边长为等差数列的三角形的一个常用结论

关于边长为等差数列的三角形 ,文 [1 ]给出了一系列性质 (共 1 8个 ) ,这些性质形式多样 ,结构优美 ,精彩纷呈 ,但增加了记忆负担 ,且都可以由其中的一个性质 cos A - C2 =2 cos A +C2 导出 ,各性质的逆命题也都成立 .为此 ,本文仅给出一个核心、完善、常用的结论 ,并介绍它在求值、化简和证明中的广泛应用 .结论　在△ ABC中 ,若 a、b、c分别是角 A、B、C的对边 ,则 a、b、c成等差数列的充要条件是cos A - C2 =2 cos A +C2 (或 cos A - C2 =2 sin B2 ) .证明　由 B =π - (A +C) ,得B2 =π2 - A +C2 ,∴　 sin B2 =cos A +C2 ,cos B2 =sin A +C2 ,∴　 a +c=2 b　 　 sin A +sin C=2 sin B 　 2 sin A +C2 cos A - C2 =2 . 2 sin B2 cos B2 　　　　 cos A - C2 =2 sin B2 　　　 cos A - C2 =2 cos A +C2 .故原命题成立 .下面就其在化简、求值及证明...     

关于三角形的双圆半径的两个命题

本文先给出关于双圆半径的一个命题 :图 1设△ ABC的外接圆半径为 R,内切圆半径为r,顶点 A、B、C到内心的距离分别为 a0 、b0 、c0 ,则　 4 Rr2 =a0 b0 c0 .证明　∵　 r=a0 sinA2 =b0 sin B2=c0 sin C2 ,∴　 r3 =a0 b0 c0 sin A2 sin B2 sin C2 . 1∵　△ =12 r( a b c)=Rr( sin A sin B sin C)=2 R2 sin Asin Bsin C,∴　 r2 R=sin A .sin B .sin Csin A sin B sin C,易证　 sin A sin B sin C=4 cos A2 cos B2 cos C2 ,∴　 r2 R=2 sin A2 sin B2 sin C2 ,∴　 r4 R=sin A2 sin B2 sin C2 ,2把 2代入…     

边长为等差数列的三角形的一组性质

98年高考试题 (理工 )第 2 0题为 :在△ ABC中 ,a、b、c分别是角 A、B、C的对边 ,设a c=2 b,A - C =π3,求 sin B的值 .此题的条件中出现有 a c=2 b,即三边成等差数列 .本文介绍三边成等差数列的三角形的一系列性质 .在△ ABC中 ,若 a c=2 b,则有(1 ) sin A - 2 sin B sin     

三角形的双圆半径的一个"孪生"命题

文 [1 ]给出如下关于三角形双圆半径的一个命题 :设△ ABC的外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,顶点 A、B、C到内心的距离分别为 a0 、b0 、c0 ,则　 4 Rr2 =a0 b0 c0 .今给出此命题所引伸出的一个“姊妹”命题 :命题　设△ ABC的外接圆半径为 R,旁切圆半径为 r′,顶点 A、B、C到对应的旁心的距离分别为 a′0 、b′0 、c′0 ,则　 4 Rr′2 =a′0 b′0 c′0 .证明　如图 1 ,∵　 r′=a′0 sin A2 =b′0 cos B2=c′0 cos C2 ,∴　 r′3=a′0 b′0 c′0 sin A2 cos B2 cos C2 1又　△ =12 r′( b c - a) =Rr′( sin B sin C - sin A…     

三角形边角性质的一个推广公式与应用

大家知道,在三角形中有“等角对等边”,“大角对大边”的性质,而“大角对大边”只反映了大角、小角所对边的大小关系,而没有反映出具体的数量关系.本文将讨论边角性质的一个数量关系式,并给出其相关的应用实例.定理在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,若A=λC(λ为正实数),则a2=c2+bc·sin(λ-1)CsinC.证由正弦定理将待证等式转化为sin2A=sin2C+sinB·sin(λ-1)C.∵A=λC,∴B=π-(λ+1)C.∴sin2C+sinB·sin(λ-1)C=sin2C+sin(λ+1)C·sin(λ-1)C=12(1-cos2C)-12(cos2λC-cos2C)=12(1-cos2λC)=sin2λC=sin2A,即a2=c2+bc·s…     

三边成等差数列的三角形的一个性质及应用

三边成等差数列的三角形有下列性质定理设△ABC中a、b、c是角A、B、C的对边,则a、b、c成等差数列的充要条件是tg(A/2)tg(C/2)=1/3。证明△ABC的三边a、b、c成等差数列(?)2b=a+c(?)2sinB=sinA+sinC(?)4sin(B/2)cos(B/2)=2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2](?)2sin(B/2)cos(B/2)=cos(B/2)cos[(A-C)/2](?)2sin(B/2)=Cos[(A-C)/2](?)2Cos[(A+C)/2]=cos[(A-C)/2](?)2cos(A/2)cos(C/2)-2sin(A/2)sin(C/2)=cos(A/2)cos(C/2)+sin(A/2)sin(C/2)(?)cos(A/2)cos(C/2)=3sin(A/2)sin(C/2)(?)tg(A/2)tg(C/2)=1/3 由于上述箭头都是可逆的,因此定理得证。应用这个性质来解决三边成等差数列的三角形的有关问题,往往是奏效的。     

一道课外练习题的另一证法

<正>《中学生数学》2013年7月下初三课外练习题第3题为:设△ABC的三条边长为a,b,c,面积为S,求证:a2+b2+c2≥4槡3S.另证由12bcsinA=12casinB=12absinC=S,得bc=2S sinA,ca=2S sinB,ab=2S sinC.因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca=(1sinC+1sinA+1sinB)2S.显然,可知当a=b=c时,取等号,于是∠A=∠B=∠C=60°.故a2+b2+c2≥(1sin60°+1sin60°+     

考点17 解斜三角形

1.(江苏卷,5)△ABC中,A=π3,BC=3,则△ABC的周长为().(A)43sin(B+3π)+3(B)43sin(B+6π)+3(C)6sin(B+3π)+3(D)6sin(B+6π)+32.(辽宁卷,8)若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m的范围是().(A)(1,2)(B)(2,+∞)(C)[3,+∞)(D)(3,+∞)3.(上海卷,9)在△ABC中,若∠A=120°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积S=.4.(湖南卷,13)已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A、B两点,且AB=3,则OA·OB=.5.(天津卷,17)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c.设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和cb=21+3,求…     

由余弦定理所导出的不等式的应用

本文将首先利用余弦定理导出三个不等式。这些不等式用在求证某类(与三角形元素有关的)极值问题时是非常有趣的。若角A、B、C能组成一个三角形,且所对边为a、b、c,则有下列不等式: sin(A/2)≤(a/2(bc~(1/2)),sin(B/2)≤b/2(ca~(1/2)), sin(C/2)≤c/2(ab~(1/2))。证明:利用余弦定理和半角公式: ∵cosA=1-2sin~2(A/2)=(b~2+c~2-a~2)/2bc即 2sin~2(A/2)≤a~2/2bc (∵(b-c)~2≥0)于是,sin(A/2)≤a/2(bc~(1/2))(∵sin(A/2)>0, ∴取正号) 显然△ABC为等腰三角形时(b=c)取等号.同理有:sin(B/2)≤b/2(ac~(1/2)),sin(C/2)≤c/2(ab~(1/2)) 例1 任意三角形的三边长为a、b、c。求证:     

余弦定理的逆定理及其应用

先给出以下定理. 定理1给定六个元素:三个正数a,b,c和三个小于180°的正角A,B,C,若｛a2 =b2 +c2-2bccosA① b2=c2+a2-2ca cosB ②c2=a2+b2-2abcosC ③则这六个已知元素能唯一确定△ABC.这里△ABC的三个内角分别为A,B,C,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.     

2006年高考数学湖北卷

一、选择题:共10小题,每小题5分,共50分.1.已知向量a=3,1,b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=3,则b=A.23,12B.21,23C.41,343D.(1,0)2.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,c,a,b成等比数列,且a+3b+c=10,则a=A.4B.2C.-2D.-43.若△ABC的内角A满足sin2A=23,则sinA+cosA=A.315B.-315C.35D.-354.设f(x)=lg22-+xx,则f(2x)+f(2x)的定义域为A.(-4,0)∪(0,4)B.(-4,-1)∪(1,4)C.(-2,-1)∪(1,2)D.(-4,-2)∪(2,4)5.在x-13x24的展开式中,x的幂的指数是整数的项共有A.3项B.4项C.5项D.6项6.关于直线m,n与平面α,β,有以下四个命题:①若m∥α,n∥β且…     

利用点重合巧解题

众所周知,点P(a,b)与Q(c,d)重合的充 要条件是a=b且b=d,利用这一条件解某些 数学问题,可以收到出奇制胜的效果,请看两 例. 例1 设n∈N且sinα+cosα=-1,求 sinnα+cosnα的值. 解 易知点P(sinα、cosα)既是直线x+y, =-1上的点又是圆x2+y2=1上的点,而该 直线和圆的公共点只有A(0,-1)和B(-1,0) 两点,所以点P与点A或点B重合,从而有     

运用两个比例定理巧解三角题

在求解某些三角函数题时 ,通过揭示题目中的比例关系 ,运用等比定理和合分比定理可得到简捷巧妙的解决 .等比定理是指 :若 b1a1=b2a2 =b3a3=… =bnan =k ,则b1+b2 +b3+… +bna1+a2 +a3+… +an=k(其中a1+a2 +a3+…+an≠ 0 ) .合分比定理是指 :若 ba =dc ,则 a -ba +b=c -dc+d(其中a +b ,c +d≠ 0 )或 a +ba -b=c +dc-d(其中a -b ,c -d≠ 0 ) .下举几例以说明 .例 1　求证 :1) 1+sin2θ -cos2θ1+sin2θ +cos2θ=tanθ ;2 ) 1+secα +tanα1+secα -tanα=secα +tanα .证明　 1)因为tanθ =sinθcosθ=2sinθ·cosθ2cos2 θ =sin2θ1+cos2…     

一个三角不等式确界的确定

在△ ABC中 ,设∠ A、∠ B、∠ C的对边分别为 a,b,c.文 [1 ]给出了不等式5940 相似文献   

错在哪里

题目 :已知 sin2α=a,cos 2 a=b,则 tan(a π4)的值为 (　　 ) .(A) 1 a b1 - a b　　　 (B) a - b 1a b- 1(C) 1 ab (D) b1 - a解法 1　因为1 a b1 - a b=1 sin 2α cos 2α1 - sin 2α cos 2α=1 2 tanα1 tan2α 1 - tan2α1 tan2α1 2 tanα1 tan2α 1 - tan2α1 tan2α=1 tanα1 - tanα=tan(α π4) .所以选 (A) .解法 2　因为a - b 1a b- 1 =sin 2α- cos 2α 1sin 2α cos 2α - 1　 =2 sinα .cosα- (1 - 2 sin2α) 12 sinα .cosα (1 - 2 sin2α) - 1　 =sinα(cosα sinα)sinα(cosα- sinα) =cosα …     

一道不等式题的多种解法及推广

题目:实数a,b,满足a2+b2=1,若c>a+b恒成立,求c的取值范围.解法1:三角换元法设a=cosα,b=sina,a∈[0,2π],则a+b=cosα+sinα=√2sin(a+π/4)……     

正余弦定理的衍变

正余弦定理是反映三角形中边与角之间关系的两个重要定理,如果将它们整合、变形后再应用,就会感到另一种新奇与愉悦,同时也给众多题目找到了“同一根源”.1　变式及其推广如果将正弦定理中a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C代入余弦定理中可得:1 ) sin2 C+sin2 B-2 sin Csin Bcos A=sin2 A;2 ) sin2 A+sin2 C-2 sin Asin Ccos B=sin2 B;3 ) sin2 A+sin2 B-2 sin Asin Bcos C=sin2 C.以上诸式表明,三角形中两个角的正弦的平方和减去第三个角的正弦的平方,等于前两个角的正弦与第三个角的余弦的积的两倍,即有变式1　在△ABC中,sin2…     

新题征展(49)

A　题组新编1 .在△ ABC中 ,∠ C =2∠ B.( 1 )则 sin3Bsin B等于 (　　 ) .( A) ab　 ( B) ba　 ( C) ac　 ( D) ca( 2 )则边 c等于 (　　 ) .( A) 2 bsin C　　　 ( B) 2 bcos B( C) 2 bsin B　　　 ( D) 2 bcos C( 3)求证 :c2 - b2 =ab.( 4 )已知△ ABC三边组成一个公差为 1的等差数列 (且最大角是最小角的 2倍 )求三条边长 .2 .已知 | a| =2 ,| b| =3,( 1 )如果向量 a与 b的夹角为 1 2 0°,则| a b| =;| a - b| =.( 2 )如果 | a - b| =7,则 a与 b的夹角θ = .( 3)如果 ( a 2 b) . ( a - 3b) =- 53,试求出向量 a与 b的夹角…     

考点15 向量的概念及运算

1.(北京卷,3)若a=1,b=2,c=a+b,且c⊥a则向量a与b的夹角为().(A)30°(B)60°(C)120°(D)150°2.(山东卷,7)已知向量a、b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是().(A)A、B、D(B)A、B、C(C)B、C、D(D)A、C、D3.(全国卷,8)已知点A(3,1),B(0,0),C(3,0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于E,那么有BC=λCE,其中λ等于().(A)2(B)21(C)-3(D)-314.(辽宁卷,9)若直线2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后与圆x2+y2=5相切,则c的值为().(A)8或-2(B)6或-4(C)4或-6(D)2或-85.(全国卷,10)点P在平面上作匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即…     

用三角代换解一类不等式问题

例1已知a,b,x,y∈R,且a2+b2=1,x2+y2=1,求ax+by的范围。解通过观察已知的条件我们不难发现:则ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos(α-β).由于-1≤cos(α-β)≤1,所以-1≤ax+by≤1.本题会出现许多的变式:变式1a,b,c,d∈R,且a2+b2=1,c2+d2=9,求abcd最大值和ac+bd的最小值.变式2若x2+y2=1,求(1-xy)(1+xy)的值域.