一个概率试题的深思考

下面是浙江省台州市2010年3月份第一次模拟试卷中的一个试题:引例 将3个完全相同的小球随机地放入编号依次为1,2,3,4,5的盒子里,用随机变量ξ表示有球盒子编号的最大值.(Ⅰ)求P(ξ=2);(Ⅱ)求ξ的分布列和数学期望Eξ.错误解答 该试卷所附的此题答案是这样的,(Ⅰ)由于是“完全相同”的三个小球,因此,把这三个小球放入有编号的5个盒子中,其结果有三;i)三个小球在其中的3个盒子中,有C35种;ii)三个小球分别在其中的2个盒子中,有C15·C14种;iii)三个小球都在其中的1个盒子中,有C15;这样共有C35+C15C14+C15=35种.而ξ=2表示的情形有1+C12=3种.所以,P(ξ=2)=3/35.     

新题征展(2)

Ａ．题组新编１．（１）把６个不同的小球放入编号为１,２,３的三个盒子内,要求每个盒子的球数等于编号数,则不同的放法种数是　　;（２）把６个相同的小球放入编号为１,２,３的三个盒子内,要求每个盒子的球数等于编号数,则不同的放法种数是　　;（３）把１１个相同的小球放入编号为１,２,３的三个盒子内,要求每个盒子的球数不小于它的编号数,则不同的放法种数是　　．２．（１）先将函数ｙ＝２ｓｉｎ（２ｘ－π３）的图象左移π６个单位,再将各点横坐标变为原来的３倍,便得到函数　　的图象;（２）先将函数ｙ＝２ｓｉｎ（…     

相同元素有序分组的“隔板式”方法

在平时的教学中 ,我们都碰到过这样的题 :将 7个相同小球放入 4个不同盒子中 ,1)不出现空盒时的放入方式共多少种 ?2 )任意放入时的方式共有多少种 ?该题有多种解法 ,现介绍其中的“隔板法” .解　 1)将 7个相同小球一字排开 ,在其中间的 6个空格中加入无区别的 3个“隔板”将球分成四份 ,故每一种插入隔板的方式对应一种球的放法 ,则不同的放法共有N =C3 6=2 0种 .2 )每种放法对应于将 7个相同小球与 3个相同“隔板”进行的一次排列 ,即从 10个位置中选 3个位置安排隔板 ,故共有N =C3 10 =12 0种放入方式 .凡“相同小球放入不同盒中”的…     

排列组合中的分组问题

排列组合一章的习题中,常常涉及到对元素进行分组的问题.题目有对相同元素分组和对不同元素分组,有组的位置确定和不确定多种情况,学生弄不清这些题目的区别和联系,解答时很容易重复或者遗漏.本文编拟口诀并举例介绍巧妙解决分组问题的方法.1相同元素的分组问题(口诀:同元分组用挡板)例1将12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中,问每个盒子中至少有一个小球的放法有多少种?解本题是将12个球分成四组,每组必须有球的问题.将12个球排成一排,中间有11个间隔,在这11个间隔中任意选出3个插入挡板,把球分成4组,例如○○○|○○○○|○○|○○○…     

不定方程x1+x2+…+xn=m的解的个数及在计数问题中的作用

不少计数问题归结为不定方程 x1+ x2+… + xn =m在特定条件下的解的个数问题便迎刃而解 .本文研究不定方程 x1+ x2 +… + xn =m在有关条件下的解的个数问题 ,并举例说明其在计数问题中的应用 .(注 :文中约定 :当 m 相似文献   

利用多面体解多球相切问题

多球相切问题在各类竞赛中经常出现 ,但由于作图复杂 ,给分析解决问题带来困难 .如果能透过现象 ,抓住问题的本质 ,将其转化为多面体问题 ,常能顺利解决 ,请看以下几例 .例 1　 (2 0 0 2年“希望杯”试题 )将 3个半径为 1的球和一个半径为 2 -1的球叠为两层放在桌面上 ,上层只放一个较小的球 ,四个球两两相切 ,那么上层小球的最高点到桌面的距离是 (　　 ) .(Ａ) 3 2 + 63 　　 (Ｂ) 3 + 2 63(Ｃ) 2 + 2 63 　　 (Ｄ) 2 2 + 63分析　两球相外切时 ,球心连线通过切点 ,球心距等于两球半径之和 .不妨设下层三个大球球心分别为Ｏ1 、Ｏ2 、Ｏ3,…     

到底相同不相同

下面4个问题: (1)把4个不同的小球放入3个不同的盒子中,共有多少种不同的方法? (2)把4个不同的小球放入3个相同的盒子中,共有多少种不同的方法? (3)把4个相同的小球放入3个不同的盒子中,共有多少种不同的方法? (4)把4个相同的小球放入3个相同的盒子中,共有多少种不同的方法?     

一道概率题的拓展与证明

问题1设有标号为1,2,3的三个盒子和标号为1,2,3的三个小球,将这三个小球任意地放入这三个盒子,每个盒子放一个小球．若j（j=1,2,3）号球放入j号盒子,则称该球放对了,否则称放错了．搴表示放对了的球的个数,求ξ的数学期望．     

2006高考数学天津卷

一、选择题:共6小题,每小题4分,共24分.1.i是虚数单位,1i+i=A.12+21i B.-21+21iC.21-21i D.-12-21i2.如果双曲线的两个焦点分别为F1(-3,0)、F2(3,0),一条渐近线方程为y=2x,那么它的两条准线间的距离是A.63B.4C.2D.13.设变量x、y满足约束条件y≤xx+y≥2y≥3x-6,则目标函数z=2x+y的最小值为A.2B.3C.4D.94.设集合M={x|0相似文献   

新题征展(99)

A 题组新编 　　1.(王荣峰)口袋中装有大小相同编号为1至9的9个小球 　　(1)有放回地从中任取3个球,最大编号为8的概率为_____; 　　 (2)有放回地从中任取3个球,最大编号是最小编号3倍的概率为____; 　　(3)无放回地从中任取3个球,编号互不相邻的概率为______.……     

问题173这道概率题的几种解法熟对？熟错？

8个相同的小球随机放入编号为1,2,3的三个盒子里,求1号盒子恰好有1个小球的概率．     

一类相同元素的分配问题

在排列组合教学中,经常会碰到一类相同元素的分配问题,如果解法不当,很容易错解或解法繁杂,现将本人在教学中总结的一些方法提出来,供读者参考．问题1(基本问题) 将10个相同的小球分配到三个不同的盒子中,每个盒子中至少1 个,共有多少种不同的分配方法?     

例谈分球入箱问题的解法

将n个球放入k个箱子中,有多少种不同的放法?此类问题我们称之为分球入箱问题。它含有多种情形：n个球是否相同?k个箱子有无差异?箱子允许空否?解决此类问题的关键是分辨在什么情况下与顺序有关,在什么情况下与顺序无关。现举例说明如下。例1 将7个相同的小球,放入4个相同的箱子中。 (1)每个箱子中至少有一个小球(箱子不空)有多少种不同的放法? (2)若箱子允许空又有多少种不同的放法? 分析箱子相同时不需考虑箱子的顺序,球相同也无需考虑球的差别,只要考虑各个箱子中放入小球的多少。可用穷举法求解。解 (1)箱子不空有3种放法：     

错号排列的又一个公式

问题：有编号为1，2，...，n的n个小球，将其装人编号为1，2，...，n的n个盘中，每盒装1个球，且球与盒的编号不同，问不同的装球方法有多少种．邓廷元老师在文[1]中给出了这类"一对一错号排列"问题的公式解法该公式是用排除法得到的，并且文[1]中指出，n的值增大后，仍用常规法解，难度将随之增大，事实上，不论n的值多大，都可用常规法解，且难度并不大。设SR为一对一错号排列时K个小球装入K个盒子的不同装法种数．按题设要求把n个小球装入n个盒子可分两步完成：（Ⅰ）给编号为1的盒子装球，有种装法（Ⅱ）给其它n－1个盒子装球，若1号…     

课外练习

初一年级1.在3点到4点间,什么时刻时针与分针重叠?在一天中时针与分针重叠几次? (浙江省江山实验中学(324100)吴乃才)2.现有667个盒子,每个盒子均装有若干个小球,球的总数是2002个,求证:至少有一个盒子里的球数是多于3个的. (广东省中山市中山纪念中学(528454)张胜利)3.n条直线相交于一点,共有多少对邻补角? (湖南省浏阳淮川二中(410300)林曦)     

用递推方法求解排列组合问题

1994年高考题 :同室 4人 ,各写一张贺卡 ,先集中起来 ,然后每人从中拿一张别人送的贺卡 ,求四张贺卡不同的分发方法 .将问题推广 ,讨论下面的问题 .问题 1　标有 1 ,2 ,3,… ,n的 n个小球 ,投入标号为 1 ,2 ,3,… ,n的 n个盒子 ,每盒一球 ,要求球号与盒号不同 ,有几种投法 ?记 an为投法总数 .1号球有 n- 1种投法 .若 1号球投入 k号盒子 ,k号球可投入 1号盒子 ,共有 an-2 种投法 .k号球不投入 1号盒子 ,其它 n - 2个球不投入对应盒子 ,共有 an-1种投法 .因此an =( n - 1 ) ( an-1 an-2 ) ,( 1 )a1=0 ,　 a2 =1 ,( 2 )由 ( 1 )、( 2 )两式可…     

方程x_1+x_2+…+x_k=n整数解的组数及应用

先研究简单情形:不定方程x1+x2+x3= 10…①的正整数解的组数． 此问题可以直观地理解为:将十个相同的 小球,放入三个编了号的盒子中,要求每个盒 子不空的投放方法种数． 这不同于高中教材中介绍的普通组合问 题,但又十分常见．     

观察·推演·简化

不对号入座问题的一般形式是: 将编号为1,2,…,n的n个小球放入编号为1,2,…,n的n个小盒中,每盒一球且不对号,有多少种不同的放法? 用an表示n个球时的放法数,《中学生数学》文[1]获得了如下的递推公式 an=(n-1)(an-1 an-2) ①其中a1=0,a2=1．并在文末列出了如下的特值表:     

浅谈用树形图解题

树形图是一种应用性很强的图解法.本文略述树形图在排列、组合方面的一些应用,帮助同学们解决一些较复杂的问题.一、放球问题例1把9个相同的小球放入编号分别为1,2,3的三个箱子中,要求每个箱子放球的个数不小于其编号数,则不同的放球方法有多少种?     

一位名师一道题

分析与解　这是一个操作型问题 ,而且操作的模式不同 ,每一步操作有多种选择 ,在处理这类问题时 ,应该抽出各操作之间的相同点 ,建立一个在操作过程中的不变量 .我们给不同颜色的球赋值 (这是寻找操作不变量时常用的方法 ) ,设每个白球、绿球、红球的分值分别为 1 ,2 ,3 .考虑盒子中所有球的分值的总和F ,则F的值在模 4的意义下 ,每次操作结果不变 .(a)注意到 ,最初F =2 0 0 0≡ 0(mod 4) ,于是 ,设最后剩下的 3个球中白、绿、红球数分别为x、y、z,则　x + y +z=3 ,且　x + 2 y+ 3z≡ 0 (mod 4) .所以　y+ 2z≡ 1 (mod 4) ,从而　y≠ 0 (…