用“截长补短法”证明线段的和差关系

<正>在初中几何计算或证明过程中常遇到,已知或求证中涉及的线段a,b,c,d有如下情况:(1)a>b;(2)a±b=c;(3)a±b=c±d中的一种时,一般采用"截长补短法".1.截长法:在较长的线段上截取一条线段等于较短线段,再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段,称为"截长法".2.补短法:延长短线段中的一条,使延长出来的线段等于另外的较短线段,然后证明两     

怎样运用三角法证线段的倍分关系

运用三角法证线段的倍分关系,主要利用正弦定理和余弦定理. 设a和b是已知图形中的两条线段,利用正弦定理证明a=2b或b=a/2,其方法和步骤是;     

均值不等式的几何证法

如果a、b∈R+ ,那么a +b2 ≥ab .(当且仅当a =b时取“ =”号 ) .这是高中数学课本中的一个重要不等式 ,很容易用综合法证明 .如果稍加研究 ,这个不等式还有巧妙的几何证法 .图 1证法 1　如图 1所示 ,SABCD≥ 4SAA1 B2 D1 (a+b) 2 ≥ 4ab a +b2 ≥ab .(a =b SA2 B2 C2 D2=0 a+b2 =ab)证法 2　如图 2所图 2示 ,设DA =a ,AB =b ,则有OC =a +b2 ,AC =ab a +b2 ≥ab .(a=b AC与OC重合 a +b2 =ab)图 3　　证法 3　如图 3所示 ,设AB =a ,AC=b ,则有AO =AB+BC2 =a +b -a2 =a +b2 ,AT =ab ,AO≥AT a +b2 ≥ab .(a =b …     

蝴蝶定理的一个简捷推广

蝴蝶定理是指下面的命题:如图,设AB是圆的一条弦,过AB的中点M作弦CD、EF,连结CF、DE分别交AB于点P、Q,求证:PM=MQ. 近年来,经过人们不断的研究探索,得到了该定理的多种证法.本文介绍它在圆锥曲线时的情况,并给出一种简捷的证明.     

再谈1/a 1/b=1/c型线段等式的证明思路

在平面几何里,有一类问题是求证形如 1/a 1/b=1/c的等式,其中a、b、是已知图形中的线段。关于这类线段等式的证明思路,本刊85年第9期《也谈〈关于证明“1/a 1/b=t/c”型线段关系式〉》一文,发表了有启发性的意见,读后得益非浅。作为对该文的补充,本文谈谈这类线段等式的另外几种证明思路,供教学参考。     

平面向量基本定理的应用举例

平面向量基本定理:如果e1,e2 是同一平面内两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2 ,使a =λ1e1+λ2 e2 .这是一个重要的定理,它反映了在基底向量e1,e2 确定的前提下,平面向量分解的唯一性.利用此唯一性可解决一类有趣的问题,课本的例、习题对这个定理在此方面的应用反映并不充分,本文提供一些范例供大家学习时参考.例1　求证:平行四边形ABCD的对角线互相平分.图1　例1图证明　如图1 ,设AB =a ,AD =b ,AC与BD相交于O ,AO =λAC =λ(a +b) ,BO=μBD =μ(a -b) .则b =AB =AO -BO =λ(a+b) - μ(a-…     

一题多解话“倍分”

题目已知:如图1,△ABC中,∠B=60°,AD、CE为高,求证:DE=1/2AC.几何中结论形式为a=1/2b的题目称为线段的二倍分问题.通常的思路是通过添加辅助线将线段的二倍分问题转化为线段的相等问题.常用方法有:(1)折半法根据图形,适当作出线段c=1/2b,然后证线段c=a;如果直接取线段b的中     

一个不等式的简证

《数学通报》2010年1月号问题1833如下题目已知a,b>0,且a+b=1.求证:(1/a2-a3)(1/b2-b3)≥(31/8)2.原答案技巧性很强,笔者在此提供简单自然的一种证法,仅供参考.证明∵a+b=1,     

证明三点共线问题的若干种思路

本文通过一道题目介绍证明三点共线问题的12种思路 ,掌握这些思路可加深我们对一些概念、公式、定理的理解 .题目　证明 :三点Ａ(1,3) ,Ｂ(5 ,7) ,Ｃ(10 ,12 )在同一条直线上 .思路 1　利用平面内两点间的距离公式 .证法 1:∵ |ＡＢ|=(5 - 1) 2 (7- 3) 2 =4 2 ,|ＢＣ |=(10 - 5 ) 2 (12 - 7) 2 =5 2 ,|ＡＣ|=(10 - 1) 2 (12 - 3) 2 =92 ,∵ |ＡＢ| |ＢＣ|=|ＡＣ|,∴Ａ ,Ｂ ,Ｃ三点在同一条直线上 .思路 2　利用定比分点坐标公式 .证法 2 :设Ｂ′(5 ,ｙ)是有向线段ＡＣ的定比分点 ,点Ｂ分ＡＣ所成的比为λ ,则　　5 =1 10λ1 λ ,ｙ =3 12…     

积分中值定理的一个证法

积分中值定理是这样叙述的:设函数f(x)在[a,b]上连续,则在(a,b)内至少存分点ξ,使integral from n=a to b (f(x)dx)=f(ξ)(b-a)目前各类高校教材及教学参考书,对该定理的证明通常都是利用积分估值定理与闭区间上连续函数的介值定理完成的.这种证法只能证出ξ∈[a,b],不能证出ξ∈[a,b].现介绍一种证法,分两步:     

立足旧教材融合新课改——对2010年湖北高考数学理科第15题的思考与拓展

2010年湖北高考数学理科第15题:图1设a>0,b>0,则(2ab)/(a+b)为a,b的调和平均数.如图1,C为线段AB上的点,AC=a,CB=b,O为AB的中点,以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于D,连接OD,AD,BD.过点C作OD的垂线,垂足为E.     

2007年普通高等学校招生全国统一考试 (北京卷)数学(理工农医类)

一、本大题共8小题,共40分.1.已知cosθ·tanθ<0,那么角θ是()A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角2.函数f(x)=3x(0相似文献   

一个习题的推广及证明

习题已知a,b∈R ,且a≠b,求证: (a2 b2)＞3(a3 b3). 证明原命题等价于(a2 b2)3＞(a3 b3)2,展开很易证明.     

巧证“轮换”不等式

<正>这类不等式的特征是:字母成轮换对称形式,其证法思路是连续三次用均值不等式,并且相加,化简或推理之后可证,方法十分巧妙现举例说明.例1已知a、b、c为实数,且a+b+c=1,求证:a²+b2+b²+c2+c²≥1/3.证法1∵a+b+c=1,当且仅当a=b=c=1/3时,不等式中等号成立.于是有下列证法:     

线段、角目标检测(一)

一、判断题(每小题2分,共24分) 1.如图:a/b,直线a大于直线b. ( ) 2.经过一点只能作一条直线.( ) 3.两点确定一条线段. ( ) 4.线段OA和线段AO是同一条线段. ( )     

“逆证法”质疑

证明任何一个数学命题,都应要求论证方法本身合理正确。就是说,论证方法本身不能违背逻辑规则。最近,我们对中学数学课本中出现的所谓“逆证法”作了一些探讨。现提出一些看法,以期引起大家共同研究。为了说清问题,我们把中学数学课本中有关的一段转录如下: “证明不等式也可以用逆证法,就是先假定这个不等式(原命题)成立,逐步推出一个已知的不等式(真命题),如果推理的每一步都可逆,那么就可以断定所给的不等式(原命题)成立。例3 已知a,b,m都是正数,并且 aa/b 证明假定a+m/b+m>a+b成立,两边都乘以正数     

均值不等式的图解

高中数学第二册 (上 )在习题中指出 :已知a、b都是正数 ,求证 :21 /a 1 /b≤ab≤ a b2 ≤ a2 b22 ,记为H≤G≤A≤Q .即调和平均 (H)≤几何平均(G)≤算术平均 (A) ≤均方根 (Q) .这组公式称为两个正数的均值不等式 ,它们有鲜明的几可背景 .现给出两种图解 .图 1图解Ⅰ　如图 1 ,以a b长的线段为直径作半圆 ,在直径AB上取点C ,作AC=a ,CB =b .过C作垂直于AB的线段交半圆周于D ,连AD ,DB .连OD ,过C作CE⊥OD于E .过O作AB的垂线段交半圆周于F ,连CF .在Rt△ADB中 ,由CD2 =AC·CB ,有CD=ab ;在Rt△COD中 ,由CD2 =DE·O…     

一道不等式题的多种证法

题目[高中《代数》(试验修订本·必修)第二册(上)P12例2]已知a,b,m都是正数,并且a相似文献   

巧用定比“λ”解题

对于定比“λ”的应用,我们一般只停留在求点的坐标或以“λ”为参数求轨迹的问题中,而实际上,它还可以解决许多比较繁难的题目。下文将归纳二类问题,以供大家参考。一、证明线段相等例1 双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1的切点为p的切线交渐近线于A,B二点。求证:P点必平分线段AB。证明:因双曲线渐近线方程为y=±(b/a)x,可设A(x~1,(b/a)x_1)、B(X_2,-(b/a)x_2)为切线与渐近线的二交点。再设P点分线段AB的定比为λ,且P点的     

三角形中位线定理应用例谈(下)

<正>(三)综合例题例7如图15,点O是凸四边形ABCD内一点.∠AOB=∠COD=120°,AO=OB且CO=OD.K是AB中点,L是BC中点,M为CD中点.求证:△KLM是正三角形.证明如图15,连接BD、AC,设BD,AC交于P.易知△BOD≌△AOC(边、角、边),所以BD=AC.∠PBO=∠PAO.