S4中等参超曲面的谱刻画

本文证明了如果Ｓ⁴中的具常平均曲率ｈ的超曲面Ｍ与其具平均曲率ｈ的等参超曲面Ｍ_０（强）等谱，则Ｍ＝Ｍ_０．     

球面上具有四个不同主曲率的Moebius等参超曲面

设x:M→S~(n+1)(n≥5)是(n+1)-维单位球面上不含脐点的超曲面,在S~(n+1)的Moebius变换群下浸入x的四个基本不变量是:Moebius度量g;Moebius第二基本形式B;Moebius形式Φ和Blaschke张量A.本文给出S~(n+1)上具有重数1,1,1,m(m≥2)的四个不同Moebius主曲率的Moebius等参超曲面的分类.     

CP~n中的弱等焦Hopf超曲面

本文研究了ＣＰｎ中的弱等焦Ｈｏｐｆ超曲面的分类,弱等焦超曲面首先是由滕楚莲与Ｔｈｏｒｂｅｒｇｓｓｏｎ在［１３］中引入的,设 Ｍ是 ＣＰｎ中的弱等焦 Ｈｏｐｆ超曲面,则 Ｍ的不同焦半径的个数是 ２,４或６;并且当 ｇ＝ ２或 ４时, Ｍ在 ＣＰｎ中是等参的;当 ｇ＝ ６时,ｎ＝ ３,Ｍ＝π－１（Ｍ）与 Ｓ７中的等参超曲面不Ｌｉｅ等价,此处π：Ｓ７→ＣＰ３是Ｈｏｐｆ纤维化．     

CPn中的弱等焦Hopf超曲面

本文研究了 CPn中的弱等焦Hopf超曲面的分类,弱等焦超曲面首先是由滕楚莲与Thorbergsson在[13]中引入的.设M是CPn中的弱等焦Hopf超曲面,则M的不同焦半径的个数是2,4或6;并且当g=2或4时,M在CPn中是等参的;当g=6时,n=8,(M-)=π-1(M)与S7中的等参超曲面不Lie等价,此处π:S7→CP3是Hopf纤维化.     

单位球面S~6中的Blaschke等参超曲面

单位球面中的一个无脐点浸入子流形称为Blaschke等参子流形如果它的Mbius形式恒为零并且所有的Blaschke特征值均为常数.维数m4的Blaschke等参超曲面已经有了完全的分类.截止目前,Mbius等参超曲面的所有已知例子都是Blaschke等参的.另一方面,确实存在许多不是Mbius等参的Blaschke等参超曲面,它们都具有不超过两个的不同Blaschke特征值.在已有分类定理的基础上,本文对于5维Blaschke等参超曲面进行了完全的分类.特别地,我们证明了S6中具有多于两个不同Blaschke特征值的Blaschke等参超曲面一定是Mbius等参的,给出了此前一个问题的部分解答.     

径向截面曲率有下界黎曼流形的微分同胚定理

研究了径向截面曲率以一类旋转模曲面的Gauss曲率为下界的非紧完备黎曼流形的拓扑,得到了该类黎曼流形与欧氏空间微分同胚的一个合理的充分条件,推广了径向截面曲率有常数下界完备黎曼流形的微分同胚定理.     

R~n上具有三个主曲率的Laguerre等参超曲面

R~n上主曲率非零的定向无脐超曲面x:M→R~n称为Laguerre等参超曲面,如果它的Laguerre形式C=∑_iC_iω_i=∑_iρ~(-1)(E_i(logρ)(r-r_i)-E_i(r))ω_i为零,Laguerre形状算子S=ρ~(-1)(S-rid)的特征值为常数,这里ρ~2=∑_i(r-r_i)~2,r=r=((r_1)+r_2+…+r_(n-1))/(n-1)是平均曲率半径,S是x的形状算子,{E_i}是Laguerre度量g的单位正交标架,{ω_i}是对偶标架.本文给出R~n上具有三个互异Laguerre主曲率的Laguerre等参超曲面的分类.     

R~6中的Laguerre等参超曲面的分类

若超曲面的Laguerre形式为零且Laguerre第二基本形式的特征值(称为Laguerre主曲率)为常数,则称超曲面为Laguerre等参超曲面.对R~6中的Laguerre等参超曲面进行了研究,得到了分类定理.     

共形空间中有两个共形主曲率的共形等参超曲面

研究了共形空间中正则超曲面的共形几何,并在共形等价意义下对有两个共形主曲率的共形等参超曲面作了分类.     

从球面到光滑流形映射的Munkholm型定理

本应用Ｓｍｉｔｈ周期变换理论,根据球面在周期变换下的指数,对球面到光滑流形的连续映射做了进一步探讨,从而得到了Ｍｕｎｋｈｏｌｍ型定理。     

Space-like Isoparametric Hypersurfaces in Lorentzian Space Forms

The purpose of this paper is to make clear the so-called Nomizu problem, whether it is possible to find examples of space-like isoparametric hypersurfaces in H ₁ ⁿ⁺¹ with more than two distinct principal curvatures. It is proved that a space-like isoparametric hypersurface in H ₁ ⁿ⁺¹ or S ₁ ⁿ⁺¹ can have at most two distinct principal curvatures. The authors present the classification and explicit analytic expressions of such type of isoparametric hypersurfaces. This paper was translated from J. Nanchang Univ. Nat. Sci. Ed., 2004, 28(2): 113–117     

等参函数及相关问题研究

著名的Yau 猜想断言单位球面中的紧致嵌入极小超曲面的Laplace 算子的第一特征值等于其维数. 近年来有许多几何学家致力于对Yau 猜想的研究, 但是到目前为止, 已有的结论只是一些关于第一特征值估计的不等式. 作为本文的一个主要结果, 本文证明了对于单位球面中的等参极小超曲面,Yau 猜想是正确的. 进一步地, 对于等参超曲面的焦流形(实际上是球面的极小子流形), 本文还证明了在一定维数条件下, 它的第一特征值也是其维数.
作为本文的第二个主要结果, 以著名的Schoen-Yau-Gromov-Lawson 的关于数量曲率的手术理论为出发点, 本文在一个Riemann 流形的嵌入超曲面处作手术, 构造了一个新的具有丰富几何性质的流形, 称为double 流形. 特别地, 本文在单位球面的极小等参超曲面处实行了这一手术, 发现得到的double 流形不仅有很复杂的拓扑(但其示性类有精确描述), 还存在数量曲率为正的度量, 更重要的是保持了等参叶状结构.
比Willmore 曲面更广泛的定义是Willmore 子流形, 即Willmore 泛函在球面中的的极值子流形.单位球面中的Willmore 子流形的例子在已有文献中是非常罕见的. 作为本文的另外两个主要结果, 通过深入挖掘单位球面上的OT-FKM- 型等参函数的焦流形的性质, 本文发现其极大值对应的焦流形是单位球面的一系列Willmore 子流形; 之后, 本文用几何办法统一证明了单位球面中具有4 个不同主曲率的等参超曲面的焦流形都是单位球面的Willmore 子流形. 这些新的Willmore 子流形是极小的,但一般不是Einstein 的.     

Laguerre Isoparametric Hypersurfaces in R~n with Two Distinct Non-zero Principal Curvatures

An umbilical free oriented hypersurfacex:M→Rnwith non-zero principal curvatures is called a Laguerre isoparametric hypersurface if its Laguerre form C=i Ciωi=iρ1(Ei(logρ)(r ri)Ei(r))ωi vanishes and Laguerre shape operator S=ρ1(S 1 rid)has constant eigenvalues.Hereρ=i(r ri)2,r=r1+r2+···+rn 1n 1is the mean curvature radius andSis the shape operator ofx.{Ei}is a local basis for Laguerre metric g=ρ2III with dual basis{ωi}and III is the third fundamental form ofx.In this paper,we classify all Laguerre isoparametric hypersurfaces in Rn(n3)with two distinct non-zero principal curvatures up to Laguerre transformations.     

Compact Ovoids in Quadrangles III: Clifford Algebras and Isoparametric Hypersurfaces

In this third part, we consider those compact quadrangles which arise from isoparametric hypersurfaces of Clifford type and their focal manifolds. Sections 9–11 give a comprehensive introduction to these quadrangles from the incidence-geometric point of view. Section 10 contains also a new (algebraic) proof that these geometries are quadrangles.We determine which of these quadrangles have ovoids or spreads and also whether the normal sphere bundles of the focal manifolds admit sections, or whether they are topologically trivial. We give explicit geometric constructions for spreads, ovoids, and sections.     

On Focal Submanifolds of Isoparametric Hypersurfaces and Simons Formula

The focal submanifolds of isoparametric hypersurfaces in spheres are all minimal Willmore submanifolds, mostly being \({\mathcal{A}}\) -manifolds in the sense of A.Gray but rarely Ricci-parallel, see Li et al. (Sci China Math 58, 2015), Qian et al. (Ann Glob Anal Geom 43:47–62, 2013), Tang and Yan (Isoparametric foliation and a problem of Besse on generalizations of Einstein condition arXiv:1307.3807, 2013). In this paper we study the geometry of the focal submanifolds via Simons formula. We show that all the focal submanifolds with g ≥ 3 are not normally flat by estimating the normal scalar curvatures. Moreover, we give a complete classification of the semiparallel submanifolds among the focal submanifolds.     

Focal Loci of Algebraic Hypersurfaces: A General Theory

The focal locus is traditionally defined for a differentiable submanifold of R ⁿ. However, since it depends essentially only on the notion of orthogonality, a focal locus can be also associated to an algebraic subvariety of the space , once we have chosen an orthogonal structure on this space. In this paper, we establish somebasic results in the theory of focal loci of algebraichypersurfaces in . Our main results concern the irreducibility of the ramification divisor of the end-point map and the dimension of the singular locus of this divisor, the birationality of the focal map and the degree of the focal locus of an algebraic hypersurface.     

复射影空间的等参子流形

本文给出了复射影空间Ｐ＿ｎ（Ｃ）上的等参映射定义，并证明了等参映射ｆ在Ｈｏｐｆ主丛π：Ｓ￣（２ｎ＋１）→Ｐ＿ｎ（Ｃ）下的水平提升为Ｓ￣（２ｎ＋１）的等参映射。同时，利用对称空间的表示给出了Ｐ＿ｎ（Ｃ）上等参子流形的例子．     

Biharmonic hypersurfaces in 4‐dimensional space forms

We investigate proper biharmonic hypersurfaces with at most three distinct principal curvatures in space forms. We obtain the full classification of proper biharmonic hypersurfaces in 4‐dimensional space forms (© 2010 WILEY‐VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim)