On some local properties of the sum of lacunary trigonometric series

В статье изучается по ведение суммы лакуна рного тригонометрическог о ряда при приближени и к некоторой фиксиров анной произвольной т очке. Первая половина рабо ты посвящена изложен ию метода исследования локаль ных свойств суммы лакунарного ря да, разработанного ав тором. Вторая половина рабо ты посвящена приложе ниям этого метода. Здесь в частно сти, получаются необходи мые и достаточные усл овия для интегрируемости сум мы лакунарного ряда с весом при широк их условиях на вес. При ведем соответствующий рез ультат. Пусть?р(x) — сумма ряда \(a + \sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n \cos (\lambda _n x + \psi _n )} \) , гдеа, а _n ,λ _n ,ψ _n — действительные числа,εa _n ^/2 <∞,a _n ≧0,λ _n >0 приn≧1 и \(\mathop {\inf }\limits_{n \geqq 1} \lambda _{n + 1} /\lambda _n > 1\) . При этих условиях функция?(х) определена почти всю ду. Пустьр>0 иω(х) — положительная неуб ывающая функция, определенная при все хх>0, которая при некот оромC>0 удовлетворяет услов ию:ω(2x)≦ ≦Cω(х) при всехх>0. Тогда имеет место Теорема. Для того, чтоб ы интеграл \(\int\limits_{ + 0} {|\varphi (x)|^p \frac{{dx}}{{\omega (x)}}} \) сходился, необходимо и достато чно, чтобы сходились все р яды $$\begin{gathered} \sum\limits_{n = 1}^\infty {D_n (\sum\limits_{k = n}^\infty {a_k^2 } )^{p/2} ,} \sum\limits_{n = 2}^\infty {D_n |a_n + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {a_k \cos } \psi _k |^p ,} \hfill \\ \sum\limits_{n = 2}^\infty {D_n (pj)|\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {a_k \lambda _k^j \cos (\psi _k + \pi j/2)} |^p ,} j = 1,2,..., \hfill \\ \end{gathered} $$ , где $$D_n = \int\limits_{I_n } {\frac{{dx}}{{\omega (x)}},} D_n (pj) = \int\limits_{I_n } {\frac{{x^{pj} dx}}{{\omega (x)}},} a I_n = [\pi \lambda _n^{ - 1} ,\pi \lambda _{n - 1}^{ - 1} ]$$      

Absolute tauberian conditions for absolute hausdorff and quasi-hausdorff methods

The purpose of this paper is to prove that for a large set of absolute Hausdorff and quasi-Hausdorff methods the condition $$\sum\limits_{k = 1}^\infty {\left| {\lambda _n a_n - \lambda _{n - 1} a_{n - 1} } \right|< } \infty $$ is a Tauberian condition, i.e., its fulfillment together with the absolute summability of \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n } \) tos implies that \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left| {a_n } \right|}< \infty \) and \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n } = s.\) a _n =s.     

Asymptotic properties for the loglog laws under positive association

Let {X _n : n ?? 1} be a strictly stationary sequence of positively associated random variables with mean zero and finite variance. Set $S_n = \sum\limits_{k = 1}^n {X_k }$ , $Mn = \mathop {\max }\limits_{k \leqslant n} \left| {S_k } \right|$ , n ?? 1. Suppose that $0 < \sigma ^2 = EX_1^2 + 2\sum\limits_{k = 2}^\infty {EX_1 X_k < \infty }$ . In this paper, we prove that if E|X ₁|^2+?? < for some ?? ?? (0, 1], and $\sum\limits_{j = n + 1}^\infty {Cov\left( {X_1 ,X_j } \right) = O\left( {n^{ - \alpha } } \right)}$ for some ?? > 1, then for any b > ?1/2 $$\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \searrow 0} \varepsilon ^{2b + 1} \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{(\log \log n)^{b - 1/2} }} {{n^{3/2} \log n}}} E\left\{ {M_n - \sigma \varepsilon \sqrt {2n\log \log n} } \right\}_ + = \frac{{2^{ - 1/2 - b} E\left| N \right|^{2(b + 1)} }} {{(b + 1)(2b + 1)}}\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{( - 1)^k }} {{(2k + 1)^{2(b + 1)} }}}$$ and $$\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \nearrow \infty } \varepsilon ^{ - 2(b + 1)} \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{(\log \log n)^b }} {{n^{3/2} \log n}}E\left\{ {\sigma \varepsilon \sqrt {\frac{{\pi ^2 n}} {{8\log \log n}}} - M_n } \right\}} _ + = \frac{{\Gamma (b + 1/2)}} {{\sqrt 2 (b + 1)}}\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{( - 1)^k }} {{(2k + 1)^{2b + 2} }}} ,$$ where x ₊ = max{x, 0}, N is a standard normal random variable, and ??(·) is a Gamma function.     

Strong approximation by rectangular partial sums of double orthogonal series

Пусть {? _ik(x):i, k=1, 2,...} — орто нормированная систе ма в пространстве с полож ительной мерой и {a _ik} — последов ательность действит ельных чисел, для которой $$\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik}^2 \kappa ^2 (i,k)< \infty ,$$ где {x(i, K)} — определенна я неубывающая последовательность положительных чисел. Тогда суммаf(x) двойног о ортогонального ряд а \(\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik} \varphi _{ik} (x)\) существует в смысле с ходимости в метрикеL ² и сходимос ти почти всюду. Изучае тся порядок так называем ой сильной аппроксимац ииf(x) (при коэффициентн ых условиях) прямоуголь ными частными суммами \(s_{mn} (x) = \mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik} \varphi _{ik} (x)\) . Основной ре зультат состоит в сле дующем. Если {λ_j(m):m=1, 2,...} — неубывающи е последовательност и положительньк чисел, стремящиеся к ∞ и такие, что \(\mathop {\lim \sup }\limits_{m \to \infty } \lambda _j (2m)/\lambda _j (m)< \sqrt 2 \) дляj=1,2, и если $$\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik}^2 \left[ {\log log (i + 3)} \right]^2 \left[ {\log log (k + 3)} \right]^2 (\lambda _1^2 (i) + \lambda _2^2 (k))< \infty ,$$ TO ПОЧТИ ВСЮДУ $$\left\{ {\frac{1}{{mn}}\mathop \sum \limits_{i = 1}^m \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^m \left[ {s_{ik} (x) - f(x)} \right]^2 } \right\}^{1/2} = o_x (\lambda _1^{ - 1} (m) + \lambda _2^{ - 1} (n))$$ при min (m, n) → ∞.     

On the strong summation of Fourier series with variable exponents

Пустьf 2π-периодическ ая суммируемая функц ия, as _k (x) еë сумма Фурье порядк аk. В связи с известным ре зультатом Зигмунда о сильной суммируемости мы уст анавливаем, что если λn→∞, то сущес твует такая функцияf, что почти всюду $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = n + 1}^{2n} |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _{2n} } } \right\}^{1/\lambda _{2n} } = \infty .$$ Отсюда, в частности, вы текает, что если λn?∞, т о существует такая фун кцияf, что почти всюду $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _k } } \right\}^{1/\lambda _n } = \infty .$$ Пусть, далее, ω-модуль н епрерывности и $$H^\omega = \{ f:\parallel f(x + h) - f(x)\parallel _c \leqq K_f \omega (h)\} .$$ . Мы доказываем, что есл и λ _n ?∞, то необходимым и достаточным условие м для того, чтобы для всехf∈H ^ω выполнялос ь соотношение $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = n + 1}^{2n} |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _n } } \right\}^{1/\lambda _n } = 0(x \in [0;2\pi ])$$ является условие $$\omega \left( {\frac{1}{n}} \right) = o\left( {\frac{1}{{\log n}} + \frac{1}{{\lambda _n }}} \right).$$ Это же условие необхо димо и достаточно для того, чтобы выполнялось соотнош ение $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{n + 1}}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _k } = 0(f \in H^\omega ,x \in [0;2\pi ]).$$      

Generalization of the steinhaus problem on the convergence of series with random signs

For series of random variables $\sum\limits_{k = 1}^\infty {a_k x_k }$ ,a _K ∈R ¹, {X _K } _K=1 ^∞ being an Ising system, i.e., for each n ≥ 2 the joint distribution of {X _K } _K=1 ⁿ has the form $$P_n (t_1 ,...,t_n ) = ch^{ - (n - 1)} J \cdot exp(J\sum\limits_{k - 1}^{n - 1} {t_k t_{k + 1} )\prod\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{2}\delta (t_{k^{ - 1} }^2 ),J > 0} }$$ one obtains a criterion for almost everywhere convergence: $\sum\limits_{k = 1}^\infty {a_k^2< \infty }$ . The relation between the asymptotic behavior of large deviations of the sum and the rate of decrease of the sequence {a_k} of the coefficients is investigated.     

On the continuity of functions in connection with a problem of V. G. Krotov

В РАБОтЕ ДАЕтсь ОтВЕт НА ОДИН ВОпРОс, пОстАВ лЕННыИ В. г. кРОтОВыМ. УстАНОВлЕН О, ЧтО ЕслИ Ф(х) — МОНОтОННО ВО жРАстАУЩАь ФУНкцИь,Ф (0)=0, Ф(2х)≦кФ(х), х[0, ∞), тО $$\left\{ {f:\left\| {\sum\limits_{k = 1}^\infty {\mu _k \Phi (\lambda _k \left| {S_k - f} \right|)} } \right\|_c< \infty } \right\} \subseteqq C \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 1}^\infty {\mu _k } \Phi (\lambda _k ) = \infty $$ Дль пРОИжВОльНых НЕО тРИцАтЕльНых ЧИслОВ ых пОслЕДОВАтЕльНОстЕ И {Μ_k} И {λ_k}. (жДЕсьS _k ОБОжНАЧАЕт ЧАстНУУ с УММУ пОРьДкАk РьДА ФУ РьЕ ФУНкцИИf). УстАНОВлЕН О тАкжЕ, ЧтО ВО МНОгИх слУЧАьх $$\left\{ {f:\left\| {\sum\limits_{k = 1}^\infty {\mu _k \Phi (\lambda _k \left| {\tilde S_k - \tilde f} \right|)} } \right\|_c< \infty } \right\} \subseteqq C \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{k\lambda _k }}} \Phi ^{ - 1} \left( {\frac{1}{{k\mu _k }}} \right)< \infty .$$      

Bemerkungen zu einem Satz von Fejér

Последовательность {ita_k} _(n) ^k =1/∞ вещественных ч исел называется дважды мо нотонной, еслиa _k -2a _k+1 +a _k+2 ≧0 дляk≧1. В работе доказываютс я следующие утвержде ния, являющиеся обобщени ем двух теорем Фейера:

1. Если {ita_k — дважды моно тонная последовател ьность, то для ¦z¦<1 $$\operatorname{Re} \sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {a_\kappa z^\kappa } /\sum\limits_{\kappa = 1}^n {a_\kappa z^\kappa } > 1/2$$ дляи≧ 1.
2. Если О≦β<1 и последова тельность (k+1-2β)ak} дважд ы монотонна, то для ¦z¦<1 $$\operatorname{Re} \sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {ka_\kappa z^\kappa } /\sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {a_\kappa z^\kappa } > \beta $$ , то есть $$\sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {a_\kappa z^\kappa } \varepsilon S_\beta ^\kappa $$ . При помощи 2) получены о бобщения и уточнения теорем из работы [1] о линейных комбинациях некотор ых однолистных функц ий.

     

On the properties of the strong Cesàro summability and strong convergence of series

Говорят, что ряд \(\mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty a_k \) сумм ируется к s в смысле (С, gа), gа >?1, если $$\sigma _n^{(k)} - s = o(1),n \to \infty ,$$ в смысле [C,α] _λ , α<0, λ>0, если $$\frac{1}{{n + 1}}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n \left| {\sigma _k^{(\alpha - 1)} - s} \right|^\lambda = o(1),n \to \infty ,$$ и в смысле [C,0] _λ , λ>0, если $$\frac{1}{{n + 1}}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n \left| {(k + 1)(s_k - 1) - k(s_{k - 1} - 1)} \right|^\lambda = o(1),n \to \infty ,$$ где σ _n ^(α) обозначаетn-ое ч езаровское среднее р яда. Суммируемость [C,α] _λ , α>?1, λ ≧1 о значает, что $$\mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty k^{\lambda - 1} \left| {\sigma _k^{(\alpha )} - \sigma _{k - 1}^{(\alpha )} } \right|^\lambda< \infty .$$ В данной статье содер жится продолжение ис следований свойств [C,α] _λ -суммиру емо сти, которые начали Винн, Х ислоп, Флетт, Танович-М иллер и автор, в частности свя зей между указанными методами суммирования. Наконец, даны некотор ые простые приложени я к вопросам суммируемости ортог ональных рядов.     

On absolute summation of Fourier series by subsequences

В работе изучается сл едующая задача. Пусть заданы числа 0<α≦1 и β<α. При каки х условиях на строго во зрастающую последов ательность натуральных чисел {n _k } _k ^t8 =1 для всех 2π-периодических функ ций \(f(x) \sim \sum\limits_{v = - \infty }^\infty {c_v e^{ivx} } \) , принадлежащих к лассу Lip α, равномерно пох будет выполнено неравенство $$\sum\limits_{k = 1}^\infty {|\sum\limits_{n_k \leqq |v|< n_{k + 1} } {c_v e^{ivx} } |n_k^\beta< \infty ?} $$ .     

On the limit superior of sequences of sets

qVЕРхНИИ пРЕДЕл пОслЕД ОВАтЕльНОстИ МНОжЕс тВA _n ОпРЕДЕльЕтсь сООтНО шЕНИЕМ \(\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } A_n = \mathop \cap \limits_{k = 1}^\infty \mathop \cup \limits_{n = k}^\infty A_n . B\) стАтьЕ РАссМАтРИВА Етсь слЕДУУЩИИ ВОпРО с: ЧтО МОжНО скАжАть О ВЕРхНИх пРЕДЕлАх \(\mathop {\lim sup}\limits_{k \to \infty } A_{n_k }\) , еслИ ИжВЕстНО, ЧтО пРЕсЕЧЕНИь \(\mathop \cap \limits_{k = 1}^\infty A_{n_k }\) «МАлы» Дль кАж-ДОИ пОДпОслЕДОВАтЕльНОстИ \((A_{n_k } )\) ? ДОкАжыВАЕтсь, Ч тО

1. ЕслИ \(\mathop \cap \limits_{k = 1}^\infty A_{n_k }\) — кОНЕЧНОЕ МНО жЕстВО Дль кАжДОИ пОДпОслЕДОВАтЕльНОстИ \((A_{n_k } )\) , тО НАИДЕтсь тАкАь пОДпО слЕДОВАтЕльНОсть, Дл ь кОтОРОИ МНОжЕстВО \(\mathop {\lim sup}\limits_{k \to \infty } A_{n_k }\) сЧЕтНО;
2. ЕслИ \(2^{\aleph _0 } = \aleph _1\) , тО сУЩЕстВУЕ т тАкАь пОслЕДОВАтЕл ьНОсть (A_n), ЧтО \(\mathop \cap \limits_{k = 1}^\infty A_{n_k }\) — сЧЕтНОЕ МНОжЕстВО Дль лУБОИ п ОДпОслЕДОВАтЕльНОстИ \((A_{n_k } )\) , НО \(\mathop {\lim sup}\limits_{k \to \infty } A_{n_k }\) ИМЕЕт МОЩ-НОсть кОНтИНУУМА;
3. ЕслИA _n — БОРЕлЕ ВскИЕ МНОжЕстВА В НЕкОтОРО М пОлНОМ сЕпАРАБЕльНО М МЕтРИЧЕскОМ пРОстРАНстВЕ, И \(\mathop \cap \limits_{k = 1}^\infty A_{n_k }\) — сЧЕт НОЕ МНОжЕстВО Дль кАж ДОИ пОДпОслЕДОВАтЕльНОстИ \((A_{n_k } )\) , тО сУЩЕстВУЕт тАкАь п ОДпОслЕДОВАтЕльНОсть, ЧтО \(\mathop {\lim sup}\limits_{k \to \infty } A_{n_k }\) — сЧЕтНОЕ МНОжЕстВО. кРОМЕ тОгО, ДОкАжАНО, Ч тО В слУЧАьх А) И В) В пОслЕДОВАтЕльНОстИ (A _n ) сУЩЕстВУЕт схОДьЩА ьсь пОДпОслЕДОВАтЕльНО сть.

кРОМЕ тОгО, ДОкАжАНО, Ч тО В слУЧАьх А) И В) В пОслЕДОВАтЕльНОстИ (А _n ) сУЩЕстВУЕт схОДьЩ Аьсь пОДпОслЕДОВАтЕльНО сть.     

OnL 1-convergence of Walsh-Fourier series I

We prove the convergence in theL ¹(0, 1)-metric of Walsh-Fourier series \(\sum\limits_{k = 0}^\infty {a_k w_k \left( x \right)} \) of an integrable function with coefficients such that lim_n→∞ and the following Tauberian condition of Hardy-Karamata kind is satisfied: $$\mathop {lim}\limits_{\lambda \to 1 + 0} {\text{ }}\mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = n}^{\left[ {\lambda n} \right]} {k^{p - 1} \left| {\Delta a_k } \right|^p } = 0,$$ , wherep>1, [·] denotes the integral part, and Δa _k=a_k?a_k+1.     

On a result of Hardy and Littlewood concerning Fourier series

Let f ∈ L ¹( $ \mathbb{T} $ ) and assume that $$ f\left( t \right) \sim \frac{{a_0 }} {2} + \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( {a_k \cos kt + b_k \sin kt} \right)} $$ Hardy and Littlewood [1] proved that the series $ \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{a_k }} {k}} $ converges if and only if the improper Riemann integral $$ \mathop {\lim }\limits_{\delta \to 0^ + } \int_\delta ^\pi {\frac{1} {x}} \left\{ {\int_{ - x}^x {f(t)dt} } \right\}dx $$ exists. In this paper we prove a refinement of this result.     

On the convergence rate of the partial sums of positive entire Dirichlet series

Пусть Λ=(λ_n) — возрастаю щая к+∞ последователь ность неотрицательных чис ел, λ₀=0, а S₊(Λ) — класс абсолют но сходящихся в С рядо в Дирихле вида $$F\left( z \right) = \mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty a_k \exp \left\{ {z\lambda _k } \right\},$$ где a₀=1 и a_k>0 (k∈N). Положим $$\begin{gathered} S_n \left( z \right) = \mathop \sum \limits_{k = 1}^\infty a_k \exp \left\{ {z\lambda _k } \right\}, \hfill \\ \sigma _n \left( F \right) = \max \left\{ {\frac{1}{{S_n \left( x \right)}} - \frac{1}{{F\left( x \right)}}:x \in R} \right\}. \hfill \\ \end{gathered} $$ Доказано, что для того, чтобы для любой функц ии F∈S₊(Λ) выполнялось равенст во $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\ln n}}\ln \frac{1}{{\sigma _n \left( F \right)}} = + \infty ,$$ необходимо и достато чно, чтобы $$\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \frac{1}{{n\lambda _n }}< + \infty .$$ Аналогичные результ ы получены для различ ных подклассов классаS ₊ (Λ), определяемых условиями на убывани е коэффициентова _n.     

On linear summation methods of Fourier series

Получены новые оценк иL-нормы тригонометр ических полиномов $$T_n (t) = \frac{{\lambda _0 }}{2} + \mathop \sum \limits_{k = 1}^n \lambda _k \cos kt$$ в терминах коэффицие нтовλ _k и их разностейΔλ _k=λ _k?λ _k?1: (1) $$\mathop \smallint \limits_{ - \pi }^\pi |T_n (t)|dt \leqq \frac{c}{n}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |\lambda _\kappa | + c\left\{ {x(n,\varphi )\mathop \sum \limits_{k = 0}^n \Delta \lambda _\kappa \mathop \sum \limits_{l = 0}^n \Delta \lambda _l \delta _{\kappa ,l} (\varphi )} \right\}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} ,$$ где $$\kappa (n,\varphi ) = \mathop \smallint \limits_{1/n}^\pi [t^2 \varphi (t)]^{ - 1} dt, \delta _{k,1} (\varphi ) = \mathop \smallint \limits_0^\infty \varphi (t)\sin \left( {k + \frac{1}{2}} \right)t \sin \left( {l + \frac{1}{2}} \right)t dt,$$ a ?(t) — произвольная фун кция ≧0, для которой опр еделены соответствующие инт егралы. Из (1) следует, что методы $$\tau _n (f;t) = (N + 1)^{ - 1} \mathop \sum \limits_{k = 0}^{\rm N} S_{[2^{k^\varepsilon } ]} (f;t), n = [2^{N\varepsilon } ],$$ являются регулярным и для всех 0<ε≦1/2. ЗдесьS _m (f, x) частные суммы ряда Фу рье функцииf(x). В статье исследуется многомерный случай. П оказано, что метод суммирования (о бобщенный метод Рисса) с коэффиц иентами $$\lambda _{\kappa ,l} = (R^v - k^\alpha - l^\beta )^\delta R^{ - v\delta } (0 \leqq k^\alpha + l^\beta \leqq R^v ;\alpha \geqq 1,\beta \geqq 1,v< 0)$$ является регулярным, когда δ > 1.     

On the regular summability of multiple function series and Lebesgue functions

Основной целью работ ы является обобщение одного результата Кратца и Т раутнера [4], известного для одном ерных функциональны х рядов, на кратные ряды. Этот рез ультат касается суммируемо сти функционального ряда почти всюду при слабых пред положениях. В частности, он примен им к суммируемости по Чезаро и по Риссу. Мы рассматриваемd-кр атный ряд $$\mathop \sum \limits_{k_1 = 0}^\infty \cdots \mathop \sum \limits_{k_d = 0}^\infty c_{k_1 ,...,k_d } f_{k_1 ,...,k_d } (x), \mathop \sum \limits_{k_1 = 0}^\infty \cdots \mathop \sum \limits_{k_d = 0}^\infty c_{k_1 ,...,k_d }^2< \infty $$ и предполагается, что функции \(f_{k_1 ,...,k_d } (x)\) интегрируе мы по пространству с полож ительной мерой и имеют почти вс юду ограниченные фун кции Лебега для метода суммирова ния Т. Метод Т определяетсяd-мерной матрицей \(T = \{ a_{m_1 ,...,m_d ;k_1 ,...,k_d } \} \) сл едующим образом: $$t_{m_1 ,...,m_d } (x) = \mathop \sum \limits_{k_1 = 0}^\infty \cdots \mathop \sum \limits_{k_d = 0}^\infty a_{m_1 ,...,m_d ;k_1 ,...,k_d } c_{k_1 ,...,k_d } f_{k_1 ,...,k_d } (x).$$ Эти средние существу ют, поскольку мы предп олагаем, что \(a_{m_1 ,...,m_d ;k_1 ,...,k_d } = 0\) ,если max(k ₁,...,k _d) достаточно вели к (в зависимости, конеч но, отm ₁,...,m _d). При некоторых дополнительных усло виях на матрицуТ (см. (7)– (9) в разделе 3) устанавлива ется почти всюду регулярная схо димость средних \(t_{m_1 ,...,m_d } (x) \user2{} \user2{(}m_1 \user2{,}...\user2{,}m_d \user2{)} \to \infty \) . Как вспомогательный результат, в работе об общается теорема Алексича [1] о сх одимости почти всюду некоторы х подпоследовательн остей частных сумм функцио нального ряда.     

Analogs of the arcsine distribution for sequences linearly generated by independent random variables

Let {ξ_k}, kz ...?1,0,1, ..., be a sequence of independent identically distributed random variables with . Let {C_k} be a numerical sequence such that \(\Sigma _{ - \infty }^\infty c_k^2< \infty \) Let $$X_n = \sum\limits_{ - \infty }^\infty {c_{k - n} \xi _k } , S_n = \sum\limits_1^n {X_k } $$ . This article investigates the limit behavior of the distributions of functionals of the following type: $$\mathcal{V}_n = \tfrac{1}{n}\sum\limits_1^n {h\left( {S_k } \right)} $$ , where h is a bounded function on R¹.     

On certain properties of linear summation methods of Fourier series on the classesC(ɛ)

Для линейных методов суммирования рядов Ф урье (1) $$L_n (f;x) = \frac{1}{\pi }\mathop \smallint \limits_{ - \pi }^\pi f(x + t)\left( {\frac{1}{2} + \sum\limits_{k = 1}^n {\lambda _{k,n} } \cos kt} \right)dt$$ на классах $$C(\varepsilon ) = \{ f:E_n (f) \leqq \varepsilon _n ;\forall n \geqq 0\} ,\varepsilon = \{ \varepsilon _n \} _{n = 0.}^\infty \varepsilon _n \downarrow 0,$$ доказываются:

1. оценки для порядка р оста норм ∥{L_n∥, если из вестен порядок приближения операторами (1) некоторого классаС (?) (при этом, если опера торы (1) приближают класс С(е) с наилучшим порядком, то находится точная а симптотика возрастания норм {∥ L_n∥);
2. сравнительные оцен ки порядков приближе ния классовС(?) операторами (1), если известен порядок при ближения ими некотор ого более узкого класса С(?*).

В том случае, когда опе раторы (1) приближают кл асс С(?*) с наилучшим порядком, получаются точные по рядковые оценки для л юбого более широкого класса С(?).     

Асимптотические рав енства для интеграло в от модуля суммы кратн ого ряда из синусов

Assume that the coefficients of the series $$\mathop \sum \limits_{k \in N^m } a_k \mathop \Pi \limits_{i = 1}^m \sin k_i x_i $$ satisfy the following conditions: a) a_k → 0 for k₁ + k₂ + ...+k_m →∞, b) \(\delta _{B,G}^M (a) = \mathop {\mathop \sum \limits_{k_i = 1}^\infty }\limits_{i \in B} \mathop {\mathop \sum \limits_{k_j = 2}^\infty }\limits_{j \in G} \mathop {\mathop \sum \limits_{k_v = 0}^\infty }\limits_{v \in M\backslash (B \cup G)} \mathop \Pi \limits_{i \in B} \frac{1}{{k_i }}|\mathop \sum \limits_{I_j = 1}^{[k_j /2]} (\nabla _{l_G }^G (\Delta _1^{M\backslash B} a_k ))\mathop \Pi \limits_{j \in G} l_j^{ - 1} |< \infty ,\) for ∨B?M, ∨G?M,B∩G, where M={1,2, ...,m}, $$\begin{gathered} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Delta _1^j a_k = a_k - a_{k_{M\backslash \{ j\} } ,k_{j + 1} } ,\Delta _1^B a_k = \Delta _1^{B\backslash \{ j\} } (\Delta _1^j a_k ), \hfill \\ \Delta _{l_j }^j a_k = a_{k_{M\backslash \{ j\} } ,k_j - l_j } - a_{k_{M\backslash \{ j\} } ,k_j + l_j } ,\nabla _{l_G }^G a_k = \nabla _{l_{G\backslash \{ j\} } }^{G\backslash \{ j\} } (\nabla _{l_j }^j a_k ). \hfill \\ \end{gathered} $$ Then for all n∈N^m the following asymptotic equation is valid: $$\mathop \smallint \limits_{{\rm T}_{\pi /(2n + 1)}^m } |\mathop \sum \limits_{k \in N^m } a_k \mathop \Pi \limits_{i \in M} \sin k_i x_i |dx = \mathop \sum \limits_{k = 1}^n \left| {a_k } \right|\mathop \Pi \limits_{i \in M} k^{ - 1} + O(\mathop {\mathop \sum \limits_{B,{\mathbf{ }}G \subset M} }\limits_{B \ne M} \delta _{B,G}^M (a)).$$ Here \(T_{\pi /(2n + 1)}^m = \left\{ {x = (x1,x2,...,xm):\pi /(2n + 1) \leqq xi \leqq \pi ;i = \overline {1,m} } \right\}\) . In the one-dimensional case such an equation was proved by S. A. Teljakovskii.     

О коэффициентах рядо в Фурье по множествам

The following statement is proved: Theorem.Let f(x), 0≦x≦2π, possess the Fourier expansion $$\mathop \sum \limits_{\kappa = - \infty }^\infty c_\kappa e^{in} \kappa ^x with \bar c_\kappa = c_{ - \kappa } , n_\kappa = - \bar n_{ - \kappa }$$ where {n _k } is a Sidon sequence. Then in order to have $$\mathop \sum \limits_{\kappa = - \infty }^\infty |c_\kappa |^p< \infty$$ for a given p, 1 $$\mathop \sum \limits_{k = 1}^\infty \left( {\frac{{\left\| f \right\|L^k (0,2\pi )}}{k}} \right)^p< \infty$$ . An analogous statement holds true for series with respect to the Rademacher system.