二重极限的一致收敛性判别法

本文将复杂的二元函数的极限问题转化为较简单的一元函数极限是否一致收敛的问题考察之。定理　设 f( x,y)在 ( 0 ,0 )点的某去心邻域内有定义 ,则 limx→ 0y→ 0f ( x,y) =A的充分必要条件是 :当r趋于 0时 ,f ( rcost,rsint)在 [0 ,2π]上一致收敛于常数 A。证明　必要性　由 limx→ 0y→ 0f( x,y) =A,知对任意 ε>0 ,存在 δ>0 ,当 0 相似文献   

从L’Hospital法则失效想到的

大家都很熟悉L’Hospital法则，其叙述和证明如下：设f（x）和F（x）满足如下条件：（2）在点的某空心邻域O＜|x－a|＜σ内，f（x）与F’（x）存在，且f’（x）≠0．证明因为x→a时，f（x），F（x）的极限与在x=a处的值没有关系，因此我们定义f（a）=F（a）=O，则应用Cauchy中值定理，可得：当x→a时，由于介于x和a之间，所以，故由条件（3）得从这个证明过程中，我们不容易发现在不存在（不包括无穷大）时，为什么L’Hospital法则就不能用？定义设x→a，5介于x和a之间，则称liing（Z）为x、a时g（x）的子极限。从I，Uospital法则的证…     

高中教学“短平快”同步练(2)

【高一代数】一元二次不等式选择题1．若a2}补集是（）（A）V到一1＜X＜引（BV到一1＜X＜引（C川到一互＜X＜引（D川ho3或X＜一1）5最简一元二次不等式x2＞0的同解不等式是（）（A／＋X＋1＞0（B）xZ－X＋l一0（O（X－1尸＞0（D）X十周…     

混合样本下非参数回归模型误差的矩相合估计

要考虑非参数回归模型Yi=g(Xi) εi，i=1，2…其中误差（ε，ii≥1)为φ混合随机变量列，且有共同的未知密度f(x)，g(x)=E(Y|X=x)为未知的回归函数，本由基于g(x)的非参数估计gn（x）定义的残差，然后再由基于残差构造的f(x)的估计fn(x)，在适当条件下，证明了fn(x)具有r(1相似文献   

一类正项级数收敛的充要条件

我们知道，要判定一个数项级数是否收敛有许多种方法，但这些方法大都只给出了级数收敛或发散的充分条件，这里我们对一类较特殊的常数项级数给出级数收敛的一个充要条件。定理设f（x）在某个［0，δ］内二阶可导，f（x）≥0，则级数收敛的充要条件是f（0）＝0，f’（0）＝0。证明必要性设级数收敛，则，若f'（0）=α0，充分性设，由Lagrange中值定理知存在，使例1讨论级数的敛散性。若，即，不妨设f'（0）＞0，因而存在δ＞0，当0≤x＜δ时，有f'（X）＞0，所以f（x）＞0，由定理级数发散。若f'（0）＜0，同理可提级数发散。。。“”9。。…     

导数的极限与单侧导数

求函数在某些特殊点，比如分段函数的分界点、区间端点处的导数，通常应按导数的定义求出函数在这些点处的单侧导数。但也有人取函数的导数在这些点处的单侧极限作为单侧导数，这样做常常出错。例如：在x＜0时，但f（x）在x=0处的左导数不存在，因为f（x）在x=0处左间断。在x＞0时，不存在，但按导教的定义可求得f（x）在x=0处的右导数有时这种方法也能凑效，关键是函数必须满足一些条件。我们有下面的求单侧导数的所谓“导数极限法”。导技极限法设函数人X）在X。处连续，在X。的左（右）邻域（X。一点八）［或（X。，X。十的」内可导，…     

关于连续性与一致连续性的一个定理

设f（x）在Ω上连续．任给e〉0，令δ（ε,x0）=1/2sup{δ：当｜x-x0｜〈δ}时，｜f（x）-f（x0）｜〈e},则f（x）在Ω上一致连续的充要条件是δ（e）=inf{δ（ε,x0）：x0∈Ω}〉0.实例给出其应用.     

一类特殊幂级数收敛半径的求法

考虑下面级数其中，b，C均为正整数，并且b＞0。定理1如果级数（1）当X=X0（X00）时收敛，则适合不等式|x|＜|x0|的一切X使幂级数（1）绝对收敛；反之，如果当X=X0时级数（1）发散，则适合不等式|x|＞|x0|的一切X使幂级数（）发散。征先设x。是幂级数（l）的收敛点，即级数Zanxg”“收敛，根据级数收敛的必要条件，这时有lima。xX””一0，于是存在一个常数M，使得“外””D＜M（n一0，I，··一这样级数（）的一般项的绝对值因为当卜D＜卜。D时，等比级数＞WDH卜””收敛（公比为D＞‘＜1），所以级数十coZDa。xb”“刊收敛，也就…     

共轭Bochner—Riesz平均在H~p上的弱型估计

设K(x)=P(x/|x|)|x|~(-n)为一球调和核,P(x)为一m次齐次调和多项式。f(x)在R~n上的δ阶共轭Bochner-Riesz平均记为 (_(1/ε)~δf)(x)=∫_(|t|<1/ε)(t)(t)(1-|εt|~2)~δe~(iαt)dt.作者在本文中得到如下的弱型估计: |{x∈R~n:sup ε>0|(_(1/ε)~δf)(x)-_ε(x)|>λ}|≤C(‖f‖_(H~p)/λ)~p,此处δ=(n/p)-(n 2)/2,n/(n 1)≤p<1,f∈H~p(R~n),以及 _ε(x)=(2π)~(-n)∫_(|y|>ε)f(x-y)K(y)dy 。设f∈L(R~n),其δ阶的Bochner-Riesz平均为 (σ_(1/ε)~δf)(x)=∫_(|t|<1/ε)(t)(1-|εt|~2)~δe~(iαt)dt.     

关于周期函数的定义及教学中应注意的问题

1问题的提出在中学数学教学时，经常会遇到类似这样的问题：函数y＝sinx（x＞0）是不是周期函数？要回答这个问题，我们还得从周期函数的定义谈起．2关于周期函数的定义关于周期函数的定义，我们常见的有如下两种：定义1设f（X）是定义在某数集M上的函数，若有在一常数T（≠0），具有性质；（i）对于任回x∈M，有±T∈M;（ii）对于任何x∈M，有f（x＋T）＝f（x），那么称f（x）为集M上的周期函数．常数T称为f（x）的一个周期．定义2对于函数y＝f（x）的定义域内的任意一个x的值，若存在一个非零常数T，使得f（x＋T）＝f（x）恒成立，则…     

函数对称性及简单应用

性质1y=f(x)关于x=a轴对称<=>f（a＋x）＝f（a—x）（或f（x）＝f（2a-x)，f(-x)=f2＋x)等)性质2y=f(x)关于（a，b)中心对称<=>f(a＋x) f(a－x）=2b（或f(x)＋f（2e-x）＝2b，f（-x） f（2a＋x）＝2b等）特别地有：（1）y=f(x)关于（a，0）对称b八a＋x）—一人a－x）（或人x）—一人如一动，人一X）—一人加十X）等）（2）y一人工）关于（0，b）对称白人工）＋＊（一X）一Zb证明1．y一人工）关于x＝a轮对称hoJ一人。＋＊关于x—0对称edy一人x＋a）为偶函数今户八一x＋a）一人x＋。），通过提元面得人）一人加一），人一）一八b＋＊等．2．…     

奇摄动非线性系统Robin边值问题

本文研究了非线性系统奇摄动问题：ε2y"－（x，y，y）＝0，0＜x＜1，0＜ε≤1，y（0）－py'（0）＝A，p＞0，y（1）＝B，其中y，f，A，B为n维向量．在相应的假设下，利用代数型边界层函数，证明了该问题存在一个解y（x，ε），并利用微分不等式方法得到了其解的渐近估计．     

带有临界增长的分数阶Kirchhoff方程的半经典解

本文研究如下带有临界增长的分数阶Kirchhoff方程ε2sM(ε2s-3∫∫R3×R3- |u(x)-u(y)|2/(x-y|3+2s|2dxdy)(-△)su+V(x)u = λW(x)f(u)+K(x)|u|2*s-2u,x ∈ R3,其中 M 是一个连续正的Kirchhoff函数,A＞0是一个参数,3/4 ＜ ...     

1997年普通高等学校招生全国统一考试(理工农医类)数学试题及解答

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共15小题；第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合M=，集合N=，集合M．（A（X|O＜X＜1｝（B）｛XIO＜X＜2）（C){X0≤X≤1）（D）（X|0≤X≤2｝（2）如果直线ax 2y＋2＝0与直线3x—y-2＝0平行，那么系数a=（）．（A）-3（B）-6（C）-（D）（3）函数y=tg（X-）在一个周期内的图象是（）．（4）已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大…     

Bloch空间上的Cesaro算子是有界的

记B={f:f∈H(D),‖f‖B＜∞}为Bloch空间，其中‖f‖B=sup |x|＜1(1-|z|^2)|f′(z)|,对于f(z)=^∞∑(k-0)akz^k∈B，定义Cesaro算子B为(Bf)(z)=^∞∑(n=0)(1/(n 1) ^n∑(k=0)ak)z^n在这篇文章中，我们将证明如下结果。     

奇偶函数一个性质的妙用

学了奇函数与偶函数后 ,我发现它们的定义中x和 -x均同时出现 ,联想公式|x|=x ,x≥ 0 ,-x ,x <0 ,我发现奇函数与偶函数具有以下两个新的性质 :性质 1　若 f(x)是定义在M上的奇函数 ,则当x <0时 ,有f(x) =- f(|x|) .性质 2　若 f(x)是定义在M上的偶函数 ,则对任意的x∈M ,都有f(x) =f(|x|) =f(-x) =f(- |x|) .这两个性质的证明一目了然 ,这里略去 .这两个性质虽简 ,但在解某些数学题时 ,却起着重要的桥梁作用 .例 1　已知 f(x)是奇函数 ,且当x >0时 ,f(x) =x(1+x) ,求当x <0时 ,f(x)的表达式 .解　当x <0时 ,知 |x|>0 .又 f(x)是奇函数 ,…     

一类具高次奇点非线性方程中的浑沌现象

近年来,关于非线性微分方程在小周期扰动下出现浑沌现象的研究,已有不少的工作,例如 Holmes,P.J.与 Greenspon,B 的工作[1],[2]以及刘增荣等的论文.但这些论文所讨论的,大多是某些具体的方程,如(x|¨)-x+x~3-=ε(γcosωt-δ(x|¨)),(x|¨)-x+x~3=εx~2-δ+γcosωt,(x|¨)+x-x~3=-εγ(?)+εδcosωt 等等.这些方程在未受扰动时,在相平面上都有同宿(homoclinic)或异宿(heteroclinic)轨线,可以直接应用 Melnikov 方法(见[1]).本文对于具一般形式(x|¨)+f(x,)+g(x)=0 (A)的二阶非线性方程,讨论了在小扰动下出现浑沌的条件.这里 f(x,y),g(x)选得使原     

Banach空间的正规结构与对径点

假设S（X）是Banach空间X的单位球面,作引进了四个新的几何参数：Jε（X）=sup{βε（x）,x∈S（X）},jε（X）=inf{βε（x）,x∈S（X）},Gε（X）=sup{αε（x）,x∈S（X）},gε（X）=inf{αε（x）,x∈S（S）},其中≤ε≤1,βε（x）=sup{min{‖x εy‖,‖x-εy‖,y∈S（X）}},αε（x）=inf{max{‖x εy‖,‖x-εy‖,y∈S（X）}},讨论了这些参数的性质,本主要结果是：如果主要结果是：如果有一个ε,0≤ε≤1,使得Jε（X）＜1 ε/2或gε（X）＞1 ε/3,那末X有一至正规结构。     

西北工业大学(1996—1997学年第1学期)高等数学试卷(A卷)

一、填空题（每小题3分，共9分，填错或不填均得零分）1．设厂（x）一g（x），则dfsin’x）2。。。。s。n手十。。s士。－；3·。f。x。－l。－In＿，。f。。。x。。－Inx，。。仁。x。dx－·二、选择题（每小题3分，共9分，选错或不选均得零分）1．设函数人X）在［O，1」上有产（X）＞0，且尸（0）20，则／（1），广（o），八1）一八0）或f（）一人1）的大小顺序是：（A）f（1）＞f（0）＞f（）一f（）；（）f（1）＞f（1）一f（）＞f（0）；（C）f（）一f（）＞广（l）＞广（0）；（D）f（l）＞f（）一f（）＞广（0）答：「j2·设ah＜…     

关于拉格朗日中值定理的几点注记

由拉格朗日中值定理很容易得到定理1定理1若函数f（x）在（a，b）内可徽，则对（a，b）内的任意两点x1〈x2，在（x1，x2）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），使等式成立。那么，若函数x（x）在（a，b）内可微，对于区间（a，b）的内任一点ξ，可否从（a，b）内找到两点X1及x2，满足等式一般不可以。考察函数f（x）=X3，（－1＜X＜1）．对于ξ=0就找不到所需的x1、X2，使（1）成立。事实上，时，但是，当的条件加强时，有定理2定理2若函数f（x）在（a，的内二次可微且产（＄）一0，a＜誊＜b，则在区间内可找到两个值由、X。满足f（。）一人X；…