几何体的面积和体积

面积和体积是立体几何中的两类重要问题 ,其中体积的计算和应用是重点 .几何体的面积主要包括表面积和截面的面积 .其中截面面积的计算是数学竞赛中的一种常见题型 .处理截面问题一般分为三个步骤 :定位、定形、定量 .在掌握好求体积的基本方法的基础上 ,还应重视以下的常用方法和技巧 :1)转移法 ,即利用祖 日恒原理或等积变换把所求几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积 ;2 )分割求和法 ;3)补形求差法 ;4 )交换底面求三棱锥 (或四面体 )的体积 .面积和体积最值问题也是一种常见题型 ,解决这类问题的基本方法有三种 :1)“选变量 ,寻定…     

高中数学竞赛中的面积与体积问题

面积与体积是立体几何的基本问题 ,也是数学竞赛中经常出现的内容 .例 1　 ( 1985年全国高中数学联赛试题 )ＰＱ为经过抛物线ｙ2 =2ｐｘ焦点的任意一条弦 ,ＭＮ为ＰＱ在准线ｌ上的射影 ,ＰＱ绕ｌ转一周所得的旋转面面积为Ｓ1,以ＭＮ为直径的球面面积为Ｓ2 ,则下面的结论中 ,正确的是 (　　 )(Ａ)Ｓ1>Ｓ2 .　　　　 (Ｂ)Ｓ1<Ｓ2 .(Ｃ)Ｓ1≥Ｓ2 . (Ｄ)不确定 .图 1　例 1图　　　图 2　例 2图解　如图 ,设Ｃ为抛物线的焦点 ,则ＰＭ =ＰＣ ,ＱＮ =ＱＣ .于是Ｓ1=π·ＰＱ(ＰＭ ＱＮ) =πＰＱ2 ,Ｓ2 =π·ＭＮ2 ,因ＰＱ≥ＭＮ ,故Ｓ1≥Ｓ2 ,选 …     

用等面积法和等体积法导出一类几何定值问题

《数学通报》2005，2P45刊出“Viviani定理的解析证明应用及推广”一文，笔者总感觉还有事情可做，主要是换一个角度对该定理进行一些自然的推广。     

关于一个体积问题的再探讨

问题　已知直三棱柱ＡＢＣＡ1Ｂ1Ｃ1,用一个平面去截它 ,得截面△Ａ2 Ｂ2 Ｃ2 ,且ＡＡ2 =ｈ1,ＢＢ2 =ｈ2 ,ＣＣ2 =ｈ3 .若底面面积为Ｓ .求 :介于截面与下底面之间的几何体的体积Ｖ(如图 1) .本刊文 [1]给出了该问题的七种不同的“割补”解法 ,读后受益匪浅 .这里笔者再给出其一种解法 ,并由此对所求体积作一番实质性探讨 ,希望以此开阔同学们的眼界 .图 1　题目图　　　图 2　解答用图解　如图 2 ,延长ＣＣ2 ,并在其上截取Ｃ2 Ｄ =ｈ2 ,ＤＥ =ｈ1.连ＢＣ2 ,Ｂ2 Ｄ ,ＡＤ ,Ａ2 Ｅ ,ＡＢ2 ,ＡＣ2 ,Ａ2 Ｄ ,Ｂ2 Ｅ .则ＶＣ2 ＡＢＣ=13Ｓｈ3 ;…     

用测量法求平面封闭区域之面积及空间封闭区域之体积

怎样用测量的方法来分别求由无解析表达式或由积分法很难求面积或体积的已知表达式的平面封闭曲线或空间封闭曲面所围的面积或体积?本文分别给出了简单易行的求面积的“改进了的方格法”及求体积的“立方体分割法”,并且证明了对于满足一定条件的平面封闭曲线或空间封闭曲面,当测量所用单位(平面小正方形的边长或空间小立方体的边长)充分小时,所测得的面积或体积与实际的面积或体积之差的绝对值是所用单位的二阶无穷小.并且,当曲线或曲面的某些性质已知或至少可以估计出其范围的情况下,本文给出了为使测量结果达到任意精度,应当使用多大的测量单位.     

一道值得探究的面积问题

在高中数学中，除了立体几何外，求解面积问题主要出现在点集交集的面积和线性规划区域的面积，此类问题主要出现在高考的选择题、填空题中．     

两种典型方法解决与体积相关问题

对于空间几何体,一般情况下求体积都能直接应用体积公式来解决,但是对于一些特例问题则不能直接解决,下面介绍两种方法来解决与体积相关问题.     

体积比问题的类型及解法

体积问题是立体几何中的一类重要问题 ,其中求几个几何体的体积比是较常见的一类问题 ,且多以选择题、填空题设置 .通常可设法求出每一个几何体的体积 ,再求体积比 ;或借助几何体的体积关系 ,整体处理求得体积比 .对选择题、填空题型 ,也可采取特殊化 (赋予几何体相关特殊值、特殊图形、特殊位置等 )思维策略求解 .本文结合典型问题仅以解答题求解方式探究此类问题的求解方法 .1　直接法　对于某些规则几何体 ,若据题意其体积易于求得 ,则可直接求出其体积 ,再求其体积比 .例 1　 (1991年上海高考题 )一个圆柱的底面直径和高都等于一个球的…     

分割棱台求体积的新想法

预备定理　设斜截三棱柱ＥＦ ＡＢＣＤ中 ,ＥＦＡＢ=λ,ＤＣＡＢ=ｍ ,底面ＡＢＣＤ的面积为Ｓ ,ＥＦ与面ＡＢＣＤ的距离为ｈ ,(如图 1)则斜截三棱柱的体积为Ｖ =(λ +ｍ + 1)3(ｍ + 1) ·Ｓ·ｈ .该定理证明见文 [1],从略 .已知棱台Ａ′Ｂ′Ｃ′ ＡＢＣ中 ,设Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′ =Ｓ1,Ｓ△ＡＢＣ=Ｓ2 ,高为ｈ ,试推导三棱台的体积公式 .图 2　棱台解　如图 2 ,作Ａ′Ｄ∥ＢＢ′ ,Ｃ′Ｅ∥ＢＢ′分别交ＡＢ ,ＣＢ于Ｄ ,Ｅ .其中Ａ′Ｂ′Ｃ′ ＤＢＥ为三棱柱 ,值得注意的是几何体Ａ′Ｃ′ ＡＤＥＣ即为上文所提到的斜截三棱柱 ,对其应用定理 :λ…     

从面积与体积的关系理解导数与积分之间的关系

从不同的“平行截面”的面积经积分可导得同一立体体积，导数与积分的关系对应着“面”“平行运动”而成“体”的关系，认识这层关系可以方便地求得某种几何体的体积的及某个表面积等。     

浅谈旋转体中一类截面面积最值的统一性

经过两条母线的截面是圆柱、圆锥、圆台中的一类重要截面 ,其面积的最值问题是这类截面的一个研究重点 .从目前的一些资料和刊物发表的文章来看 ,仅有圆柱、圆锥方面的结论 (见下文中的结论 1、结论 2 ) ,而缺少最重要的圆台方面的结论 .作为补充和完善 ,本文将给出圆台中过两条母线的截面面积最值的一般性结论 ,并进一步阐释圆柱、圆锥、圆台三者之间的和谐统一关系 ,供读者教学或研究时参与 .结论 1　设圆柱的底面半径为ｒ,母线长为ｌ,则过两条母线的截面面积的最大值为 2ｒｌ.证明略 .结论 2　设圆锥的母线长为ｌ,轴截面顶角为 ,则过两…     

学习“旋转体”单元六注意

学习“旋转体”这一单元除掌握好旋转体的概念、性质和求面积、体积公式外 ,还必须处理好下面的问题 .1　注意联系直线和平面的知识例 1　圆锥的高为 2 0ｄｍ ,底面半径是 2 5ｄｍ ,过它的顶点作一个截面 ,如果底面圆心到截面的距离图 1　例 1图是 12ｄｍ ,求这个截面面积 .解　如图 1,过圆锥的顶点Ｖ的截面是等腰三角形ＶＡＢ ,与底面圆交于弦ＡＢ .过Ｖ作ＶＯ⊥底面于Ｏ ,过Ｏ作ＯＤ⊥截面ＶＡＢ于Ｄ ,连ＶＤ且延长交ＡＢ于Ｅ .∵ＯＤ⊥平面ＶＡＢ ,ＶＯ是平面ＶＡＢ的斜线 ,ＶＤ是ＯＶ在截面ＶＡＢ上的射影 ,又ＶＯ⊥ＡＢ ,即ＡＢ⊥ＶＯ …     

扩展法解立体几何问题

我们在解决立体几何问题时往往会遇到这么一类题目：线、面或体总是在几何体内,不知从何下手,从而抑制我们的解题思路,但只要将其扩展到我们熟悉的环境,就会轻易解决．     

关于圆锥体积的一个结论及应用

《数学通报》2 0 0 1年第 1期刊登了李正君、谭瑞红两老师的文章《公式 2Ｓ0 =Ｓ+ Ｓ′的推广与应用》 ,文中的定理 1主要是 :若台体的上、下底面的面积分别是Ｓ′,Ｓ ,则过它的高的ｎ等分点且平行于底面的截面的面积Ｓ1 ,Ｓ2 ,… ,Ｓｎ- 1 的算术平方根 ,分别为Ｓｋ=1ｎ ｋＳ+ (ｎ-ｋ) Ｓ′(ｋ =1 ,2 ,… ,ｎ- 1 ) .笔者阅后 ,很受启发 ,通过推导 ,得到如下定理 :定理　已知锥体的体积为Ｖ ,过它的高的ｎ等分点作平行于底面的截面将锥体分成 1个小锥体 ,ｎ- 1个台体 ,设它们的体积分别为Ｖｋ(ｋ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,则Ｖｋ =Ｖｎ3 ｋ3- (ｋ- 1 …     

楔形体积公式

底面是矩形，顶部为平行底面的一条线段，四个侧面中两个是梯形，两个是三角形，这样的多面体好像木工用的楔，故称此种几何体为楔形．对于任一楔形，有如下命题：     

立体几何最值问题的求解策略

立体几何中的最值问题,通常包括距离、面积、体积的最值等．此类问题涉及知识面广,灵活性大,是近年来各级各类考试的热点,不少学生面对这类问题常常感到不易下手,笔者通过分析、归纳、提出如下策略．     

存在性问题与等体积法的应用一例

“等体积法求高”是立体几何教学中常用的数学思想方法与技巧.根据这一思想命制出的数学会考题、高考题不胜枚举,但在命制时一定要慎重,不能太随意,更不能想当然.该类题目也有一个很重要的问题——存在性问题.     

一类多面体体积公式的探求

在立体几何学习中，我遇到例1这样一个题目．     

竞赛中的等高三角形面积问题

我们知道,等高三角形的面积比等于它们对应底边的比,其中等底等高三角形面积相等.利用等高三角形的这一性质,进行等高三角形的面积与对应边线段之间的互相转化,有助于我们解决一些三角形中的面积问题.