关于《一道课本不等式的加强及推广》的补充

现行教材高中《代数》下册Ｐ３２第５题是已知ａ，ｂ，ｃ＞０，求证：２（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）ａ２（ｂ＋ｃ）＋ｂ２（ａ＋ｃ）＋ｃ２（ａ＋ｂ）《数学通报》１９９７年第１２期刊登了魏华先生对此不等式的加强及指数推广（即文［１］），受其启发，本文再介绍此不等式的...     

也谈两个不等式的统一

《数学通报》１９９７年第１０期，给出了《数学通报》１９９６年第５期第１０１３题：“设ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，且ａｂｃ＝１，试证：１ａ３（ｂ＋ｃ）＋１ｂ３（ｃ＋ａ）＋１ｃ３（ａ＋ｂ）≥３２以及《数学通报》１９９７年第２期第１０５８题：在上题同样的条件下试证：...     

一类分式不等式的统一证法

不等式ａ２＋ｂ２≥２ａｂ（ａ、ｂ∈Ｒ）及其变形的应用已被人们广泛研究，笔者在教学中发现：如用ａｂ、ｂλ分别代替ａ、ｂ得一含参数的不等式ａ２ｂ≥２ａλ－ｂλ２　（ｂ＞０，λ＞０，ａ∈Ｒ）（）利用（）可得一类分式不等式的统一证法：首先对要证的不等式进行适当变形，然后通过待定系数法求出λ，即得要证的不等式．这种证明方法具有思路单一，操作方便，学生易接受的特点．现以竞赛题、征解题为例进行说明．例１　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋，试证：ａ２ａ＋ｂ＋ｂ２ｂ＋ｃ＋ｃ２ａ＋ｃ≥ａ＋ｂ＋ｃ２．（《数学通报》１９９５年第…     

一道IMO题的对偶式与面积解释

第２４届ＩＭＯ第６题是：在△ＡＢＣ中，ａ、ｂ、ｃ是三边长，求证：ａ２ｂ（ａ－ｂ）＋ｂ２ｃ（ｂ－ｃ）＋ｃ２ａ（ｃ－ａ）≥０．（１）文［１］指出了它的下述对偶形式：ａｂ２（ａ－ｂ）＋ｂｃ２（ｂ－ｃ）＋ｃａ２（ｃ－ａ）≤０，（２）并给出了统一的距离解释．即不等式（１）、（２）的几何解释为：三角形内Ｂｒｏｃａｒｄ点到内心的距离非负．受此启发，笔者研究了第６届ＩＭＯ第２题：在△ＡＢＣ中，ａ、ｂ、ｃ是三边长，求证：　ａ２（ｂ＋ｃ－ａ）＋ｂ２（ａ＋ｃ－ｂ）＋ｃ２（ａ＋ｂ－ｃ）≤３ａｂｃ，（３）发现它也有如下的…     

也谈一个不等式的推广

也谈一个不等式的推广邹明尹桂勋（山东省安丘市第一中学２６２１００）黄桂君先生在《数学通报》１９９７年第３期，给出了不等式（ａ＋１ａ）２＋（ｂ＋１ｂ）２≥２５２（ａ＞０，ｂ＞０，ａ＋ｂ＝１）的几个推广及证明，读后深受启发．现笔者应用幂平均不等式：α＞β...     

关于两道不等式的注记

关于两道不等式的注记杨晋（安徽芜湖市第１３中学２４１００２）《数学通报》在１９９４年第１０期和１９９６年第２期分别提供了如下两个问题：９２０设△ＡＢＣ的边长为ａ，ｂ，ｃ，傍切圆半径为ｒａ，ｒｂ，ｒｃ，求证：ｂｃｒ２ａ＋ｃａｒ２ｂ＋ａｂｒ２ｃ４（１）...     

两个“推广”的注记

贵刊文［１］、［２］给出了不等式：２（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）≥ａ２（ｂ＋ｃ）＋ｂ２（ｃ＋ａ）＋ｃ２（ａ＋ｂ）（ａ,ｂ,ｃ＞０）（高中《代数》下册Ｐ３２第５题）的两个推广,读后颇受启发,作为两个推广的注记,本文对其中的指数作进一步的推广;推广１　设ａ、ｂ、ｃ、ｋ、ｍ、ｎ＞０,且ｍ≥ｋ,ｍ＋ｋ＝ｎ,则２（ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ）≥ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ＋ａｍ－ｋｂｋｃｋ＋ａｋｂｍ－ｋｃｋ＋ａｋｂｋｃｍ－ｋ≥ａｍ（ｂｋ＋ｃｋ）＋ｂｍ（ｃｋ＋ａｋ）＋ｃｍ（ａｋ＋ｂｋ）证明　现证前一个不等式,即证ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ≥ａｍ－…     

一道课本不等式的加强及推广

一道课本不等式的加强及推广魏华（成都七中６１００１５）现行教材高中《代数》下册Ｐ３２第５题．已知ａ，ｂ，ｃ＞０，求证２（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）ａ２（ｂ＋ｃ）＋ｂ２（ａ＋ｃ）＋ｃ２（ａ＋ｂ）．笔者发现：可将此不等式加强和推广为如下命题．已知ａ，ｂ，ｃ＞０...     

关于一个不等式的隔离

关于一个不等式的隔离姜卫东华云（黑龙江省农业经济学校１５７０４１）《数学通报》１９９７年第１期文［１］给出如下一个不等式：设△ＡＢＣ的边长为ａ，ｂ，ｃ，傍切圆半径为ｒａ，ｒｂ，ｒｃ，则有ｂｃｒ２ａ＋ｃａｒ２ｂ＋ａｂｒ２ｃａ２ｒｂｒｃ＋ｂ２ｒｃｒａ＋...     

几个常见不等式的加强

几个常见不等式的加强２１００４４江苏南京市大厂中学汪杰良文［１］、［２］分别对基本不等式给出了如下加强：定理１若ａ、ｂＥＲ，０＜Ａ＜１，则ａ’＋ｂ’＞Ｚａｂ＋Ａ（ａ—ｂ）’．定理２若ａ、ｂ、ｃＥＲ－，０＜入运１（ｉ一１，２，３），则ａ‘＋ｂ‘＋ｃ‘＞...     

一组重要不等式的次数特征及应用

高中教材上有这么一组重要的不等式：ａ２＋ｂ２≥２ａｂ（ａ,ｂ∈Ｒ）,ａ＋ｂ２≥ａｂ（ａ,ｂ∈Ｒ＋）,ａ３＋ｂ３＋ｃ３≥３ａｂｃ（ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋）,ａ＋ｂ＋ｃ３≥３ａｂｃ（ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋）．我们对这组不等式的次数作如下分析：当我们把ａ,ｂ,ｃ都看成变量时,上述不等式左右两边的次数相同;当我们把ａ看成变量,而把ｂ,ｃ看作常数时,则上述不等式左右两边的次数不同．基于这些认识,当我们在证明某些左右次数不同的不等式时,可采用如下对策．１．同次转化：利用已知条件,将待证的不等式转化为左右同次式,再来求证…     

证明不等式的两种方法

证明不等式的两种方法孙井生，何满良（内蒙古兴安盟师范学校１３７４００）举例说明证明某些不等式的几种方法．１升次、降次、拆项证明不等式例１已知ａ，ｂ，ｃｅＲ＋，且５ａ４＋４ｂ４＋６ｃ４—ｇｏ，求证：５ａ３十２萨十３ｃ’三４５．证明ｓａ“＋Ｚｂ“＋３ｃ“...     

一道课本不等式的再推广

文［１］对高中代数下册中的习题：已知ａ，ｂ，ｃ＞０，求证：２（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）≥ａ２（ｂ＋ｃ）＋ｂ２（ａ＋ｃ）＋ｃ２（ａ＋ｂ）（１）从变元指数上进行了推广，得到：若ａ，ｂ，ｃ＞０，ｋ，ｍ，ｎ∈Ｎ，ｍ＋ｋ＝ｎ，ｍ≥ｋ，则２（ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ）≥ａｍ（...     

一道USAMO赛题的别证及引伸

１９９７年第２６届美国数学奥林匹克试题５：证明对所有正实数ａ、ｂ、ｃ满足（ａ３＋ｂ３＋ａｂｃ）－１＋（ｂ３＋ｃ３＋ａｂｃ）－１＋（ｃ３＋ａ３＋ａｂｃ）－１≤（ａｂｃ）－１．（１）文［１］给出了该命题的简证．其实,该命题还可简证如下：证明由ａ＋ｂ＞０及...     

一个不等式及其应用

一个不等式及其应用马统一（甘肃煤炭工业技校７３０９１９）定理设ａ，ｂ，ｃ为非负实数，ｆ（ａ，ｂ，ｃ）＝（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）（ａ＋ｂ＋ｃ）－μａｂｃ．则当时，当时，当μ＞９时，其中，对左边不等式，当μ≤３时，等号成立当且仅当ａ＝ｂ＝０；当μ＞３时，等号...     

不等式(a b)(b c)(c a)》=8abc(a,b,c∈R~ )的引伸

不等式（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）８ａｂｃ（ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋）的引伸周才凯（湖南省长沙市雅礼中学４１０００７）高中《代数》（必修）下册Ｐ１１上有这样一道习题：已知ａ，ｂ，ｃ＞０，求证（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）８ａｂｃ（１）对ａ，ｂ，ｃ中每两...     

引入参数证明不等式

引入参数证明不等式,思路明确,有章可循,是证明不等式的一种重要方法．尤其对不等式取上、下界时,各变元的取值不相等的问题,参数法更显奇效．下面举例说明之．例１　已知正数ａ、ｂ、ｃ,满足ａ＋ｂ＋ｃ＝３,求证：　４ａ＋１＋４ｂ＋１＋４ｃ＋１＞２＋１３．证明　∵　０＜ａ＜３,　∴　ａ２＜３ａ．令　４ａ＋１＝３ｘ２ａ＋２ｘａ＋１　＞ｘ２ａ２＋２ｘａ＋１＝（ｘａ＋１）２　（ｘ＞０）由　　　３ｘ２＋２ｘ＝４,解得　ｘ＝１３－１３　（负值已舍去）,∴　４ａ＋１＞１３－１３ａ＋１．同理有　４ｂ＋１＞１３－１３ｂ＋…     

Whc134的解决

文［１］中提出的第１３４个问题是：当ｋ取某个大于１的值时,是否存在某类三角形,使　ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥４３△＋ｋ［（ａ－ｂ）２＋（ｂ－ｃ）２＋（ｃ－ａ）２］（１）仍成立？ｋ取任何正值都有相应的三角形使不等式成立吗？事实上,当ｋ≥３时,由ａ２＋ｂ２＋ｃ２≤４３△＋３［（ａ－ｂ）２＋（ｂ－ｃ）２＋（ｃ－ａ）２］知除正三角形外,不存在任何别的三角形使（１）式成立;图１当１＜ｋ＜３时,除正三角形外,还存在等腰三角形和不等边三角形使（１）式成立．下面我们证明这个结论．证明　对任意△ＡＢＣ,以它的一条中线ＡＤ…     

因式分解教与学

第１课　提公因式法（一）一、启发提问我们学习了整式乘法：（１）ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ）＝ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ（２）（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２把（１）（２）式反过来写,就是（３）ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ）（４）ａ２－ｂ２＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）在等式（１）（２）中,由两因式的积变成多项式叫做整式乘法,在等式（３）（４）中,由多项式变成几个整式的积叫什么？怎样进行？二、读书自学（Ｐ２～Ｐ５）１把一个化成几个的积的形式,叫做把这个多项式．２一个多项式中各项都有的因式,叫做这个多项式的,多项式ｍａ＋…     

关于《一个不等式的推广》

关于《一个不等式的推广》杨正义（四川省资中师范６４１２００）数学通报１９９３年第９期胡道煊老师著文给出了不等式的推广：若ａｉ，ｂｉ∈Ｒ＋，ｉ＝１，２，…，ｎ，则事实上，这个推广不成立．如取ａ１＝１，２＝２，ａ３＝３，ｂ１＝２，ｂ２＝３，ｂ３＝４，ｍ＝...