利用“韦达定理”解竞赛题

<正>一元二次方程的根与系数的关系,常常也称为韦达定理,它是16世纪法国杰出的数学家韦达发现的.韦达定理如果ax²+bx+c=0(a≠0)的两个根是x_1、x_2,那么x_1+x_2=-b/a;x_1·x_2=c/a.在数学竞赛中,利用韦达定理解题屡见不鲜.一、直接利用韦达定理解题     

浅谈韦达定理的教学

韦达定理“如果方程ax~2 bx c=0(a■0)的两根是x_1,x_2，那么，，x_1 x_2=-(b/a),x_1·x_2=(c/a)”.它提示了一元二次方程根与系数的内在联系,无论在代数、几何、三角,还是在解析几何中都有着其广泛的应用。然而,许多学生虽然理解了韦达定理的内容,但不能正确加以运用。究其原因,笔者以为,主要是由于教师的教法不     

巧用韦达定理解题

<正>已知一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个的根分别为x_1,x_2,求解有关x_1,x_2代数式的值是一元二次方程问题中的一种题型,解决此类问题通常有两种方法,分别是:方法 1先将已知的一元二次方程的根求出来,然后再带入到已知的代数式中计算;方法2将所求代数式进行适当的变形,然后利用韦达定理以及已知条件去求解出变形后的代数式的值.这两种方法各有利弊,方法 1思路简单,     

也谈一元二次方程根与系数的关系

<正>一元二次方程的根与系数的关系,是中考的一个重要考查点,主要考查同学们对于韦达定理(Victa.stheorem)掌握的准确程度与应用的熟练程度.韦达定理如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个根为x_1,x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1x_2=c/a.为了帮助同学们学好这一基础知识,安徽的陈义明老师从"顺向"进行了认识:(1)两根之和等于一次项系数与二次项系数的商的相反数,     

准确理解一元二次方程的根与系数的关系

<正>一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:如果ax²+bx+c=0(a≠0)的两个根为x_1、x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1x_2=c/a.这个关系通常称为韦达定理(Victa's theorem)学习时,我们要准确理解一元二次方程的根与系数的关系,把握其本质特征,理顺两根x_1、x_2与系数a、b、c之间的相互关联.而要全面准确地理解一元二次方程的根与系数的关     

韦达定理的应用例谈

一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.这是著名的韦达定理,它在数学解题中有非常重要的应用.现举例说明.     

简介一元二次方程有特殊根的条件及证明

<正>在学习一元二次方程时,常遇到求方程有特殊根的条件问题,但是课本没有详细的进行归纳总结.作者认为应该根据根的判别式及根和系数关系(韦达定理),来概括总结一元二次方程的几种常见特殊根的条件及证明如下:以下设所给的一元二次方程为ax²+bx+c=0(a≠0),若有根的话设它的两个根分别为x_1和x_2.下面给出几个结论及证明.     

韦达定理及其应用

韦达定理及其逆定理是中学数学中的重要基础知识,在解决数学问题时是经常要用到的一种工具。本文只就一元二次方程根与系数的关系来谈韦达定理及其应用。     

巧用韦达定理例谈

韦达定理是一元二次方程根与系数之间关系的一个基本定理.有些题目,看似与一元二次方程并无关系,但倘若细心观察,巧妙变化,就能应用韦达定理,使问题迅捷获解. 1 巧求代数值 例1 实数a、b、c满足a=b 2～(1/2),2ab 2(2～(1/2))c2 1=0,求a b c的值. 解由已知条件得 a (-b)=2～(1/2),a·(-b)=2～(1/2)c2 1/2,根据韦达定理,a、-b可看为方程x2-(2～(1/2))x (2～(1/2))c2 1/2=0的两实数根,     

利用韦达定理证明某些三角恒等式

给定复数a_0,a_1,a_2,……a_n,则n次代数方程a_0x~n+a_1x~(n-1)+……+a_n=0 (a_0≠0)必存在n个根x_1,x_2,……x_n,韦达定理给出了这n个根与方程系数a_0,a_1,……a_n的关系如下:     

初中数学竞赛中的一元二次方程问题

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有以下关系:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,那么x1+x2=-ab,x1·x2=ac.反过来,如果x1,x2满足x1+x2=p,x1·x2=q,则x1,x2是一元二次方程x2+px+q=0的两个根.因此,人们把这个关系称为韦达定理.一元二次方程的韦达定理,揭示了根与系数的一种必然联系.利用这个关系,我     

利用韦达定理变形的技巧

<正>在数学学习中,尤其是在直线与圆锥曲线的综合问题中经常用到韦达定理去处理相关问题.比较简单的情形,例如(x_1-x_2)~2=(x_1+x_2)~2-4x_1x_2我们知道可以通过配方来处理.但是在实际问题中会出现形如mx_1+nx_2+px_1x_2+q=0的形式,往往无从下手.下面先看一道例题:     

韦达定理及其应用

在中学的代数課里,曾讲授过二次方程的根与系数的关系,那就是大家所熟悉的韦达定理。它的逆定理也是成立的。这两个定理运用得很广泛,有关二次方程討論的许多問題,都可以用到它們。本文主要想給予逆定理以两个証明方法,并将这两个定理的运用作一些系統的敍述。 (一) 一般概念 設二次方程 ax~2+bx+c=0 (1)的根是x_1和x_2,那么根据求根公式有: 从这两个等式可得这就証明了下面的定理(韦达定理): 定理1.如果二次方程ax~2+bx+c=0有根,則这两根之和等于一次項的系数b除以二次項的系数a所得之商的相反数;这两根之积等于常数項c除以二次项系数a所得之商。     

运用韦达定理五注意

<正>韦达定理是初中代数的重要定理,应用十分广泛,韦达定理有用但需会用.运用韦达定理除确切掌握定理外,还必须注意以下五个细节问题.一、注意根的符号例1已知α、β是方程x2+5x+2=0的两根,求(α/β)1/2+(β/α)1/2的值.解由韦达定理,知α+β=-5,αβ=2,     

一个奇妙的勾股数组构成规律

<正>1勾股定理的来历和常见的勾股数组构成规律勾股定理被称作"几何学的基石",在几何学乃至整个科学领域都有着重要意义.关于勾股定理的最早记载出现在中国古代的数学著作?周髀算经?中,里面提到了勾三股四弦五的说法.此外,在?九章算术?中也有勾股定理公式化的论述,但没有证明过程.三国时期,数学家赵爽作?周髀算经注?,列出了?勾股圆方图?和?勾股圆方图注?,对勾股定理给出了严格而又巧妙的证明.在西方,最早对勾股定理给出证明的是公元前6世纪的古希腊数学家毕达哥拉斯,他用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和,为了纪念他的贡献,勾股定理又被称作"毕达哥拉斯定理".     

提高运算素养 培养关键能力——以2022年部分省、市数学中考韦达定理试题为例

教育部于2022年4月发布了《义务教育数学课程标准(2022年版)》,其中删除了“一元二次方程根与系数的关系”的星号(*),即对韦达定理的要求由“选学”变成了“了解”.韦达定理及其应用对提升学生的运算素养起着重要作用,能培养学生的数学关键能力.     

韦达定理的妙用

韦达定理是中学数学的重要内容 ,它涉及面广 ,综合性强 ,既是一个活跃的知识点 ,又是数学知识链上不可缺少的一环 .原则上讲 ,凡涉及到两量之和 (差 )与积的问题都可联系韦达定理 ,赋两根以几何意义 ,特别是巧妙构思 ,创设一元二次方程 ,构造应用韦达定理的条件 ,使问题化难为易 .　　一、在平面几何中的应用【例 1】　 (蝴蝶定理 )过圆O的AB弦的中点M引任意两弦CD和EF ,连CF和ED交弦AB于P、Q ,求证 :PM =MQ .分析 :蝴蝶定理是平面几何中一个重要的定理 ,1973年美国中学教师斯特温利用正弦定理和相交弦定理给出证明 ,此处从略 .下面…     

从“勾股容方”到均值不等式

均值不等式是中学数学的重要主题,迄今为止,人们已经给出了很多种证明或推导方法,人们耳熟能详的弦图模型和半圆模型实源于古代中国和希腊的数学史.展卷阅读古代数学文献,我们常常会有新的收获.本文从《九章算术》"勾股容方"问题出发,对均值不等式进行了粗浅的探究.1勾股容方汉代数学名著《九章算术》勾股章中设题:"今     

关于韦达定理的名称

二次方程根与系数之关系,常常被人称为韦达定理。这样称呼,对吗?为了说明问题,陈列定理四条如下: 定理1.二次方程x~2+px+q=0的两个根是α和β;则:     

韦达定理及其变式的应用

一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的两个根x1,x2与系数存在着某种特定的等式关系,即x1＋x2=-b/a,x1·x2=c/a,我们把它称为韦达定理。我们遇到的数学问题中,并不是所有问题都能直接运用以上两个式子就能得到的,往往需要通过运用这两个式子的一些变形才能达到求解的目的。下面举例说明。