um eine Achse, wobei diese Achse jedesmal senkrecht zur Symmetrieaches des Torus steht. Die Kraft und das Moment die am Körper angreifen werden berechnet, und die allgemeine Bewegung eines geschlossenen Torus wird untersucht.

     

Electron optics in multi-stage lens system (II)

Zusammenfassung Die Ausdrücke für die relativistischen Kardinalelemente einer elektrischen Zweirohr-Linse werden vermittels eines Störungsverfahrens hergeleitet und auf den Fall schwacher Linsen angewendet. Es wird angenommen, dass das Potential auf der Achse den vonSpangenberg gegebenen Wert besitzt.Hierauf werden die relativistischen Kardinalelemente eines aus solchen Linsen bestehenden Systems in ähnlichen Formen wie im nichtrelativistischen Fall ausgedrückt, unter Heranziehung der Ausdrücke für eine Linse. Die Ergebnisse der Rechnung werden an einem typischen Fall erläutert.     

A generalized spherical harmonics solution basic to the scattering of polarized light

A generalized spherical harmonics solution for the azimuthally symmetric component of a Fourier representation of the vector of Stokes parameters basic to the scattering of polarized light in a plane-parallel layer is reported. The final result is continuous in both independent variables and is valid for a general class of scattering matrices. Computational aspects of the developed solution are discussed, and numerical results for the relevant Stokes vector are given for several realistic cases.

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Zusammenfassung Es wird über eine verallgemeinerte Lösung in Kugelfunktionen berichtet für die azimutalsymmetrische Komponente der Fourier-Darstellung eines Vektors von Stokes-Parametern, die für die Theorie der Streuung von polarisiertem Licht in ebenen parallelen Schichten grundlegend ist. Das Endresultat ist kontinuierlich in beiden unabhängigen Veränderlichen und ist für eine allgemeine Klasse von Streumatrizen gültig. Rechnerische Aspekte der gewonnenen Lösung wurden diskutiert, und numerische Lösungen für den relevanten Stokes-Vektor werden für verschiedene realistische Fälle angegeben.

     

General axisymmetric solution of the creeping motion equations in the presence of free surfaces and gravitational forces

The Navier Stokes equations for slow motion of an incompressible viscous flow in an axisymmetric tube under gravity are solved in terms of a pair of potential functions. Their gauge transformations and scaling properties are discussed and the velocity field of a fluid with a free upper surface at constant position is calculated from tube geometry and the outlet pressure. For numerical solution a polynomial approximation is given which is stable against the uncertainties of the boundary conditions as is demonstrated for a simple example.

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Zusammenfassung Die linearisierten Navier-Stokes Gleichungen für eine imkompressible zähe Flüssigkeit im Schwerefeld werden für den axialsymmetrischen Fall mit Hilfe zweier Potentialfunktionen gelöst. Ihre Eichtransformationen und Skalierungseigenschaften werden angegeben. Die Lösung wird dazu benutzt um das Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit mit ortsfester freier Oberfläche in einem axialsymmetrischen Gefäß aus der Geometrie und dem Auslaßdruck zu berechnen. Zur numerischen Lösung wird eine polynomiale Näherung angegeben. An einem Beispiel wird gezeigt, daß die Methode gegen die Unsicherheiten der Randbedingungen stabil ist.

     

On axisymmetric Stokes flow past a finite circular pipe

The axisymmetric streaming Stokes flow past a hollow boundary of arc cross-section leads to a mixed boundary value problem that has only been solved for a hollow sphere with equal caps removed. Here a finite circular cylinder is considered and the solution is obtained via dual integral equations, involving modified Bessel functions, arising from Fourier transforms. Numerical values for the flux and drag are obtained, with particular interest accruing to the case of small pipelength for comparison with the spherical hollow boundary.

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Zusammenfassung Die axisymmetrische Stokes-Strömung um (und durch) eine hohle Begrenzung mit bogenförmigem Querschnitt führt auf eine Randwertaufgabe vom gemischten Typus, welche bis jetzt nur für eine Hohlkugel (mit zwei identischen Kugelkappen entfernt) gelöst wurde. Hier wird ein endlicher Kreiszylinder behandelt und die Lösung wird mit Hilfe von dualen Integralgleichungen erhalten; diese enthalten modifizierte Besselfunktionen, die sich durch Fourier-Transformationen ergeben. Numerische Ergebnisse werden für den Fluss und den Widerstand angegeben, wobei das sehr kurze Rohr besonders interessant ist für den Vergleich mit dem Fall der Hohlkugel.

     

On the steady flow of a Newtonian fluid between two parallel disk

Summary We show that the steady flow of a viscous fluid of moderate Reynolds number between two parallel disks has an exact solution which takes the form of a power series. Employing this exact solution the two-point boundary value problem for this class of flow is reduced to a nonlinear algebraic system which is then solved by a standard optimization method. Results are given for two particular cases, the continuous squeezing flow and the coaxial-disk flow.

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Zusammenfassung Wir zeigen, daß die ständige Strömung einer viskosen Flüssigkeit von mäßiger Reynoldszahl zwischen zwei parallelen Scheiben eine exakte Lösung hat, die die Form einer Potenzreihe annimmt. Wenn wir diese exakte Lösung anwenden, wird das Zwei-Punkte-Grenzwertproblem für diese Art von Strömung reduziert auf ein nichtlineares algebraisches System, das dann durch eine Optimierungsmethode gelöst werden kann. Angegeben werden Resultate für zwei Einzelfälle: die kontinuierliche Quetschströmung und die Strömung für Koaxialscheiben.

     

Bestimmung einer ersten Basislösung beim „Linearen Programmieren“

Zusammenfassung Die Anwendung der Simplex-Methode erfordert eine brauchbare Basislösung. Kommen in allen Gleichungen bei nicht-negativen Bedingungskoeffizienten positive Schlupfvariable vor, dann geben die Schlupfvariablen eine brauchbare Basislösung. Anderenfalls müssen künstliche Variablen eingeführt werden, die das Problem vergrößern. Es wird eine Methode entwickelt, die in ähnlichen Schritten wie die Simplex-Transformation echte Variablen in die Basis aufnimmt, und in sehr vielen Fällen eine brauchbare Basislösung ohne künstliche Variablen gibt.

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The application of the Simplex-method requires a feasible basic solution. If there are positive slack-variables and if the requirements for all equation are non-negative, a basic feasible solution is given by the slack-variables. Otherwise artificial variables have to be introduced, which enlarge the problem. A method is developed, which uses similar steps as the Simplex-transformation and by which real variables are successively introduced; this leads in most cases to a feasible solution without artificial variables.

     

Combinations of parallel and sink flows at low reynolds number: Models for duct-bifurcation

Explicit solutions and corresponding wall vorticities are calculated for Stokes flows in which a fraction of the flux of a plane or axisymmetric duct flow is forced to leave the duct via a wall sink.

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Zusammenfassung Explizite Lösungen und die Rotation des Geschwindigkeitsfeldes an den Wandoberflächen für Stokes-Strömungen durch ebene und axisymmetrische Kanäle werden angegeben. Der Einfluß einer Senke, — die einen Anteil der Durchströmmenge absorbiert —, in der Kanalwand wird berechnet.

     

Thermally driven acoustic oscillations,part V: Gas-liquid oscillations

Summary Thermally driven gas oscillations are considered which drive a liquid column at the cold open end. The frequency of the oscillations is lowered by the inertia of the liquid and the Stokes boundary layer is thick. Optimal conditions for thermal driving in the gas occur at correspondingly big tube radii. Experiments conducted inN ₂ confirm the theoretically calculated stability limits. With hot air driving a water column, a low critical temperature ratio for the oscillations of about 1.5 was observed.

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Zusammenfassung Thermisch getriebene akustische Schwingungen werden untersucht die eine Flüssigkeitssäule am kalten offenen Ende antreiben. Die Frequenz der Schwingungen wird durch die Trägheit der Flüssigkeit vermindert und die Stokes'sche Grenzschicht ist dick. Die optimalen Bedingungen für thermisch getriebene Schwingungen im Gas werden bei entsprechend höheren Rohr-Radien auftreten. Experimente mitN ₂ haben die theoretisch berechneten Stabilitätsgrenzen bestätigt. Bei einer Anordnung, in der heisse Luft eine Wassersäule angetrieben hat, wurde ein tiefes kritisches Temperaturverhältnis von etwa 1.5 beobachtet.

     

Some separated Stokes flows

Summary Stokes flow separation past a spherical cap or a circular disc is studied for the axisymmetric case by means of flows generated by the following singularities: A Stokeslet, a Stokeslet dipole, a source and a dipole. We find that the flow separates at the rim of the cap or disc and when the singularity is far, the flow field is qualitatively similar for all singularities considered and has a separation bubble on the concave side of the cap or on the side of the disc shielded from the singularity. When the singularity is not very far from the cap or disc the structure of the flow field depends on the singularity. In the case of the cap, for instance, for a Stokeslet there is just one separation bubble which occurs on the convex or concave side of the cap depending on whether the Stokeslet is within or outside the sphere of the cap, whereas for a dipole either one, two or three bubbles are formed and the structure and location of these bubbles depend on the position of the singularity and the cap angle. Also there are configurations where the cap experiences no thrust.

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Zusammenfassung Es wird die Ablösung der Stokes-Strömung entlang einer Kugelkappe oder einer kreisförmigen Scheibe im axisymmetrischen Fall untersucht, wobei die Strömung durch die folgenden Singularitäten erzeugt wird: ein Stokeslet, ein Stokeslet-Dipol, eine Quelle und ein Dipol. Ablösung wird an der Kante der Kappe oder der Scheibe gefunden wenn die Singularität sich im Fernfeld befindet. Die Strömung ist qualitativ ähnlich für alle Singularitäten, und das Ablösungsgebiet befindet sich auf der konkaven Seite der Kappe oder auf der Seite der Scheibe welche von der Singularität abgeschirmt ist. Bei der Singularität im Nahfeld ist das Strömungsbild von der Singularität abhängig. Es werden verschiedene Beispiele behandelt. Es gibt auch Konfigurationen in denen auf die Kappe kein Schub wirkt.

     

Plane strain displacement and stress waves induced in a transversely isotropic elastic solid by a line source

The plane strain displacement and stress field induced in an unbounded, transversely isotropic, elastic solid by a uniform line load is reduced to a simple residue calculation. Explicit results on a coordinate axis are given for three representative hexagonal crystals when the line load is normal to the axis of material symmetry. The case in which the applied load is not normal to the symmetry axis is also discussed.

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Zusammenfassung Der ebene Verformungs- und der ebene Spannungszustand, die in einem unbegrenzten transversal isotropen elastischen Körper durch eine gleichförmige Linienbelastung erzeugt werden, lassen sich auf eine einfache Residuenrechnung reduzieren. Als Anwendung werden drei repräsentative hexagonale Kristalle besprochen, wobei die Linienbelastung zunächst normal zur Symmetrieachse und dann allgemein vorausgesetzt wird.

     

Flow due to an oscillatory free stream past a rotating disk

Summary In this paper, an exact solution of the Navier-Stokes' equations for the flow due to the harmonic oscillations of a free stream past a rotating disk is presented. The differential equations for this flow, valid for all amplitudes and frequencies of oscillations, are obtained. Analytical-numerical solutions are developed for low and high frequency of oscillations and enough numbers of terms are used in the calculation to give the solution a satisfactory accuracy over the entire flow region.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird eine exakte Lösung der Navier-Stokes' schen Gleichungen für die durch die harmonischen Schwingungen einer freien Strömung an einer rotierenden Scheibe verursachte Strömung angegeben. Die Differentialgleichungen für die Strömung, gültig für alle Amplituden und Oszillations-frequenzen, werden erhalten. Analytisch-numeriche Lösungen werden für hohe und niedrige Oszillations-frequenzen entwickelt und eine genügende Anzahl von Gliedern wird in der Berechnung gebraucht, um der Lösung eine befriedigende Genauigkeit über den ganzen Strömungsbereich zu geben.

     

Stationäre Transportvorgänge der Ladungsträger in einem dichten,ruhenden, isothermen,thermoionischschwachionisierten Plasma. Kontinuumstheorie

Zusammenfassung Es werden zunächst Entladungen betrachtet zwischen zwei parallelen Ebenen als Elektrodenoberflächen, von denen die eine stets im Unendlichen liegt. Insbesondere werden betrachtet: das thermodynamische Gleichgewicht; dann die verallgemeinerte ambipolare Diffusion, endlich allgemeinere Fälle durch asymptotisches Anpassen einer von der im Endlichen gelegenen Elektrodenoberfläche ausgehenden Lösung an die vom Unendlichen kommende Lösung für ambipolare Diffusion.Abschliessend ist gezeigt, welche Besonderheiten auftreten und wie die vorliegende Kontinuumstheorie modifiziert werden muss: wenn positive und negative Ladungsträger verschiedene Temperaturen und/oder entgegengesetzt verschiedene Ladungen haben; wenn an Stelle der ebenen, eine kreiszylindersymmetrische oder eine kugelsymmetrische Anordnung betrachtet werden.

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Summary Considered are at first discharges between two electrode surfaces which are parallel planes, one of them being always infinitely remote. Especially considered are: thermodynamic equilibrium; then generalized ambipolar diffusion; finally more general cases, by matching a numerical solution starting from the electrode surface in the finite to the solution of generalized ambipolar diffusion coming from infinity.At last it is shown which peculiarities appear and how the present continuum theory must be modified: if positive and negative charge carriers have different temperatures and/or particle charges of different values; if instead of the plane a cylindrical or a spherical configuration is considered.

     

Oscillatory shearing of a class of elastic-plastic materials

Summary For a special class of elastic-plastic materials, it is shown that infinitesimal oscillatory shearing motions can be sustained without the application of body forces. Hardening, softening and perfectly plastic responses are considered.

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Zusammenfassung Für eine spezielle Klasse von elastisch-plastischen Materialien wird gezeigt, daß infinitesimale oszillatorische Scherbewegungen ohne die Anwendung von Körperkräften aufrecht erhalten werden können. Härtung, Enthärtung und ideale plastische Reaktionen werden betrachtet.

     

Asymmetric fluid flow in a hemispherical container induced by electromagnetic forces

Summary The flow of incompressible fluid in a hemispherical container induced by a distributed source of current and a superimposed uniform magnetic field, applied perpendicular to the axis of symmetry of the hemisphere, is investigated. A series solution is developed when the inertial terms in the Navier-Stokes equations are neglected and numerical results are stated for values of the parameters which are particularly relevant to the welding of steel.

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Zusammenfassung Es wird die Strömung eines inkompressiblen Fluids in einer Halbkugel untersucht, die durch eine Verteilung von Strömen in einem gleichförmigen Magnetfeld induziert wird; das Feld steht senkrecht zur Symmetrieachse des Behälters. Eine Reihenentwicklung wird gegeben bei der die Trägheitsterme der Navier-Stokes'schen Gleichungen vernachlässigt werden. Numerische Resultate werden gegeben für Parameter die für das Schweissen von Stahl relevant sind.

     

Flows satisfying mixed no-slip and no-shear conditions

Summary Solutions are presented which describe eight viscous flows satisfying mixed no-slip and no-shear conditions: 1. shear flow over a plate with a longitudinal no-shear slot; 2, shear flow over a plate with a regular array of such stots; 3. flow in a circular tube with one or more such slots; 4. flows between two parallel plates with a longitudinal no-shear slot in one of them; 5. flows between two parallel plates with a regular array of such slots in one of them; 6. shear Stokes flow over a plate with a transverse no-shear slot; 7, shear Stokes flow over a plate with a regular array of such slots; 8. Stokes flow due to a two-belt stirer. The solutions carry over to appropriate applications in diffusion, heat conduction, electricity, and elasticity.

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Zusammenfassung Acht Beispiele für Strömungen einer zähen, unzusammendrükbaren Flüssigkeit, die gemischte Randbedingungen erfüllen (Haften und Gleiten) werden gegeben: 1. Scherströmung über eine Platte mit einem längsgerichteten Schlitz ohne Schubspannung; 2. Scherströmung über eine Platte mit senkrecht angeordneten Schlitzen; 3. Strömung in einem zylindrischen Rohr, mit einem oder mehreren Schlitzen; 4. Strömungen zwischen zwei parallelen Platten mit einem längsgerichteten nichtscherenden Schlitz in einer Platte; 5. Strömungen zwischen zwei parallelen Platten mit einer senkrechten Anordnung solcher Schlitze in einer Platte; 6. Stokes Scherströmung über einer Platte mit einer senkrechten Anordnung finden auch Anwendungen auf Probleme der Diffusion, Wärmeleitung, Elektrizität und Elastizität.

     

On the steady flow between a rotating and a stationary disk with a uniform suction at the stationary disk

Summary The steady axisymmetric flow of a viscous incompressible fluid between two coaxial disks, one rotating and the other stationary, with uniform suction at the stationary disk is discussed. Similarity solutions of Navier-Stokes equations are obtained by the method of regular perturbation for small suction Reynolds number and numerically for an arbitrary suction Reynolds number by a series expansion method and also by integrating directly by a Newton-Raphson technique. It is found that for a fixed rotational Reynolds number and varying suction Reynolds number there is an overall increase in the velocity components as the suction increases.

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Zusammenfassung Es wird die stationäre axisymmetrische Strömung zwischen zwei koaxialen Platten untersucht, von denen die eine rotiert und die andere stationär ist, wobei an der stationären Platte eine gleichförmige Absaugung stattfindet. Ähnlichkeitslösungen der Navier-Stokesschen Gleichungen werden erhalten, durch eine reguläre Störungsrechnung bei kleinen Absaug-Reynoldszahlen, während bei beliebigen Werten dieses Parameters numerische Resultate sowohl durch eine Reihenentwicklung wie auch durch direkte Integration mit Hilfe der Newton-Raphson-Technik gefunden werden. Bei fester Rotations-Reynoldszahl und variabler Absaugung findet man eine allgemeine Erhöhung der Geschwindigkeits-komponenten mit der Absaugung.

     

Discrete methods for boundary value problems with applications in plate deflection theory

In this report we survey numerical techniques of order 2, 4 and 6 for the solution of a two-point boundary value problem associated with a fourth-order linear ordinary differential equation. A sufficient condition guaranteeing a unique solution of the boundary value problem is also given. Numerical results are tabulated for two typical numerical examples and compared with some known methods including the shooting technique employing the classical fourth-order Runge-Kutta method.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit werden numerische Methoden der Ordnung 2, 4 und 6 untersucht zur Lösung eines Zwei-Punkt Randwertproblemes für eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung vierter Ordnung. Es wird eine hinreichende Bedingung gegeben die die eindeutige Lösung der Randwertaufgaben gewährleistet. Tabellen der numerischen Resultate werden für zwei typische Beispiele angegeben und mit gewissen bekannten Methoden verglichen, einschliesslich der Einschiess-Technik die die klassische Runge-Kutta Methode vierter Ordnung benützt.

     

Zurückführung des Stundenplanproblems auf ein dreidimensionales Transportproblem

Zusammenfassung Unter den verschiedenen Versuchen, mittels Computer einen Stundenplan zu bekommen, gibt es bis jetzt nur wenige, die das Problem erfolgreich auf mathematischem Wege angingen. Gewöhnlich konnte dabei immer nur eine vereinfachte Form des Problems gelöst werden, und eine Lösung des allgemeinen Problems steht noch aus. Diese Arbeit zeigt eine weitere Möglichkeit für eine mathematische Behandlung, indem ein Stundenplanproblem auf die Form eines dreidimensionalen Transportproblems zurückgeführt wird. Dadurch eröffnen sich neue Möglichkeiten, da für die Lösung dieses Transportproblems eigene Algorithmen existieren. Ferner kann man weitere notwendige Bedingungen für die Existenz eines Stundenplans finden, die über die derzeit bekannten hinausgehen.

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Summary Among the different approaches to get a timetable by computer there are only a few which succeeded in solving the problem mathematically. Usually, in these cases only a reduced timetable problem could be handled and the solution of the general prolbem still remains. The present paper contains an additional approach of mathematical treatment by formulating a timetable problem as a multi-index transportation problem. Through that the special algorithms for the solution of this transportation problem can be used to solve the timetable problem. Moreover it is possible to find additional necessary conditions for the existence of a timetable which had not been known up to now.

     

Results of the eigenvalue problem for the plate equation

Summary A recently published paper describes a numerical method for the fast solution of discretized elliptic eigenvalue problems. Here we report the results of this technique applied to the biharmonic (plate) equation. 46 eigenvalues (24 single and 11 double ones) are computed and the corresponding eigenfunctions are plotted.

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Zusammenfassung In einer kürzlich erschienenen Arbeit wird eine numerische Methode zur schnellen Lösung diskretisierter elliptischer Eigenwertprobleme beschrieben. Hier werden die Resultate wiedegegeben, die sich bei der Anwendung dieser Methode auf die biharmonische (Platten-) Gleichung ergeben. 46 Eigenwerte-24 einfache und 11 doppelte—werden berechnet und die zugehörigen eigenfunktionen skizziert.