An improved solution to a problem of magneto-thermo-elasticity

Summary This paper examines temperature distribution and displacement in an infinite elastic solid resulting from the simultaneous application of a thermal disturbance and a small perturbation due to an applied magnetic field. It is shown that the presence of the magneto-thermal coupling factor is to decrease the magnitude of the displacement as well as the magnitude of the temperature distribution. The method of similarly transformations is used for simplification and as a result the governing equations are nondimensionalized automatically. The ISML package for Numerical Inversion of Laplace Transform has been used to confirm the analytical results obtained above. The method is a considerable simplification of that by Paria [Ref. 11] and provides graphs of both displacement and temperature.

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Sommario Questo lavoro esamina la distribuzione di temperatura e lo spostamento che, in un solido elastico infinito, risultano dall'applicazione simultanea di un disturbo termico e una piccola perturbazione dovuta ad un campo magnetico applicato. Si dimostra che l'effetto del fattore di accoppiamento magnetotermico è di diminuire l'ampiezza dello spostamento e della variazione di temperatura. Per semplificare si usu il metodo delle trasformazioni di similitudine e di conseguenza le equazioni che reggono il problema risultano automaticamente adimensionali. Si è fatto uso del pacchetto ISML per l'inversione numerica della trasformata di Laplace al fine di confermare i risultati analitici sopra indicati. Il metodo è una sempliflcazione considerevole di quello di Paria (Rif. 11) e fornisce grafici sia dello spostamento sia della temperatura.

     

The equations of Reissner-Mindlin plates obtained by the method of internal constraints

The aim of this paper is to give the title theory of shearable plates a precise and exact position with respect to three-dimensional linear elasticity. We assume that the Reissner-Mindlin representation of the displacement field hold in a 3-D body in the shape of a plate, and discuss how a constitutive response consistent with such a representation should be chosen. We find that the Reissner-Mindlin plate theory results from mere integration over the thickness of the equilibrium equations of a cylindrical body made of a linearly elastic material which is both transversely inextensible and transversely isotropic.

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Sommario Scopo di questo articolo è fornire una deduzione esatta, nell'ambito dell'elasticità lineare tridimensionale, della teoria delle piastre deformabili a taglio menzionata nel titolo. Ammesso che la rappresentazione di Reissner-Mindlin per il campo di spostamento valga in una regione tridimensionale a forma di piastra, si discute come scegliere la risposta costitutiva in maniera coerente con quella rappresentazione. Si trova che la teoria delle piastre di Reissner-Mindlin si ottiene per semplice integrazione sullo spessore delle equazioni di equilibrio di un corpo cilindrico che sia costituito di un materiale linearmente elastico tanto trasversalmente inestensibile che trasversalmente isotropo.

     

On the dynamics of homogeneous,isotropic, electrically conductive elastic bodies subjected to a magnetic field. Case of vibratory plates

Summary With reference to previous own works, the author deals more fully with the vibratory motion of a homogeneous, isotropic perfectly electric conductive elastic body, subjected to a uniform magnetic field, and highlights the possibility of asymmetrical stresses. He applies the results obtained to the case of transversal vibrations of a plane homogeneous plate whose thickness is very small compared to its area, subjected to a uniform magnetic field, perpendicular to its plane.He then considers the particular case of a circular plate clamped at the boundary and determines the influence of the magnetic field on the vibratory constants.

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Sommario L'Autore, riferendosi a lavori suoi precedenti, considera in modo più ampio e completo il moto vibratorio di un corpo elastico omogeneo isotropo, perfetto conduttore dell'elettricità e soggetto a un campo magnetico uniforme, mettendo in evidenza la possibilità di sforzi asimmetrici.Applica i risultati ottenuti al caso delle vibrazioni trasversali di una piastra piana omogenea di spessore molto piccolo in confronto della sua area, soggetta a un campo magnetico uniforme diretto perpendicolarmente al suo piano.In particolare considera una piastra circolare incastrata al contorno e determina l'influenza del campo magnetico sulle costanti di frequenza.

     

Some examples of nonuniqueness of solutions to the equation of linear elastodynamics

Sunto Si mostra, tramite esempi, come l'equazione che governa il moto di un corpo linearmente elastico unidimensionale possa ammettere, nell'ipotesi che il rapporto tra i campi di elasticità e densità diverga in un punto del corpo, infinite soluzioni corrispondenti ad una stessa assegnazione dei dati iniziali ed al contorno e delle forze.     

A note on the optimal state of a binary solid mixture in a stressed elastic bar

We consider the potential energy of the equlibrium configuration under gravity and prescribed vertical forces or displacement of a vertical bar which is composed of a mixture of two elastic materials. It is supposed that in each horizontal cross section the mixture has an effective Young's modulus which depends only on the ratio of the two materials in that cross section, and that the dependence satisfies the bound of Paul [2].It is shown that among all arrangements of the constituents with a given volume fraction, the smallest potential energy is attained when one of the materials is segregated in a single horizontal layer. This result suggests that when a composite cylinder is kept in such a state of strain, its constituent material will eventually diffuse into this segregated state.

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Sommario Si considerano le possibili configurazioni di equilibrio di una sbarra composta da una miscela solida di due materiali elastici, posta in posizione verticale e soggetta, oltre al campo gravitazionale, ad una azione, forza o spostamento applicato, in corrispondenza di una estremità. Si suppone che, in ogni sezione trasversale, il modulo di Young della sbarra dipenda solo dal rapporto locale fra i due componenti della miscela in quella sezione e che questa dipendenza soddisfi la diseguaglianza di Paul [2].Viene mostrato che fra tutte le possibili disposizioni dei due materiali base presenti all'interno del corpo in quantità assegnata, quella che corrisponde ad un minimo per l'energia potenziale prevede che uno dei due componenti si separi dall'altro, concentrandosi in un singolo strato orizzontale. Questo risultato suggerisce che quando un cilindro composito è sottoposto a queste sollecitazioni, i suoi materiali costituenti tenderanno a diffondersi e, alla fine, a separarsi.

     

Accurate solutions and stability criterion for periodic oscillations in hysteretic systems

Summary The study of the periodic response of hysteretic oscillators is reduced to that of nonlinear elastic oscillators by assuming an incremental formulation for the constitutive relationship. The harmonic balance method with many components allows for accurate periodic solution computation. The Floquet theory can be used to check stability. Developed equations are applied to the study of frequency response curves of a hysteretic oscillator that, although simple, shows both degrading and non degrading behaviour. The results reported clearly show the shortcomings of traditional methods; the influence of higher harmonics is far from negligible.

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Sommario Nello studio della risposta periodica degli oscillatori isteretici si incontrano difficoltà dovute alla natura non olonoma del legame costitutivo. Nel presente lavoro queste difficoltà vengono superate in parte adottando una formulazione incrementale che riconduce il caso isteretico a quello elastico non lineare seppure al prezzo di un allargamento dello spazio delle variabili di stato. Le soluzioni periodiche sono determinate seguendo il metodo del bilancio armonico con molte componenti; la stabilità viene analizzata con la teoria di Floquet. Le equazioni sviluppate sono utilizzate per determinare le curve di risposta in frequenza sotto una forzante sinusoidale, di un oscillatore che, benchè semplice, presenta una notevole varietà di comportamento. I risultati ottenuti mostrano chiaramente le lacune dei metodi tradizionali; l'influenza delle armoniche superiori in molti casi è ben lungi dall'essere trascurabile.

     

Elastic behaviour of shrink-fitted forming die assemblies. Part I: Development of an analytical solution

Summary The paper deals with the elastic behaviour of the die assemblies obtained by shrinking a thick walled ring onto a finite hollow right circular cylinder in general of different length. Displacements and stresses in the two components of the assembly are evaluated by using the theoretical general solution on the finite thick-walled hollow elastic right circular cylinder with an axially symmetrical load system in terms of Airy's stress function. Radial and axial displacement influence coefficient technique is used to solve the integral equations governing the two extreme frictionless and slipless contact modes at the mating surface.

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Sommario L'articolo riferisce sul comportamento elastico di accoppiamenti realizzati per forzamento di un anello di grosso spessore su di un cilindro cavo circolare retto di lunghezza finita ed in generale diversa da quella dell'elemento forzante.La valutazione delle componenti di spostamento e di tensione presenti in ciascuno dei due elementi dell'accoppiamento è operata mediante una soluzione teorica, generale, relativa ad un cilindro cavo, circolare, retto, di lunghezza finita e sollecitato da un sistema di carichi distribuiti in modo assialsimmetrico e che è stata sviluppata in termini della funzione delle tensioni di Airy. Il metodo dei coefficienti di influenza applicato alle componenti radiale ed assiale degli spostamenti è utilizzato per la risoluzione delle equazioni, scritte in forma integrale, che governano le modalità di contatto relative alle due situazioni estreme di assenza di attrito e di adesione completa in corrispondenza delle superfici di accoppiamento.

     

A note on the Cauchy relations

The Cauchy relations originated in the context of the molecular theory of elasticity. Assuming them implies a reduction of the independent elastic constants which characterize the constitutive tensor in the linear anisotropic case. This paper brings to light a property of the elastic tensor through its decomposition into a symmetric part and into a skew part in the 2nd and 3rd indices. The skew part, which vanishes if and only if the Cauchy relations hold, is connected with a self-equilibrated stress field. The isotropic case is examined as a particular example.

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Sommario Le relazioni di Cauchy ebbero origine nell'ambito della teoria molecolare dell'elasticità; la loro assunzione implica una riduzione delle costanti elastiche indipendenti che caratterizzano il tensore costitutivo nel caso anisotropo lineare. In questa breve nota si mette in luce una proprietà del tensore elastico attraverso la sua decomposizione in una parte simmetrica ed in una antisimmetrica nel 2° e 3° indice: la parte antisimmetrica, che risulta nulla se e solo se valgono le relazioni di Cauchy, è associata ad un campo di tensioni autoequilibrate. Si analizza, come caso particolare, il caso isotropo.

     

Analysis of the static and dynamic behaviour of a magnetic liquid seal

Summary A rotating shaft seal, using ferrofluid between biconical truncated magnetic poles, is analysed both in static and dynamic conditions. After solving Laplace's equation and allowing an approximate expression for the magnetic potential, the magnetic forces acting on the working fluid are obtained. It is thus possible to determine the baric field existing in static conditions and the highest tolerable pressure jump. In the case of dynamic working the flow is schematized by two interior regions, where the azimuthal velocity prevails, and four boundary layers on the walls, where meridional transport of fluid takes place. Assuming laminar motion, by means of a perturbation procedure it is possible to see that in the interior, to a first approximation, two potential vortexes exist, whose circulations, after imposing the rotational equilibrium of the fluid about the symmetry axis, are found to be equal to about one half of the rotating pole peripheral circulation. This allows the determination of the baric field in the rotating fluid and of the friction moment exerted on the shaft.

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Sommario Si analizza il funzionamento in condizioni statiche e dinamiche di una tenuta ferrofluidica con poli a troncatura biconica. Risolta l'equazione di Laplace ed assegnata un'espressione approssimata al potenziale magnetico, vengono calcolate le forze magnetiche agenti sul fluido di lavoro. Ciò consente la determinazione immediata del campo barico esistente in condizioni statiche e del dislivello massimo di pressione sopportabile. Nel caso di funzionamento dinamico si schematizza il flusso mediante due regioni interne, che non toccano le pareti e nelle quali prevale la componente azimutale della velocità, e quattro strati limite lungo dette pareti, ove avviene trasporto meridiano di fluido. Nell'ipotesi di moto laminare, mediante un procedimento perturbativo si vede che, in prima approssimazione, nelle regioni interne vi sono due vortici potenziali, le circolazioni dei quali, determinate imponendo l'equilibrio della vena fluida alla rotazione intorno all'asse di simmetria, sono eguali circa alla metà della circolazione periferica sul polo rotante. Segue la determinazione del campo barico nel fluido rotante e del momento d'attrito esercitato sull'albero.

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This work was supported by the M.P.I., Italy     

Numerical study of a viscous flow through a pipe orifice

Summary A numerical solution for a fluid motion in a circular pipe orifice is compared with experimental results. Knowledge of the velocity field allows us to find the pressure field. There is good agreement between the piezometric heads and head losses computed and those obtained in experiments.

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Sommario Si studia uno schema numerico per la soluzione delle equazioni di Navier-Stokes in un campo a simmetria assiale. I risultati del modello matematico di un processo di moto attraverso un diaframma inserito in una condotta rettilinea, vengono messi a confronto con quelli ottenuti mediante una installazione sperimentale; si constata una buona corrispondenza fra le diverse grandezze esaminate, tra le quali rivestono notevole importanza l'andamento della piezometrica lungo il condotto e l'entità delle perdite di carico localizzate.

     

On periodic flow of non linear viscoelastic liquids

Summary After brief reference to energetical principles in order to find suitable constitutive equations for non-linear viscoelastic fluids, the behaviour of stress components is examined, for a simple shear motion with sinusoidal time time varying displacements of a liquid with an oscillating fading memory.

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Sommario Dopo aver richiamato brevemente un possibile procedimento per la determinazione della equazione costitutiva per liquidi viscoelastici nel caso di grandi deformazioni, si esamina il comportamento delle componenti del tensore degli sforzi nel caso di un moto periodico a filetti rettilinei e paralleli, supposto che il liquido abbia una memoria debole e oscillante nel tempo.

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Research supported by C.N.R., Gruppo nazionale per la fisica matematica.     

The instability of an axially loaded viscoelastic constrained bar in the large displacement range

Summary This paper deals with the behaviour of an axially loaded viscoelastic structure at one degree of freedom in the large deformation range; the stress-strain relation assumed is linearly viscoelastic, with the kernel at non invariant memory, typical of concrete.The study is rigorously conducted for two types of restraint, characterizing, in the elastic range, the instability of both first and second kind; the problem is then stated in respect of a type of mixed restraint, such as can be found in some real structures, an approximate solution of which is here supplied.

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Sommario Vengono analizzate le caratteristiche di comportamento nel tempo di una struttura viscoelastica a un grado di libertà, caricata di punta, nel campo delle grandi deformazioni; il legame sforzi-deformazioni assunto è viscoelastico lineare, con il nucleo a memoria non invariante caratteristico dei calcestruzzi.Lo studio è svolto in forma rigorosa per due tipi di vincolo che caratterizzano, in campo elastico, l'instabilità di prima e quella di seconda specie; viene inoltre impostato il problema corrispondente ad un tipo di vincolo misto, presentato da alcune strutture reali, del quale si fornisce una soluzione approssimata.

     

A generalized semi-inverse method for the elastic cylinder

Summary This paper deals with a side-and-end traction loaded elastic cylinder in the presence of all the stress components. The solution obtained in potential stress function terms includes wall beam and uneven torsion problems.With the definition of the boundary problems concerning the potential stress functions and the determination of the constants involved in the problem, a generalization of the well-known Saint-Venant solution is obtainable. The relevant results of an uneven torsion subjected elliptic cross-section cylinder is being dealt with in the last section of the paper.

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Sommario In questa memoria è presentata una soluzione del problema del cilindro elastico, caricato anche sulla superficie laterale, che ammetta la presenza di tutte le componenti di tensione: tale soluzione, ottenuta in termini di funzioni potenziali delle tensioni, include, quali sue particolarizzazioni, il problema della trave parete e quello della torsione non uniforme.La definizione dei problemi al contorno sulle funzioni potenziali e la determinazione delle costanti coinvolte conduce ad una significativa generalizzazione della trattazione classica di Saint-Venant. In ultimo vengono riportati i risultati relativi allo studio del cilindro a sezione ellittica soggetto a torsione non uniforme.

     

Natural frequencies of a non homogeneous isotropic elastic infinite plate of variable thickness resting on elastic foundation

Summary The dynamic free response of a nonhomogeneous isotropic elastic infinite plate of parabolically varying thickness resting on an elastic foundation has been studied. The frequencies, deflections and moments corresponding to the first five modes of vibration have been computed for the two combinations of boundary conditions, clamped-clamped (C-C) and clamped-simply supported (C-SS) and various values of taper constant, nonhomogeneity parameter and foundation modulus by applying the method of Frobenius for the solution of the governing differential equation of motion.

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Sommario Si sono studiate le oscillazioni libere di una piastra elastica infinita, non omogenea, isotropa, di spessore parabolicamente variabile, poggiata su un suolo elastico. Applicando il metodo di Frobenius per la soluzione della equazione differenziale del moto si sono calcolate le frequenze, le deformate ed i momenti corrispondenti ai primi cinque modi di vibrazione per due combinazioni di condizioni al contorno, incastro-incastro ed incastro-appoggio e diversi valori della rastremazione, del parametro di non omogeneità e del modulo del suolo.

     

Hemivariational inequalities for linear and non linear elastic materials

Summary In the present paper we study hemivariational inequalities arising in linear and nonlinear elastic bodies which are subjected to boundary conditions of nonmonotone multivalued type. After the formulation of the boundary conditions and the derivation of the variational principles we study a hemivariational inequality for a plane elastic body concerning the approximation of its solution. The proposed method is illustrated by an example dealing with the adhesive contact problem of two cylinders and another one concerning an adhesively supported beam.

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Sommario Nel presente lavoro si studiano diseguaglianze semivariazionali che nascono in relazione a corpi elastici lineari e non lineari, sottoposti a condizioni al contorno di tipo a più valori non monotono. Dopo la formulazione delle condizioni al contorno e la derivazione dei principi variazionali si studia una diseguaglianza semivariazionale per un corpo elastico piano, con particolare riguardo per l'approssimazione della sua soluzione. Il metodo proposto viene illustrato con un esempio che tratta il problema del contatto con adesione di due cilindri.

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On leave from School of Technology. Aristotle University Thessaloniki, Greece. Fulbright Visiting Scholar.     

On the elastic problem of the non-homogeneous anisotropic reticulated body resting on a lattice

Summary A reticulated body is examined, which is constituted by pin-jointed members; the joints coincide with the points of a lattice; the members can be arbitrarily distributed.The problem of the elastic equilibrium of such a body is studied, proposing a method of solution based on the interpretation of the reticulated body as a continuum.In particular, we assume as model a body constituted by molecules, placed in the joints and centrally attracting or repelling one another.The elastic properties of such a model are defined according to Cauchy-Poisson theory, as functions of the rigidities of the members of the reticulated body; in general, the resultant model is anisotropic and non-homogeneous.The method suggested is different from the similar ones[1], [2], [3], by being based on the rigorous definition of the model of the reticulated body.This method is a generalization of a more restricted method applied to the study of the cubic homogeneous reticulated bodies[4], [5]; it attributes to the joints of the reticulated body the displacements of the corresponding points of the continuum model and consequently determines the stresses in the members.The errors made with the explained method are deduced by comparing the equations of the continuum model with those of the reticulated body; by reiterating the method, we can reduce these errors to as small as we want.

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Sommario Si esamina un corpo a struttura reticolare, costituito da aste articolate a cerniera: i nodi coincidono con i punti di un sistema regolare nello spazio, le aste possono essere comunque distribuite.Si affronta il problema dell'equilibrio elastico di un tale corpo proponendo un metodo di soluzione fondato sulla interpretazione del reticolo come un continuo.In particolare si assume come modello un corpo costituito da molecole poste in corrispondenza dei nodi e soggette ad azioni mutue dirette secondo le congiungenti i loro centri.Le costanti elastiche del modello sono fissate, seguendo il modello di Cauchy-Poisson, in funzione delle rigidezze delle aste del reticolo; nel caso più generale il modello che ne consegue sarà anisotropo ed eterogeneo.Il procedimento che si propone si differenzia dai procedimenti similari[1], [2], [3], in quanto è fondato sulla definizione rigorosa del modello del reticolo.Esso è la generalizzazione di quello applicato allo studio dei reticoli omogenei cubici[4], [5] e consiste nell'assegnare ai nodi del reticolo gli spostamenti dei corrispondenti punti del modello continuo e nella conseguente determinazione degli sforzi nelle singole aste.Gli errori che si commettono con tale procedimento vengono dedotti dal confronto fra le equazioni del modello e quelle del reticolo; essi possono rendersi piccoli a piacere mediante opportune iterazioni.

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Second order effects in an elastic half-space acted upon by a non-uniform normal load

A closed form solution to the second order elasticity problem, when an isotropic compressible elastic half-space undergoes a deformation owing to a non-uniformly distributed normal load, is presented. The method of integral transform is employed and the case when loading is distributed, in accordance with Hertz's law, is discussed. The limiting solution for incompressible isotropic elastic material is also derived. Numerical calculations for the second order elastic material for the displacement and the normal stress in thez-direction are carried out. It is found that, in comparision to the linear elastic case, the displacement increases and the normal stress decreases in the second order elastic material

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Sommario Si presenta una soluzione del secondo ordine in forma chiusa del problema di un semi-spazio elastico isotropo compressibile soggetto a un carico normale distribuito non uniformemente, ottenuta mediante il metodo delle trasformate integrali. Si discute il caso del carico distribuito secondo la legge di Hertz; si deriva anche la soluzione limite per materiale elastico isotropo incompressibile. Si ottengono numericamente alcuni risultati relativi a spostamenti e tensioni normali nella direzione z: si trova che, a paragone del caso elastico lineare, gli spostamenti aumentano e le tensioni diminuiscono nel materiale elastico del secondo ordine.

     

A direct nonlinear theory of elastic membranes

Summary The authors develop a nonlinear theory of elastic membranes which accounts for thickness effects. By assuming the existence of a strain energy function and postulating a principle of virtual work which governs the mechanical behavior of an elastic directed surface, the field equations and the general constitutive relations are obtained for both the compressible and incompressible case. These equations are identical with those arrived at by a suitable limiting process applied to the three dimensional equations of nonlinear elasticity.

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Sommario Gli autori sviluppano una teoria non lineare delle membrane elastiche che tiene conto degli effetti dello spessore. Assumendo l'esistenza di una funzione energia di deformazione e postulando un principio di lavoro virtuale che governa il comportamento meccanico di una superficie elastica orientata si ottengono le equazioni di campo e le relazioni costitutive generali sia per il caso compressibile che per l'incompressibile. Queste equazioni sono identiche a quelle a cui si arriva con un opportuno processo di limite applicato alle equazioni tridimensionali della elasticità non lineare.

     

Coupling of elastic and plastic deformations of bulk solids

Summary In such solids like rocks, soils, ceramics, grain en masse the plastic deformation strongly aects the current unloading modulus. The consequences of this effect referred to as the elastoplastic coupling both to the elastic and the plastic part of the constitutive law are examined. Particularly, it appears that such phenomenon induces a specific kind of the non-normality in the plastic flow law. The departure from the normality is studied in connection with the form of the elastic modulus variation basing on the notion of a coupling potential.

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Sommario Il modulo di scarico elastico di solidi come le rocce, i suoli, i materiali ceramici e granulari dipende dalla entità delle deformazioni plastiche. Le conseguenze di questo fenomeno, chiamato nel seguito accoppiamento elastoplastico, vengono esaminate sia in relazione alla parte elastica che alla parte plastica della legge costitutiva. In particolare si dimostra che l'accoppiamento elastoplastico determina la non-normalità della legge di scorrimento plastico. La deviazione della normalità legata alla variazione del modulo elastico è studiata per mezzo di un potenziale di accoppiamento derivato da quello elastico.

     

Linear and non-linear pulse propagation in fluid-filled compliant tubes

Summary Here we study impact-initiated disturbances in fluid-filled elastic tubes. The undeformed tube diameter, wall thickness, and elastic modulus of the tube material are assumed to be functions of the distance along the centre line of the tube. The linearized version of the governing equations are solved by the Laplace transform, which is inverted by means of an approximate method. The original non-linear system of governing equations is solved numerically by the method of characteristics. Relationships between the axial fluid velocity and axial coordinate as well as between velocity and time are displayed for fixed values of time and axial coordinate respectively for the linear and nonlinear theory for ease of comparison.

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Sommario Si studiano le perturbazioni prodotte da impatto in tubi elastici riempiti di fluidi. Si assume che il diametro del tubo indeformato, lo spessore della parete e il modulo elastico del materiale del tubo siano funzioni della distanza misurata lungo la linea centrale del tubo. La versione linearizzata delle equazioni che governano il fenomeno è risolta con la trasformata di Laplace, invertita con un metodo approssimato. Il sistema originale non lineare delle equazioni è risolto numericamente con il metodo delle caratteristiche. Vengono rappresentate, per valori fissati del tempo e della coordinata assiale, le relazioni tra la velocità assiale del fluido e la coordinata assiale oltre alle relazioni fra velocità e tempo, sia per la teoria lineare sia per quella non lineare.

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